高等数学下册试题(题库)及参考答案

高等数学下册试题库高等数学下册试题库 一 选择题 每题 4 分 共 20 分 1 已知 A 1 0 2 B 1 2 1 是空间两点 向量 AB的模是 A A B C 6 D 953 解解 AB 1 1 2 0 1 2 0 2 1 AB 5 1 20 222 2 设 a 1 1 3 b 2 1 2 求 c 3a 2b 是 B A 1 1 5 B 1 1 5 C 1 1 5 D 1 1 6 解解 1 c 3a 2b 3 1 1 3 2 2 1 2 3 4 3 2 9 4 1 1 5 3 设 a 1 1 3 b 2 1 2 求用标准基 i j k 表示向量 c a b A A i 2j 5k B i j 3k C i j 5k D 2i j 5k 解解c c 1 2 5 i i 2j j 5k k 4 求两平面 032 zyx 和 052 zyx 的夹角是 C A B C D 2 4 3 解解 由公式 6 21 有 2 1 112 1 21 1 1 1221 cos 222222 21 21 nn nn 因此 所求夹角32 1 arccos 5 求平行于z轴 且过点 1 0 1 1 M 和 1 1 2 2 M 的平面方程 是 D A 2x 3y 5 0 B x y 1 0 C x y 1 0 D 01 yx 解解 由于平面平行于z轴 因此可设这平面的方程为 0 DByAx 因为平面过1 M 2 M 两点 所以有 02 0 DBA DA 解得 DBDA 以此代入所设方程并约去 0 DD 便得到所求的 平面方程 01 yx 6 6 微分方程的阶数是 D 0 4 3 yyyxyxy A 3 B 4 C 5 D 2 7 微分方程的通解中应含的独立常数的个数为 A 1 52 xyxy A 3 B 5 C 4 D 2 8 下列函数中 哪个是微分方程的解 B 02 xdxdy A B C D xy2 2 xy xy2 xy 9 微分方程的一个特解是 B 3 2 3yy A B C D 1 3 xy 3 2 xy 2 Cxy 3 1xCy 10 函数是下列哪个微分方程的解 C xycos A B C D 0 yy02 yy0 yy n xyycos 11 是方程的 A 其中 为任意常数 xx eCeCy 21 0 yy 1 C 2 C A 通解 B 特解 C 是方程所有的解 D 上述都不对 12 满足的特解是 B yy 2 0 x y A B C D 1 x ey x ey2 2 2 x ey x ey 3 13 微分方程的一个特解具有形式 C xyysin A B xaysin xaycos C D xbxaxycossin xbxaysincos 14 下列微分方程中 A 是二阶常系数齐次线性微分方程 A B 02 yy03 2 yyxy C D 045 xy012 yy 15 微分方程满足初始条件的特解为 A 0 yy 10 y A B C D x e1 x e1 x e x e 2 16 在下列函数中 能够是微分方程的解的函数是 C 0 yy A B C D 1 yxy xysin x ey 17 过点且切线斜率为的曲线方程应满足的关系是 C 3 1x2 xyy A B C D xy2 xy2 xy2 31 yxy2 31 y 18 下列微分方程中 可分离变量的是 B A B 是常数 e x y dx dy ybaxk dx dy kab C D xy dx dy sin x eyxyy 2 19 方程的通解是 C 02 yy A B C D xysin x ey 2 4 x eCy 2 x ey 20 微分方程满足的特解是 A 0 x dy y dx 4 3 x y A B C D 25 22 yxCyx 43Cyx 22 7 22 yx 21 微分方程的通解是 B 0 1 y xdx dy y A B C D x C CxC x 1 Cx 22 微分方程的解为 B 0 yy A B C D x e x e xx ee x e 23 下列函数中 为微分方程的通解是 B 0 ydyxdx A B C D Cyx Cyx 22 0 yCx0 2 yCx 24 微分方程的通解为 A 02 dxydy A B C D Cxy 2 Cxy Cxy Cxy 25 微分方程的通解是 D xdxydysincos A B Cyx cossinCxy sincos C D Cyx sincosCyx sincos 26 的通解为 C x ey y A B C D x e x e 21 CxCe x 21 CxCe x 27 按照微分方程通解定义 的通解是 A xysin A B 21 sinCxCx 21 sinCCx C D 21 sinCxCx 21 sinCCx 一 单项选择题一 单项选择题 2 设函数在点处连续是函数在该点可偏导的 yxf 00 y x D