67东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-参数方程A

东北师大附中 2012 2013 高三数学 文理 第一轮复习导学案 067A 1 参数方程参数方程 教案教案 A A 一 知识梳理 阅读教材 选修 4 4 第 21 页至 39 页 1 1 曲线的参数方程的概念 曲线的参数方程的概念 一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数 的 x yt 函数 并且对于 的每一个允许值 由方程组 所确定的点都 xf t yg t t M x y 在这条曲线上 那么方程 就叫做这条曲线的参数方程 联系变数的变数 叫 x yt 做参变数 简称参数 相对于参数方程参数方程而言 直接给出点的坐标间关系的方程叫做 普通方程普通方程 2 2 参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化 1 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式 一般地可以通过消去参 数得到普通方程 2 如果知道变数中的一个与参数 的关系 例如 把它代入普通方 x yt xf t 程 求出另一个变数与参数的关系 那么就是曲线的参数方程 在 yg t xf t yg t 参数方程与普通方程的互化中 必须使的取值范围保持一致 x y 注 注 普通方程化为参数方程 参数方程的形式不一定唯一 应用参数方程解轨 迹问题 关键在于适当地设参数 如果选用的参数不同 那么所求得的曲线的参数 方程的形式也不同 3 3 圆的参数方程 圆的参数方程 设圆 O O 为坐标原点 的半径为 点 M 从初始位置出发 按逆时针方向r 0 M 在圆上作匀速圆周运动 设 则 O M x y cos sin xr yr 为参数 这就是圆心在原点 半径为的圆的参数方程 其中的几何意义是转Or 0 OM 过的角度 圆心为 半径为的圆的普通方程是 a br 222 xaybr 它的参数方程为 cos sin xar ybr 为参数 4 4 椭圆的参数方程 椭圆的参数方程 以坐标原点为中心 焦点在轴上的椭圆的标准方程为Ox 东北师大附中 2012 2013 高三数学 文理 第一轮复习导学案 067A 2 其参数方程为 其中参数称为离 22 22 1 0 xy ab ab cos sin xa yb 为参数 心角 焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为y 22 22 1 0 yx ab ab 其中参数仍为离心角 通常规定参数的范围为 cos sin xb ya 为参数 0 2 注 注 椭圆的参数方程中 参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角 要把它 和这一点的旋转角区分开来 除了在四个顶点处 离心角和旋转角数值可相等外 即在到的范围内 在其他任何一点 两个角的数值都不相等 但当02 时 相应地也有 在其他象限内类似 0 2 0 2 5 双曲线的参数方程 不要求掌握 双曲线的参数方程 不要求掌握 以坐标原点为中心 焦点在轴上的双曲线的标准方程为Ox 其参数方程为 其中 22 22 1 0 0 xy ab ab sec tan xa yb 为参数 3 0 2 22 且 焦点在轴上的双曲线的标准方程是其参数方程为y 22 22 1 0 0 yx ab ab cot 0 2 csc xb e ya 为参数 其中且 以上参数都是双曲线上任意一点的离心角 6 抛物线的参数方程 抛物线的参数方程 以坐标原点为顶点 开口向右的抛物线的参数方程为 2 2 0 ypx p 2 2 2 xpt t ypt 为参数 东北师大附中 2012 2013 高三数学 文理 第一轮复习导学案 067A 3 7 直线的参数方程 直线的参数方程 经过点 倾斜角为的直线 的普通方程是 000 Mxy 2 l 而过 倾斜角为的直线 的参数方程为 00 tan yyxx 000 Mxy l 0 0 cos sin xxt yyt t为参数 注 注 直线参数方程中参数的几何意义 过定点 倾斜角为 000 Mxy 的直线 的参数方程为 其中 表示直线 上 l 0 0 cos sin xxt yyt t为参数tl 以定点为起点 任一点 M x y 为终点的有向线段的数量 当点在 M 0 0 上方时 0 当点 M 在下方时 0 当点与重合时 t 0 tM 0 M 0 我们也可以把参数理解为以为原点 直线 向上的方向为正方tt 0 Ml 向的数轴上的点的坐标 其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同 M 二 题型探究二 题型探究 探究一 把参数方程化为普通方程把参数方程化为普通方程 例例 1 1 已知曲线 C1 C2 4 3 为参数 8 3 为参数 1 化 C1 C2的方程为普通方程 并说明它们分别表示什么曲线 2 若 C1上的点 P 对应的参数为 Q 为 C2上的动点 求 PQ 中点 M 到直线 2 C3的距离的最小值 3 2 2 为参数 解答 解答 C1 1 