2008年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

20082008 年全国初中数学联赛试卷年全国初中数学联赛试卷 第一试 第一试 一 选择题一 选择题 1 设 a2 1 3a b2 1 3b 且 a b 则代数式 的值为 1 a2 2 1 b2 2 A 5 B 7 C 9 D 11 2 如图 设 AD BE CF 为三角形 ABC 的三条高 若 AB 6 BC 5 EF 3 则线段 BE 的长为 A B 4 C D 18 5 21 5 24 5 3 从分别写有数字 1 2 3 4 5 的 5 张卡片中依次取出两张 把第一张卡片上的数字作 为十位数字 第二张卡片上的数字作为个位数字 组成一个两位数 则所组成的数是 3 的 倍数的概率是 A B C D 1 5 3 10 2 5 1 2 4 在 ABC 中 ABC 12 ACB 132 BM 和 CN 分别是这两个角的外角平分线 且点 M N 分别在直线 AC 和直线 AB 上 则 A BM CN B BM CN C BM CN D BM 和 CN 的大小关系不确定 5 现有价格相同的 5 种不同商品 从今天开始每天分别降价 10 或 20 若干天后 这 5 种商品的价格互不相同 设最高价格和最低价格的比值为 r 则 r 的最小值为 A 3 B 4 C 5 D 9 8 9 8 9 8 9 8 6 已知实数 x y 满足 x y 2008 则 3x2 2y2 3x 3y 2007 x2 2 2008 y2 2 2008 的值为 A 2008 B 2008 C 1 D 1 二 填空题二 填空题 1 设 a 则 a5 5 a4 4 2a3 3 a2 2 a 2 a3 3 a 2 如图 正方形 ABCD 的边长为 1 M N 为 BD 所在直线上的两点 且 AM MAN 135 则四边形 AMCN 的面积为 5 3 已知二次函数 y x2 ax b 的图象与 x 轴的两个交点的横坐标分别为 m n 且 m n 1 设满足上述要求的 b 的最大值和最小值分别为 p q 则 p q 4 4 依次将正整数 1 2 3 的平方数排成一串 149162536496481100121144 排在第 1 个位置的数字是 1 排在第 5 个位置的数字是 6 排在第 10 个位置的数字是 4 排在第 2008 个位置的数字是 第二试第二试 一 一 已知 a2 b2 1 对于满足条件 0 x 1 的一切实数 x 不等式 a 1 x 1 x ax bx b x bx 0 恒成立 当乘积 ab 取最小值时 求 a b 的值 二 二 如图 圆 O 与圆 D 相交于 A B 两点 BC 为圆 D 的切线 点 C 在圆 O 上 且 AB BC 1 证明 点 O 在圆 D 的圆周上 2 设 ABC 的面积为 S 求圆 D 的的半径 r 的最小值 三 三 设 a 为质数 b 为正整数 且 9 2a b 2 509 4a 511b 求 a b 的值 参考答案 第一试第一试 选择题 1 B 2 D 3 C 4 B 5 B 6 D 填空题 1 2 2 3 4 1 5 2 1 2 第二试第二试 一 一 已知 对于满足条件的一切实数 不等式 22 1ab 01x x 恒成立 当乘积取最小值时 求的值 1 1 0axxaxbx bxbx ab a b 解 设 则 1 1 bxxbbxaxxxaxf 1 1 1 2222 xxbbxxxaxaxf 1 1 2222 xxbabxxa 1 1 22 xxbxxa 当时 当时 故 0 x0 0 af1 x0 1 bf0 0 ba 若 则 不恒大于等于 0 故即 同理 0 a1 bxxxf 2 2 0 a0 a0 b 当时 10 x 1 12 1 2 xxabxbxaxf 1 当 即时 xbxa 1 1 0 ba a x 故 即 0 1 12 xxabxf012 ab 4 1 ab 2 当 即时 4 1 ab012 ab 0 1 12 1 2 xxabxbxaxf 综上所述 最小值是 此时或 ab 4 1 4 26 4 26 b a 4 26 4 26 b a 二 二 如图 圆与圆相交于两点 为圆的切线 点在圆上 且OD A BBCDCO ABBC 1 证明 点在圆的圆周上 OD 2 设 的面积为 求圆的的半径的最小值 ABCSDr 解 1 连接 则 又OCOBOA OCOBOA 故等腰ACAB 由于BCOABO CBOABO 为圆的切线 BCD 故弦切角所夹劣弧长为所夹劣弧长的 2ABC OBC 倍 即半径所在直径通过弧的中点 即点在BOABO 圆上 D 2 连接 则 BDAD ABBDADr 2 故 又 故 即 且当ACABABr 22 4SACAB2 Sr24 2 2 2S r 为圆的直径时可以取等号 故的最小值是 ABDr 2 2S 三 三 设为质数 为正整数 且 求 的值 ab 2 9 2 509 4511 abab ab 解 将原等式整理为关于的一元二次方程 b 由于为正整数 则方程判别式0509436 51150936 9 22 aababb 是完全平方 72511 509 509436 94 51150936 2222 aaaa 数 即为完全平方数 设 则a725112 72511 22 Ntta 即 由于 at72511 22 att72 511 511 1022 511 511 tt 故同为奇数或者同为偶数 且不同是被 3 整除 511 511 tt 当时 检验得不是完全平方数2 a2725112 当时 检验得不是完全平方数3 a3725112 当时 由上面分析可知共 4 种分5 a18436218436272 aaaaa 解方式可能满足条件 当时 不是整数 当时 不是整数 at t 36511 2511 3 85 a at