A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 必要而且充分条件 D 既不必要也不充分条件 3 函数在点处偏导数存在是函数在该点可微分的 yxf 00 y x B A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 必要而且充分条件 D 既不必要也不充分条件 4 对于二元函数 下列结论正确的是 C zf x y A 若 则必有且有 0 0 lim xx yy f x yA 0 lim xx f x yA 0 lim yy f x yA B 若在处和都存在 则在点处可微 00 xy z x z y 00 xy zf x y C 若在处和存在且连续 则在点处可微 00 xy z x z y 00 xy zf x y D 若和都存在 则 2 2 z x 2 2 z y 2 2 z x 2 2 z y 6 向量 则 A 3 1 2 1 2 1ab a b A A 3 B 3 C D 22 5 已知三点 M 1 2 1 A 2 1 1 B 2 1 2 则 ABMA C A 1 B 1 C 0 D 2 6 已知三点 M 0 1 1 A 2 2 1 B 2 1 3 则 B ABMA A B 2 2 2 C D 2 2 7 设为园域 化积分为二次积分的正D 22 2xyax 0 a D F x y d 确方法 是 D A B 2 0 aa a dxf x y dy 2 22 00 2 aa x dxf x y dy C 2 cos 0 cos sin aa a dfd D 2 cos 2 0 2 cos sin a dfd 8 设 改变积分次序 则 B 3ln 10 x Idxf x y dy I A B ln3 00 y e dyf x y dx ln33 0 y e dyf x y dx C D ln33 00 dyf x y dx 3ln 10 x dyf x y dx 9 二次积分 可以写成 D cos 2 00 cos sin dfd A B 2 1 00 y y dyf x y dx 2 11 00 y dyf x y dx C D 11 00 dxf x y dy 2 1 00 x x dxf x y dy 10 设是由曲面及所围成的空间区域 在柱面坐标系 22 2xyz 2z 下将三重积分 表示为三次积分 C If x y z dxdydz I A 2 21 2 000 cos sin ddfz dz B 2 22 2 000 cos sin ddfzdz C 2 222 00 2 cos sin ddfzdz D 222 000 cos sin ddfzdz 11 设为面内直线段 其方程为 Lyx0dycaxL 则 L dxyxP C A B ac C 0 D d 12 设为面内直线段 其方程为 则 Lyx0dxcayL L dyyxP C A B ac C 0 D d 13 设有级数 则是级数收敛的 1n n u0lim n n u D A 充分条件 B 充分必要条件 C 既不充分也不必要条件 D 必要条件 14 幂级数的收径半径 R 1n n nx D A 3 B 0 C 2 D 1 15 幂级数的收敛半径 1 1 n n x n R A A 1 B 0 C 2 D 3 1616 若幂级数的收敛半径为 则的收敛半径为 0n n nx aR 0 2 n n nx a A A B R 2 R C D 无法求得R 17 17 若 则级数 Dlim0 n n u 1 n n u A 收敛且和为 B 收敛但和不一定为 C 发散 D 可能收敛也可能发散 18 若为正项级数 则 1 n n u A 若 则收敛 B 若收敛 则收敛 lim0 n n u 1 n n u 1 n n u 2 1 n n u B C 若 则也收敛 D 若发散 则 2 1 n n u 1 n n u 1 n n u lim0 n n u 19 设幂级数在点处收敛 则该级数在点处 1 n n n C x 3x 1x A A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 敛散性不定 20 级数 则该级数 B 1 sin 0 n nx x n A 是发散级数 B 是绝对收敛级数 C 是条件收敛级数 D 可能收敛也可能发散 二 填空题 每题 4 分 共 20 分 1 a a b b 公式 答案 a b cos ba 2 a ax ay az b bx by zbz 则 a b 计算 答案 axbx ayby azbz 3 ba 答案 zyx zyx bbb aaa kji 4 cba 答案 xyz xyz xyz aaa bbb ccc 5 平面的点法式方程是 答案 0 000 zzCyyBxxA 6 设 其定义域为 xy yx z 22 arcsin 0 1 22 xyyxyx 7 