C2 x 4 2 3 2 2 64 2 9 1 C1为圆心是 4 3 半径是 1 的圆 C2为中心是坐标原点 焦点在轴上 长半轴长是 8 短半轴长是 3 的椭圆 当时 故 2 东北师大附中 2012 2013 高三数学 文理 第一轮复习导学案 067A 4 C3为直线 x 2y 7 0 M 到 C3的距离 从而 cos sin 时 d 取得最小值 4 5 3 5 8 5 5 探究二 椭圆参数方程的应用探究二 椭圆参数方程的应用 例例 2 2 在平面直角坐标系 xoy 中 点 p x y 是椭圆上的一个动点 求 2 3 2 1 s x y 的最大值 解答 解答 因椭圆的参数方程为 2 3 2 1 3 为参数 故可设动点 P 的坐标为 其中因此 S x y 3 0 2 3 2sin 所以 当时 S 取最大值 2 3 6 探究三 直线参数方程的应用探究三 直线参数方程的应用 例例 3 3 过点作倾斜角为的直线与曲线交于点 M N 2 2 2 1 求 PM PN 的最小值及相应的的值 解析 解析 设直线为 代入曲线并整理得 则 所以当时 即 PM PN 的最小值为 此时 2 3 4 2 探究四 圆的参数方程的应用探究四 圆的参数方程的应用 例例 4 4 已知曲线 C 的参数方程是为参数 且曲线 C 与直线 0 相交于两点 A B 1 求曲线 C 的普通方程 2 求弦 AB 的垂直平分线的方程 3 求弦 AB 的长 解答解答 1 由 所以 曲线 C 的普通方程为 x 2 2 y2 2 2 因为 所以 AB 的垂直平分线斜率为 东北师大附中 2012 2013 高三数学 文理 第一轮复习导学案 067A 5 又垂直平分线过圆心 2 0 所以其方程为 y 3 圆心到直线 AB 的距离 圆的半径为 r 2 所以 探究五 参数方程的综合应用探究五 参数方程的综合应用 例例 5 5 已知点 P x y 是圆上动点 01246 22 yxyx 求 1 的最值 22 yx 2 x y 的最值 3 P 到直线 x y 1 0 的距离 d 的最值 解 圆即 用参数方程表示为01246 22 yxyx1 2 3 22 yx sin2 cos3 y x 由于点 P 在圆上 所以可设 P 3 cos 2 sin 1 sin 13214cos6sin414 sin2 cos3 2222 yx 其中 tan 1 5 的最大值为 14 2 最小值为 14 2 22 yx 1313 2 x y 3 cos 2 sin 5 sin x y 的最大值为 5 最小2 4 2 值为 5 2 3 显然当 sin 1 时 d 取最大 3 2 1 2 4 2 4 2 4 值 最小值 分别为 12 2 1 2 2 例 6 过点 2 1 的直线被圆 x2 y2 2x 4y 0 截得的最长弦所在的直线方程是 截得的最短弦所在的直线方程是 例 7 若实数 x y 满足 x2 y2 2x 4y 0 则 x 2y 的最大值为 东北师大附中 2012 2013 高三数学 文理 第一轮复习导学案 067A 6 四 反思感悟 五 课时作业 一 选择题一 选择题 1 若直线的参数方程为 则直线的斜率为 D 12 23 xt t yt 为参数 A B C D 2 3 2 3 3 2 3 2 2 下列在曲线上的点是 B sin2 cossin x y 为参数 A B C D 1 2 2 3 1 4 2 2 3 1 3 3 将参数方程化为普通方程为 C 2 2 2sin sin x y 为参数 A B 2yx 2yx C D 2 23 yxx 2 01 yxy 4 方程 t 为参数 所表示的一族圆的圆心轨迹是 D 04524 222 ttytxyx A 一个定点 B 一个椭圆 C 一条抛物线 D 一条直线 二 填空题 5 直线的斜率为 34 45 xt t yt 为参数 5 4 6 参数方程的普通方程为 2 tt tt xee t yee 为参数 东北师大附中 2012 2013 高三数学 文理 第一轮复习导学案 067A 7 7 已知直线与直线相交于点 又点 1 1 3 24 xt lt yt 为参数 2 2 45lxy B 则 0 5 1 2 AAB 8 已知 则的最大值是 6 sin cos2 为参数 y x 22 4 5 yx 9 曲线的一个参数方程为yyx2 22 sin1 cos 为参数 y x 10 直线被圆截得的弦长为 1 2 2 1 1 2 xt t yt 为参数 22 4xy 14 三 解答题 11 2012 年高考 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线 C1的参数方程是Error Error 为参数 以坐标原点为极点 x轴的正半 轴为极轴建立极坐标系 曲线 C2的极坐标方程是 2 正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上 且 A B C D 以逆时针次序排列 点 A 的极坐标为 2 3 求点 A B C D 的直角坐标 设 P 为 C1上任意一点 求 PA 2 PB 2 PC 2 PD 2的取值范围 23 解 依题意 点 的极坐标分别为 ABCD 2 3 5 2 6 4 2 3 11 2 6 所以点 的直角坐标