2020版高中数学人教A版必修4 导学案 《三角函数模型的简单应用》（含答案解析）.doc

1.6 三角函数模型的简单应用学习目标1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.知识点利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化.思考现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？答案三角函数模型.梳理：(1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤：第一步：阅读理解，审清题意.读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题.第二步：收集、整理数据，建立数学模型.根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化.第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答.第四步：将所得结论转译成实际问题的答案.(2)三角函数模型的建立程序如图所示：类型一三角函数模型在物理中的应用例1.已知电流I与时间t的关系为I=Asin(t).(1)如图所示的是I=Asin(t)(0，|0.已知小球在初始位置(即t=0)时，=，且每经过 s小球回到初始位置，那么A=_；关于t的函数解析式是_.4.某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)=102sin(t)，t0，24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用.2.三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象.(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合.(3)利用三角函数模型解决实际问题.(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.课时作业一、选择题1.如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是()A.该质点的振动周期为0.7 sB.该质点的振幅为5 cmC.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大D.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零2.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)=Asin(x)b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为()A.f(x)=2sin7(1x12，xN*)B.f(x)=9sin(1x12，xN*)C.f(x)=2sinx7(1x12，xN*)D.f(x)=2sin7(1x12，xN*)3.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数：F(t)=504sin(t0)，则人流量是增加的时间段为()A.0，5 B.5，10 C.10，15 D.15，204.如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=Asin(x)2，则有() A.=，A=3 B.=，A=3 C.=，A=5 D.=，A=55.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y=3sink，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A.5 B.6 C.8 D.106.一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32 m(即OM长)，巨轮的半径长为30 m，AM=BP=2 m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t) m，则h(t)等于() A.30sin(t)30 B.30sin(t)30C.30sin(t)32 D.30sin(t)7.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s=6sin(100t)，那么单摆来回摆一次所需的时间为() A. s B. s C.50 s D.100 s二、填空题8.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(t)(A0，0)的图象如图所示，则当t=秒时，电流强度是_安. 9.设某人的血压满足函数式p(t)=11525sin(160t)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是_.10.下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天024时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为_.11.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d=_，其中t0，60.12.设偶函数f(x)=Asin(x)(A0，0，0)的部分图象如图所示，KLM为等腰直角三角形，KML=90，KL=1，则f()的值为_.三、解答题13.如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间. (1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？四、探究与拓展14.有一冲击波，其波形为函数y=sin的图象，若其在区间0，t上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是()A.5 B.6 C.7 D.815.如图所示，某地夏天从814时的用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(x)b(0).(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式.答案解析例1.根据图中数据求I=Asin(t)的解析式；(2)解：(1)由图可知A=300，设t1=，t2=，则周期T=2(t2t1)=2=.=150.又当t=时，I=0，即sin=0，而|0)，300942，又N*，故所求最小正整数=943.跟踪训练1.解：(1)周期T=1(s).列表：t012t226sin(2t)360603描点画图：(2)小球开始摆动(即t=0)，离开平衡位置为3 cm.小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.小球来回摆动一次需要1 s(即周期).例2.解：(1)如图，建立平面直角坐标系，设此人登上摩天轮t分钟时距地面y 米，则=t=t. 由y=108cost=49cost59(t0).令49cost59=，得cost=，t=2k，故t=18k3，kZ，故t=3，15，21，33.故当此人第四次距离地面 米时用了33分钟.(2)由题意得49cost5959，即cost.故不妨在第一个周期内求即可，所以t，解得t，故=3.因此摩天轮旋转一圈中有3分钟可以看到游乐园的全貌.跟踪训练2.解：(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处.这时此人所转过的角为 t= t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h=10sin t12(t0).(2)由10sint1217，得sint，则t.故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.1.答案：解析：T=1， =2，l=.2.答案：20.5解析：由题意可知A=5，a=23，从而y=5cos23.故10月份的平均气温值为y=5cos23=20.5.3.答案：，=sin(2t)，t0，)；解析：当t=0时，=，=Asin，A=.又周期T=，=，解得=2.故所求的函数解析式是=sin(2t)，t0，).4.解：(1)因为f(t)=102sin(t)，又0t24，所以t11时实验室需要降温.由(1)得f(t)=102sin(t)，故有102sin(t)11，即sin(t).又0t24，因此t，即10t时，BON=，h=OABN=3030sin()，当0时，上述关系式也适合.故h=3030sin()=30sin(t)30. 7.答案：A8.答案：5解析：由图象可知A=10，周期T=2()=，=100，I=10sin(100t)，当t=秒时，I=10sin(2)=5(安).9.答案：80；解析：T=(分)，f=80(次/分).10.答案：h=6sin t，t0，24解析：根据题图设h=Asin(t)，则A=6，T=12，=12，=.点(6，0)为“五点”作图法中的第一点，6=0，=，h=6sin(t)=6sin t，t0，24.11.答案：10sin 解析：将解析式可写为d=Asin(t)的形式，由题意易知A=10，当t=0时，d=0，得=0；当t=30时，d=10，可得=，所以d=10sin .12.答案：解析：取K，L的中点N，则MN=，因此A=.由T=2得=.函数为偶函数，0，=，f(x)=cos x，f()=cos =.13.解：(1)如图所示建立直角坐标系，设角是以Ox为始边，OP0为终边的角. OP每秒钟内所转过的角为=，则OP在时间t(s)内所转过的角为t.由题意可知水轮逆时针转动，得z=4sin2.当t=0时，z=0，得sin =，即=.故所求的函数关系式为z=4sin2.(2)令z=4sin2=6，得sin=1，令t