设 则 00 0 sin 2 xy xy xy yx yxf 1 0 x f 11 0 x f 8 在点处可微分是在该点连续的 的条件 在点 yxf yx yxf yxf 处连续是在该点可微分的 的条件 充分 必要 yx yxf 9 在点的偏导数及存在是在该点可微分的 条件 必要 yxfz yx x z y z yxf 10 在横线上填上方程的名称 方程的名称是 0ln3 xdyxdxy 答案 可分离变量微分方程 方程的名称是 0 22 dyyxydxxxy 答案 可分离变量微分方程 方程的名称是 x y y dx dy xln 答案 齐次方程 方程的名称是 xxyyxsin 2 答案 一阶线性微分方程 方程的名称是 02 yyy 答案 二阶常系数齐次线性微分方程 11 在空间直角坐标系 O 下 求 P 2 3 1 M a b c 关于kji 1 坐标平面 2 坐标轴 3 坐标原点的各个对称点的坐标 解 M a b c 关于 xOy 平面的对称点坐标为 a b c M a b c 关于 yOz 平面的对称点坐标为 a b c M a b c 关于 xOz 平面的对称点坐标为 a b c M a b c 关于 x 轴平面的对称点坐标为 a b c M a b c 关于 y 轴的对称点的坐标为 a b c M a b c 关于 z 轴的对称点的坐标为 a b c 类似考虑 P 2 3 1 即可 12 要使下列各式成立 矢量应满足什么条件 ba 1 2 baba baba 3 4 baba baba 5 baba 解 1 所在的直线垂直时有 ba baba 2 同向时有ba baba 3 且反向时有 ba ba baba 4 反向时有ba baba 5 同向 且时有ba ba baba 13 下列情形中的矢量终点各构成什么图形 1 把空间中一切单位矢量归结到共同的始点 2 把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点 3 把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点 4 把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点 解 1 单位球面 2 单位圆 3 直线 4 相距为 2 的两点 二 填空题二 填空题 1 设 则 1 22 sin 1 ln f x yxyxy 1 0 x f 2 设 则 0 22 ln1cos yxyxyxf 1 0 x f 3 二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是 DD ddfdxdyyxf sin cos 4 三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是 dzddzfdxdydzzyxf sin cos 5 柱面坐标下的体积元素 zddddv 6 设积分区域 且 则 3 222 D xya 9 D dxdy a 7 设由曲线所围成 则Dsin aa D dxdy 2 3 4 a 8 设积分区域为 D 22 14xy 2 D dxdy 6 9 设在 0 1 上连续 如果 yxf 3 1 0 dxxf 则 9 1 0 1 0 dyyfxfdx 10 设为连接 1 0 与 0 1 两点的直线段 则L L xy ds 2 11 设为连接 1 0 与 0 1 两点的直线段 L 则 0 L dsyx 12 等比级数当 时 等比级数收敛 1n n aq 0 a1q 1n n aq 13 当 时 级数是收敛的 1 p 1 1 n p n 14 当 时 级数是绝对收敛的 1 11 1 n p n n 1 15 若 则 x f x yxy y 2 1 x f 1 2 16 若 则 2 3 1 arccos 2 y f x yxyx x 1 y fy 2 3y 17 设 则 x y uz du lnln x y xy zyxdxxzdydz z 18 设 则 lnx zy 2 2 z x ln 2 ln ln1 x yy y x 19 积分的值等于 222 0 y x dxedy 4 1 1 2 e 20 设为园域 若 则 2D 222 xya 22 8 D xydxdy a 21 设 其中 则 2Idxdydz 2222 0 xyzaz I 3 4 3 a 三 是非题三 是非题 每题 4 分 共 20 分 1 初等函数的定义域是其自然定义域的真子集 2 sin lim1 x x x 3 22 lim 33 x x x 4 对于任意实数 恒有成立 xsin xx 5 是指数函数 0 xy 6 函数的定义域是 log01 a yxa 0 7 23 log 3 log 21 8 如果对于任意实数 恒有 那么为常函数 xR 0fx yf x 9 存在既为等差数列 又为等比数列的数列 