2011-2018高考数学圆锥曲线分类汇编(理)

1 2011 2018 新新课标课标 理科理科 圆锥圆锥曲曲线线分分类汇编类汇编 一 选择填空 2011 新课标 7 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点 且与 C 的一条对称轴垂直 l 与 C 交于 A B 两点 为 C 的实轴长的 2 倍 则 C 的离心率为 B AB A B C 2 D 323 2011 新课标 14 在平面直角坐标系中 椭圆的中心为原点 焦点在 轴上 xOyC 12 F Fx 离心率为 过 的直线 交于两点 且的周长为 16 那么的方程为 2 2 l A B AABF2 C 22 1 168 xy 2012 新课标 4 设 12 FF是椭圆的左 右焦点 为直线 22 22 1 0 xy Eab ab P 3 2 a x 上一点 21 F PF是底角为30 的等腰三角形 则的离心率为 C E A 1 2 B 2 3 C D 解析 21 F PF是底角为30 的等腰三角形 221 33 2 2 24 c PFF Facce a 2012 新课标 8 等轴双曲线的中心在原点 焦点在轴上 与抛物线的准线CxCxy16 2 交于两点 则的实轴长为 C A B4 3AB C A2 B2 2 C D 解析 设交的准线于 222 0 C xyaa xy16 2 4l x 4 2 3 A 4 2 3 B 得 222 4 2 3 4224aaa 2013 新课标 1 4 已知双曲线 C 1 a 0 b 0 的离心率为 则 C 的渐近线方程 x2 a2 y2 b2 5 2 为 C A y x B y x C y x D y x 1 4 1 3 1 2 解析 由题知 即 的渐近线方程为 5 2 c a 5 4 2 2 c a 22 2 ab a 2 2 b a 1 4 b a 1 2 C 故选 1 2 yx C 2013 新课标 1 10 已知椭圆 1 a b 0 的右焦点为 F 3 0 过点 F 的直线交椭圆 x2 a2 y2 b2 于 A B 两点 若 AB 的中点坐标为 1 1 则 E 的方程为 D 2 A 1 B 1 C 1 D 1 x2 45 y2 36 x2 36 y2 27 1 2 x2 27 y2 18 x2 18 y2 9 解析 设 则 2 2 1122 A x yB xy 12 xx 12 yy 22 11 22 1 xy ab 22 22 22 1 xy ab 得 12121212 22 0 xxxxyyyy ab 又 又 9 AB k 12 12 yy xx 2 12 2 12 bxx ayy 2 2 b a AB k 0 1 3 1 1 2 2 2 b a 1 2 2 c 22 ab 解得 9 18 椭圆方程为 故选 D 2 b 2 a 22 1 189 xy 2013 新课标 2 11 设抛物线 C y2 2px p 0 的焦点为 F 点 M 在 C 上 MF 5 若以 MF 为直径的圆过点 0 2 则 C 的方程为 C A y2 4x 或 y2 8x B y2 2x 或 y2 8x C y2 4x 或 y2 16x D y2 2x 或 y2 16x 解析 设点 M 的坐标为 x0 y0 由抛物线的定义 得 MF x0 5 则 x0 5 2 p 2 p 又点 F 的坐标为 所以以 MF 为直径的圆的方程为 x x0 y y0 y 0 0 2 p 2 p x 将 x 0 y 2 代入得 px0 8 4y0 0 即 4y0 8 0 所以 y0 4 2 0 2 y 由 2px0 得 解之得 p 2 或 p 8 2 0 y1625 2 p p 所以 C 的方程为 y2 4x 或 y2 16x 故选 C 2013 新课标 2 12 已知点 A 1 0 B 1 0 C 0 1 直线 y ax b a 0 将 ABC 分割为 面积相等的两部分 则 b 的取值范围是 B A 0 1 B C D 2 1 1 22 2 1 1 23 1 1 3 2 2014 新课标 1 4 已知 F 为双曲线 C x2 my2 3m m 0 的一个焦点 则点 F 到 C 的一 条渐近线的距离为 A A B 3 C D 3m 33 解析 双曲线 C x2 my2 3m m 0 可化为 一个焦点为 0 一条渐近线方程为 0 