10 指数函数是基本初等函数 11 0 lim0 x x x 12 函数为基本初等函数 32 34yxx 13 1 1 1 aa x dxxC a 14 是基本初等函数 arcsin x 15 与是等价无穷小量 sin xx 16 与为等价无穷小量 1 x e x 17 若函数在区间上单调递增 那么对于任意 恒有 f x a b xa b 0fx 18 存在既为奇函数又为偶函数的函数 19 当奇函数在原点处有定义时 一定成立 f x 00f 20 若偶函数连续 那么函数为奇函数 1 1yf xx 1 1yfxx 21 若奇函数连续 那么函数为偶函数 1 1yf xx 1 1yfxx 22 偶函数与奇函数的乘积为奇函数 23 奇函数与奇函数的乘积为偶函数 24 若函数为奇函数 那么一定成立 f x 00f 25 若函数为偶函数 那么一定成立 f x 00 f 26 sincosxx 27 sin cossin2xxx 28 xx aa 29 sinsinx xx 30 单调函数一定存在最大值与最小值 31 单调函数一定存在反函数 32 互为反函数的两个函数的图像关于直线对称 yx 33 若定义域为的函数存在反函数 那么在区间上单调 0 1 f x f x 0 1 34 2 2 1 lim 212 n nx n 35 对于任意的 恒有 a bR 2abab 36 函数的三要素为 定义域 对应法则与值域 37 若函数在其定义域内处处有切线 那么该函数在其定义域内处处可导 f x 38 空集是任意初等函数的定义域的真子集 39 为初等函数 0 sini i x 40 对于任意的 恒有 xR 12xx 41 左右导数处处存在的函数 一定处处可导 下列题 下列题 1 2 3 4 5 1 任意微分方程都有通解 2 微分方程的通解中包含了它所有的解 3 函数是微分方程的解 xxycos4sin3 0 yy 4 函数是微分方程的解 x exy 2 02 yyy 5 微分方程的通解是 为任意常数 0ln xyx Cxy 2 ln 2 1 C 下列是非题 下列是非题 1 2 3 4 5 1 可分离变量微分方程不都是全微分方程 2 若 都是的特解 且与线性无关 xy1 xy2 xQyxPy xy1 xy2 则通解可表为 xyxyCxyxy 211 3 函数是微分方程的解 xx eey 21 0 2121 yyy 4 曲线在点处的切线斜率等于该点横坐标的平方 则曲线所满足的 yx 微分方程是 是任意常数 Cxy 2 C 5 微分方程 满足初始条件的特解为 yx ey 2 0 0 x y1 2 1 2 xy ee 是非题 是非题 1 2 1 只要给出阶线性微分方程的个特解 就能写出其通解 nn 2 已知二阶线性齐次方程的一个非零解 即可 0 yxQyxPyy 四 计算证明题 每题 10 分 共 40 分 1 判断积数收敛性 1 2 1 2 n n n n 解 1 2 lim 1 2 2 limlim 12 1 1 2 2 n n n u u n n n n n n n n 由比值法 级数发散 1 2 1 2 n n n n 2 ydyxxdyydx 2 解 两边同除以 得 2 x ydy x xdyydx 2 cy x y d 2 2 1 即cy x y 2 2 1 3 xyx y dx dy 解 两边同除以 得x x y x y dx dy 1 令u x y 则 dx du xu dx dy 即 dx du xu dx dy u u 1 得到 2 ln 2 11 yc u 即 2 ln 2 1 ycyx 另外也是方程的解 0 y 4 01 xdyydxxy 解 0 xydxxdyydx xdx y xdyydx 2 得到cx y x d 2 2 1 即cx y x 2 2 1 另外也是方程的解 0 y 5 求方程的通解 052 yyy 解解 所给方程的特征方程为 052 2 rr irir21 21 21 所求通解为 2sin2cos 21 xCxCey x 6 求求 解 7 求方程的通解 032 yyy 解解 所给方程的特征方程为 032 2 rr 其根为 1 3 21 rr 所以原方程的通解为 xx eCeCy 2 3 1 8 证明极限不存在 2 22 22 0 0 lim yxyx yx yx 8 因为 所以极限不存在 1lim 2 22 22 0 yxyx yx yx x 0lim 2 22 22 2 0 yxyx yx xy x 9 证明极限不存在 42 2 0 0 lim yx xy yx 9 设 y2 kx 不等于定值 极限不存在 1 lim 242 2 0 2 k k yx xy kyx y 10 计算 其中 D 是由直线 y 1 x 2 及 y x 所围成的闭区域 dxy D 解 画出区域 D 可把 D 看成是 X 型区域 1 x 2 1 y x 于是 2 11 x D dxxydydxy 2 1 