点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 故选 A 3 2014 新课标 1 10 已知抛物线 C y2 8x 的焦点为 F 准线为 l P 是 l 上一点 Q 是直线 PF 与 C 的一个交点 若 4 则 QF B A B 3 C D 2 7 2 5 2 解析 设 Q 到 l 的距离为 d 则 QF d 4 PQ 3d 直线 PF 的斜率为 2 F 2 0 直线 PF 的方程为 y 2 x 2 与 y2 8x 联立可得 x 1 QF d 1 2 3 故选 B 2014 新课标 2 10 设 F 为抛物线 C 的焦点 过 F 且倾斜角为 30 的直线交 C 于 A B 2 3yx 两点 O 为坐标原点 则 OAB 的面积为 D A B C D 3 3 4 9 3 8 63 32 9 4 2014 新课标 2 16 设点 M 1 若在圆 O 上存在点 N 使得 OMN 45 0 x 22 1xy 则的取值范围是 1 1 0 x 2015 新课标 1 5 已知 M x0 y0 是双曲线 C 上的一点 F1 F2是 C 上的两 2 2 1 2 x y 个焦点 若 0 则 y0的取值范围是 A A B C D 3 3 3 3 3 6 3 6 2 2 3 2 2 3 2 3 3 2 3 3 解析 2015 新课标 1 14 一个圆经过椭圆的三个顶点 且圆心在 x 轴上 则该圆的标 22 1 164 xy 准方程为 22 325 24 xy 解析 设圆心为 0 则半径为 则 解得 故圆a4 a 222 4 2aa 3 2 a 的方程为 22 325 24 xy 2015 新课标 2 7 过三点 A 1 3 B 4 2 C 1 7 的圆交于 y 轴于 M N 两点 则 MN C A 26 B 8 C 46 D 10 4 2015 新课标 2 11 已知 A B 为双曲线 E 的左 右顶点 点 M 在 E 上 ABM 为等腰三角形 且顶角为 120 则 E 的离心率为 A 5 B 2 C 3 D 2 2016 新课标 1 5 已知方程表示双曲线 且该双曲线两焦点间的 22 22 1 3 xy mnmn F x2 距离为 4 则 n 的取值范围是 A A 1 3 B 1 C 0 3 D 0 33 解析 由题意知 解得 解得 故 22 34mnmn 2 1m 10 30 n n 13n A 选项正确 2016 新课标 1 10 以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A B 两 点 交 C 的标准线于 D E 两点 已知 AB DE 则 C 的4 22 5 焦点到准线的距离为 B A 2 B 4 C 6 D 8 解析 令抛物线方程为 D 点坐标为 则 2 2ypx 2 p 5 圆的半径为 2 5 4 p r 即 A 点坐标为 所以 解得 2 2 83 4 p r 2 3 4 p 2 2 2 2 2 2 23 4 p p 4p 故 B 选项正确 2016 新课标 2 4 圆的圆心到直线 的距离为 1 则 22 28130 xyxy 10axy a A 5 A B C D 2 4 3 3 4 3 解析 圆 22 28130 xyxy 化为标准方程为 22 144xy 故圆心为 14 2 41 1 1 a d a 解得 4 3 a 故选 A 2016 新课标 2 11 已知 是双曲线 E 的左 右焦点 点 M 在 E 上 1 F 2 F 22 22 1 xy ab 与轴垂直 sin 则 E 的离心率为 A 1 MF x 21 1 3 MF F A B C D 2 2 3 23 解析 离心率 12 21 FF e MFMF 由正弦定理得 12 2112 2 2 sin 3 2 1 sinsin 1 3 FFM e MFMFFF 故选 A 2016 新课标 3 11 已知 O 为坐标原点 F 是椭圆 C 1 a b 0 左焦点 A B x2 a2 y2 b2 分别为 C 的左 右顶点 P 为 C 上一点 且 PF x 轴 过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M 与 y 轴交于 E 若直线 BM 经过 OE 的中点 则 C 的离心率为 A A B C D 1 3 1 2 2 3 3 4 2016 新课标 3 16 已知直线 l mx y 3m 0 与圆 x2 y2 12 交于 A B 两点 过 3 A B 分别作 l 的垂线与 x 轴并于 C D 两点 若 AB 2 则 CD 4 3 2017 新课标 1 10 已知 F 为抛物线 C y2 4x 的焦点 过 F 作两条互相垂直的直线 l1 l2 直线 l1与 C 交于 A B 两点 直线 l2与 C 交于 D E 两点 则 AB DE 的最小值为 A A 16B 14C 12D 10 2017 新课标 1 15 已知双曲线 C a 0 b 0 的右顶点为 A 以 A 为圆心 22 22 1 xy ab b 为半径做圆 A 圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M N 两点 若 MAN 60 则 C 的离心 率为 2 3 3 2017 新课标 2 9 若双曲线 的一条渐近线被圆C 22 22 1 xy ab 0a 0b 所截得的弦长为 2 则的离心率为 A 2 2 24xy C A 2 B C D 32 2 3 3 6 解析 双曲线 C 1 a 0 b 0 的一条渐近线不妨为 bx ay 0 圆 x 2 2 y2 4 的圆心 2 0 半径为 2 双曲线 C 1 a 0 b 0 的一条渐 近线被圆 x 2 2 y2 4 所截得的弦长为 2 可得圆心到直线的距离为 解得 可得 e2 4 即 e 2 故选 A 2017 新课标 2 16 已知是抛物线的焦点 是上一点 的延长线交FC 2 8yx CF 轴于点 若为的中点 则 6 y F F 解析 抛物线 C y2 8x 的焦点 F 2 0 M 是 C 上一点 FM 的延长线交 y 轴于点 N 若 M 为 FN 的中点 可知 M 的横坐标为 1 则 M 的纵坐标为 FN 2 FM 2 6 2017新课标3 5 已知双曲线 的一条渐近线方程为 22 22 1 xy C ab 0a 0b 5 2 yx 且与椭圆有公共焦点 则的方程为 B 22 1 123 xy C A B C D 22 1 810 xy 22 1 45 xy 22 1 54 xy 22 1 43 xy 解析 双曲线的一条渐近线方程为 则 5 2 yx 5 2 b a 又 椭圆与双曲线有公共焦点 易知 则 22 1 123 xy 3c 222 9abc 由 解得 则双曲线的方程为 故选 B 2 5ab C 22 1 45 xy 2017新课标3 10 已知椭圆 的左 右顶点分别为 且以 22 22 1 xy C ab 0ab 1 A 2 A 线段为直径的圆与直线相切 则的离心率为 A 1 A 2 A20bxayab C A B C D 6 3 3 3 2 1 3 解析 以为直径为圆与直线相切 圆心到直线距离等于半径 12 A A20bxayab d 又 则上式可化简为 22 2ab da ab 0 0ab 22 3ab 可得 即 故选A 222 bac 222 3aac 2 2 2 3 c a 6 3 c e a 2018 新课标 1 8 设抛物线的焦点为 过点且斜率为的直线与 2 4Cyx F 20 2 3 交于 两点 则 CMN 7 A 5B 6C 7D 8 答案 D 2018 新课标 1 11 已知双曲线 为坐标原点 为的右焦点 过的 2 2 1 3 x Cy OFCF 直线与的两条渐近线的交点分别为 若为直角三角形 则 CMNOMN MN A B 3C D 4 3 2 2 3 答案 B 2018 新课标 2 5 双曲线的离心率为 则其渐近线方程为 22 22 1 0 0 xy ab ab 3 A B C D 2yx 3yx 2 2 yx 3 2 yx 答案 A 2018 新课标 2 12 已知 是椭圆的左 右焦点 是的左 1 F 2 F 22 22 1 0 xy Cab ab AC 顶点 点在过且斜率为的直线上 为等腰三角形 则的离心 PA 3 612 PFF 12 120FF P C 率为 A B C D 2 3 1 2 1 3 1 4 答案 D 2018 新课标 3 6 直线分别与 轴 轴交于 两点 点在圆20 xy xyABP 上 则面积的取值范围是 2 2 22xy ABP A B C D 26 48 23 2 2 23 2 答案 A 2018 新课标 3 11 设是双曲线 的左 右焦点 是坐 12 FF 22 22 1 xy C ab 00ab O 标原点 