3 2 1 1 2 2 1 2 dxxxdx y x x 8 9 24 2 1 2 1 24 xx 注 积分还可以写成 2 11 2 11 xx D ydyxdxxydydxdxy 11 2xy 并满足初始条件 x 0 y 1 的特解 dx dy 解 2xdx 两边积分有 ln y x c y dy 2 y e e cex另外 y 0 也是原方程的解 c 0 时 y 0 2 xc2 原方程的通解为 y cex x 0 y 1 时 c 1 2 特解为 y e 2 x 12 y dx x 1 dy 0 并求满足初始条件 x 0 y 1 的特解 2 解 y dx x 1 dy dy dx 2 2 y dy 1 1 x 两边积分 ln x 1 ln c y y 1 1 ln 1 xc 另外 y 0 x 1 也是原方程的解 x 0 y 1 时 c e 特解 y 1 ln 1 xc 13 0 2 2 dyyxdxyx 解 1 1 y M x N 则 x N y M 所以此方程是恰当方程 凑微分 0 2 2 xdyydxydydxx 得 Cyxyx 23 3 1 14 0 4 3 2 dyxydxxy 解 1 y M 1 x N 则 x N y M 所以此方程为恰当方程 凑微分 043 2 ydydxxxdyydx 得 Cyxyx 23 2 15 求 xy xy yx 11 lim 0 0 解 11 11 11 lim 11 lim 0 0 0 0 xyxy xyxy xy xy yxyx2 1 11 1 lim 0 0 xyyx 16 求 z x2 3xy y2在点 1 2 处的偏导数 解 yx x z 32 yx y z 23 82312 2 1 y x x z 72213 2 1 y x y z 17 设 z x3y2 3xy3 xy 1 求 和 2 2 x z 3 3 x z xy z 2 yx z 2 解 yyyx x z 322 33xxyyx y z 23 92 2 2 2 6xy x z 2 3 3 6y x z 196 22 2 yyx yx z 196 22 2 yyx xy z 18 验证函数满足方程 22 lnyxz 0 2 2 2 2 y z x z 证 因为 所以 ln 2 1 ln 2222 yxyxz 22 yx x x z 22 yx y y z 222 22 222 22 2 2 2 yx xy yx xxyx x z 222 22 222 22 2 2 2 yx yx yx yyyx y z 因此 0 222 22 222 22 2 2 2 2 yx xy yx yx y z x z 19 计算函数 z x2y y2的全微分 解 因为 xy x z 2 yx y z 2 2 所以 dz 2xydx x2 2y dy 20 函数 z 3x2 4y2在点 0 0 处有极小值 当 x y 0 0 时 z 0 而当 x y 0 0 时 z 0 因此 z 0 是函数的极小值 21 函数在点 0 0 处有极大值 22 yxz 当 x y 0 0 时 z 0 而当 x y 0 0 时 z 0 因此 z 0 是函数的极大值 22 已知三角形 ABC 的顶点分别是 A 1 2 3 B 3 4 5 C 2 4 7 求三角形 ABC 的面积 解 根据向量积的定义 可知三角形 ABC 的面积 2 1 sin 2 1 ACABAACABS ABC 由于 2 2 2 1 2 4 因此 AB AC 4i 6j 2k 421 222 kji ACAB 于是 142 6 4 2 1 264 2 1 222 kji ABC S 23 设有点 A 1 2 3 和 B 2 1 4 求线段 AB 的垂直平分面的方程 解 由题意知道 所求的平面就是与 A 和 B 等距离的点的几何轨迹 设 M x y z 为所求平面上的任一点 则有 AM BM 即 222222 4 1 2 3 2 1 zyxzyx 等式两边平方 然后化简得 2x 6y 2z 7 0 这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程 而不在此平面上的点的坐标都不 满足这个方程 所以这个方程就是所求平面的方程 24 求过点 2 3 0 且以 n 1 2 3 为法线向量的平面的方程 解 根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为 x 2 2 y 3 3z 0 即 x 2y 3z 8 0 25 求通过 x 轴和点 4 3 1 的平面的方程 解 平面通过 x 轴 一方面表明它的法线向量垂直于 x 轴 即 A 0 另一方 面表明 它必通过原点 即 D 0 因此可设这平面的方程为 By Cz 0 又因为这平面通过点 4 3 1 所以有 3B C 0 或 C 3B 将其代入所设方程并除以 B B 0 便得所求的平面方程为 y 3z 0 2