过作的一条渐近线的垂线 垂足为 若 则的离心率为 2 FCP 1 6PFOP C A B 2C D 532 答案 C 2018 新课标 3 16 已知点和抛物线 过的焦点且斜率为 的直线与 1 1M 2 4Cyx Ck 交于 两点 若 则 CAB90AMB k 答案 2 二 解答题 2011 新课标 20 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 A 0 1 B 点在直线 y 3 上 M 点 满足 MB OA MA AB MB BA M 点的轨迹为曲线 C 8 1 求 C 的方程 2 P 为 C 上的动点 l 为 C 在 P 点处得切线 求 O 点到 l 距离的最小值 解析 1 设 M x y 由已知得 B x 3 A 0 1 所以 x 1 y 0 3 y x 2 由题意得知 0 即 x 4 2y x 2 0 所以曲线 C 的方程式为 y x 2 1 4 2 2 设 P x y 为曲线 C y x 2 上一点 因为 y x 所以 的斜率为x 00 1 4 2 1 2 l 1 2 0 因此直线 的方程为 即 l 000 1 2 yyx xx 2 00 220 x xyyx 则 O 点到 的距离 又 l 2 00 2 0 2 4 yx d x 2 00 1 2 4 yx 所以 2 0 2 0 22 00 1 4 14 2 4 2 2 44 x dx xx 当 0 时取等号 所以 O 点到 距离的最小值为 2 2 0 xl 2012 新课标 20 设抛物线的焦点为 准线为 已知以 2 2 0 C xpy p FlAC 为圆心 为半径的圆交 于两点 FFAFl B D 1 若 的面积为 求的值及圆的方程 0 90 BFDABD 24pF 2 若三点在同一直线上 直线与平行 且与只有一个公共点 求坐标 A B FmnmnC 原点到距离的比值 m n 解析 1 由对称性知 是等腰直角 斜边BFD 2BDp 点到准线 的距离 Al2dFAFBp 1 4 24 22 2 ABD SBDdp 圆的方程为F 22 1 8xy 2 由对称性设 则 2 0 00 0 2 x A xx p 0 2 p F 点关于点对称得 A BF 22 22 00 00 3 222 xxp Bxppxp pp 得 直线 3 3 2 p Ap 3 3 22 30 223 pp pp m yxxy p 切点 2 2 33 2 233 xx xpyyyxp pp 3 36 p p P 9 直线 333 30 6336 pp n yxxyp 坐标原点到距离的比值为 m n 33 3 26 pp 2013 新课标 1 20 已知圆 M x 1 2 y2 1 圆 N x 1 2 y2 9 动圆 P 与圆 M 外切 并与圆 N 内切 圆心 P 的轨迹为曲线 C 1 求 C 的方程 2 l 是与圆 P 圆 M 都相切的一条直线 l 与曲线 C 交于 A B 两点 当圆 P 的半径最长时 求 AB 解析 由已知得圆的圆心为 1 0 半径 1 圆的圆心为 1 0 半径 3 MM 1 rNN 2 r 设动圆的圆心为 半径为R PPxy 1 圆与圆外切且与圆内切 PM PN 4 PMN 12 RrrR 12 rr 由椭圆的定义可知 曲线C是以M N为左右焦点 场半轴长为2 短半轴长为 的椭圆 左顶3 点除外 其方程为 22 1 2 43 xy x 2 对于曲线C上任意一点 由于 PM PN 2 R 2 当且仅当圆P的Pxy22R 圆心为 2 0 时 R 2 当圆P的半径最长时 其方程为 22 2 4xy 当 的倾斜角为时 则 与轴重合 可得 AB l 0 90ly2 3 当 的倾斜角不为时 由 R知 不平行轴 设 与轴的交点为Q 则 可l 0 90 1 rlxlx QP QM 1 R r 求得Q 4 0 设 由 于圆M相切得 解得 l 4 yk x l 2 3 1 1 k k 2 4 k 当 时 将代入并整理得 解得k 2 4 2 2 4 yx 22 1 2 43 xy x 2 7880 xx AB 1 2 x 46 2 7 2 12 1 kxx 18 7 当 时 由图形的对称性可知 AB 综上 AB 或 AB k 2 4 18 7 18 7 2 3 2013 新课标 2 20 平面直角坐标系 xOy 中 过椭圆 M a b 0 右焦点的直 22 22 1 xy ab 线交 M 于 A B 两点 P 为 AB 的中点 且 OP 的斜率为 30 xy 1 2 10 1 求 M 的方程 2 C D 为 M 上两点 若四边形 ACBD 的对角线 CD AB 求四边形 ACBD 面积的最大值 解析 1 设 A x1 y1 B x2 y2 P x0 y0 则 22 11 22 1 xy ab 22 22 22 1 xy ab 21 21 1 yy xx 由此可得 因为 x1 x2 2x0 y1 y2 2y0 2 2121 2 2121 1 bxxyy ayyxx 0 0 1 2 y x 所以 a2 2b2 又由题意知 M 的右焦点为 0 故 a2 b2 3 3 因此 a2 6 b2 3 所以 M 的方程为 22 1 63 xy 2 由 解得或 因此 AB 22 30 1 63 xy xy 4 3 3 3 3 x y 0 3 x y 4 6 3 由题意可设直线 CD 的方程为 y 5 3 3 3 xnn 设 C x3 y3 D x4 y4 由得 3x2 4nx 2n2 6 0 于是 x3 4 22 1 63 yxn xy 2 22 9 3 nn 因为直线 CD 的斜率为 1 所以 CD 2 43 4 2 9 3 xxn 由已知 四边形 ACBD 的面积 2 18 6 9 29 SCDABn 当 n 0 时 S 取得最大值 最大值为 所以四边形 ACBD 面积的最大值为 8 6 3 8 6 3 2014 新课标 1 20 已知点 A 0 2 椭圆 E 1 a b 0 的离心率为 F 是椭圆 E 的右焦点 直线 AF 的斜率为 O 为坐标原点 1 求 E 的方程 2 设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P Q 两点 当 OPQ 的面积最大时 求 l 的方程 解析 1 设 F c 0 直线 AF 的斜率为 解得 c 11 又 b2 a2 c2 解得 a 2 b 1 椭圆 E 的方程为 2 设 P x1 y1 Q x2 y2 由题意可设直线 l 的方程为 y kx 2 联立 化为 1 4k2 x2 16kx 12 0 当 16 4k2 3 0 时 即时 PQ 点 O 到直线 l 的距离 d S OPQ 设 0 则 4k2 t2 3 1 当且仅当 t 2 即 解得时取等号 满足 0 OPQ 的面积最大时直线 l 的方程为 2014 新课标 2 20 设 分别是椭圆 C 的左 右焦点 M 是 C 上一 1 F 2 F 2 2 22 10 y x ab ab 点且与 x 轴垂直 直线与 C 的另一个交点为 N 2 MF 1 MF 1 若直线 MN 的斜率为 求 C 的离心率 3 4 2 若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 且 求 a b 1 5MNFN 解析 1 根据 c 以及题设知 M c 2 3ac 将 代入 2 3ac 2 2 2 2 2 2 2 2 解得 2 舍去 故 C 的离心率为 1 2 1 2 2 由题意 原点 O 的的中点 M y 轴 所以直线 M与 y 轴的交点 D 是线段 M 1 2 2 1 的中点 故 4 即 由 得 1 2 2 4 5 1 1 1 设 N x y 由题意可知 yb 0 四点 P1 1 1 P2 0 1 P3 22 22 1 xy ab 1 P4 1 中恰有三点在椭圆 C 上 3 2 3 2 1 求 C 的方程 2 设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A B 两点 若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 1 证明 l 过定点 解析 1 由于 两点关于 y 轴对称 故由题设知 C 经过 两点 又由知 3 P 4 P 3 P 4 P 2222 1113 4abab C 不经过点 P1 所以点 P2在 C 上 因此 解得 故 C 的方程为 2 22 1 1 13 1 4 b ab 2 2 4 1 a b 2 2 1 4 x y 2 设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1 k2 如果 l 与 x 轴垂直 设 l x t 由题设知 且 可得 A B 的坐标分别为 t 0t 2t t 则 得 不符合题设 2 4 2 t 2 4 2 t 22 12 4242 1 22 tt kk tt 2t 从而可设 l 将代入得 ykxm 1m ykxm 2 2 1 4 x y 222 41 8440kxkmxm 由题设可知 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 x1x2 22 16 41 0km 2 8 41 km k 2 2 44 41 m k 而 12 12 12 11yy kk xx 12 12 11kxmkxm xx 1212 12 2 1 kx xmxx x x 由题设 故 12 1kk 1212 21 1 0kx xmxx 17 即 解得 2 22 448 21 1 0 4141 mkm km kk 1 2 m k 当且仅当时 欲使 l 即 1m 0 1 2 m yxm 1 1 2 2 m yx 所以 l 过定点 2 1 2017 新课标 2 20 设 O 为坐标原点 动点 M 在椭圆 C 上 过 M 做 x 轴的垂 2 2 1 2 x y 线 垂足为 N 点 P 满足 1 求点 P 的轨迹方程 2 设点 Q 在直线 x 3 上 且 证明 过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦 点 F 解析 1 设 M x0 y0 由题意可得 N x0 0 设 P x y 由点 P 满足 可得 x x0 y 0 y0 可得 x x0 0 y y0 即有 x0 x y0 代入椭圆方程 y2 1 可得 1 即有点 P 的轨迹方程为圆 x2 y2 2 2 证明 设 Q 3 m P cos sin 0 2 1 可得 cos sin 3 cos m sin 1 即为 3cos 2cos2 msin 2sin2 1 解得 m 即有 Q 3 椭圆 y2 1 的左焦点 F 1 0 由 kOQ kPF 由 kOQ kPF 1 可得过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F 2017新课标3 20 已知抛物线 过点 2 0 的直线 交于 两点 圆 2 2C yx lCAB 是以线段为直径的圆 MAB 1 证明 坐标原点在圆上 OM 2 设圆过点 4 求直线 与圆的方程 MP2 lM 解析 1 显然 当直线斜率为时 直线与抛物线交于一点 不符合题意 0 18 设 2l xmy 11 A x y 22 B xy 联立 得 恒大于 2 2 2 yx xmy 2 240ymy 2 416m 0 12 2yym 12 4y y 12 2 2 mymy 2 1212 1 2 4my ym yy 2 4 1 2 2 4mmm 0 即在圆上 OM 2 若圆过点 则 MP1212 4 4 2 2 0 xxyy 1212 2 2 2 2 0mymyyy 2 1212 1 22 80my ymyy 化简得解得或 2 210mm 1 2 m 1 当时 圆心为 1 2 m 240lxy 00 Q xy 12 0 1 22 yy y 00 19 2 24 xy 半径 则圆 22 91 42 rOQ 22 9185 4216 Mxy 当时 圆心为 1m 20l xy 00 Q xy 12 0 1 2 yy y 00 23xy 半径 则圆 22 31rOQ 22 3 1 10Mxy 2018 新课标 1 19 设椭圆的右焦点为 过的直线 与交于 两点 2 2 1 2 x Cy FFlCAB 点的坐标为 M 20 1 当 与轴垂直时 求直线的方程 lxAM 2 设为坐标原点 证明 OOMAOMB 解析 1 由已知得 l 的方程为 x 1 1 0 F 由已知可得 点 A 的坐标为或 2 1 2 2 1 2 所以 AM 的方程为或 2 2 2 yx 2 2 2 yx 2 当 l 与 x 轴重合时 0OMAOMB 当 l 与 x 轴垂直时 OM 为 AB 的垂直平分线 所以 OMAOMB 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时 设 l 的方程为 1 0 yk xk 1221 AyxyxB 则 直线 MA MB 的斜率之和为 12 2 2xx 2 12 1 22 MAMB xx yy kk 由得 1122 ykkxykxk 1212 12 23 4 2