动态几何问题思考策略解题方法

动态几何问题思考策略与解题方法动态几何问题思考策略与解题方法 以运动的观点探究几何图形部分规律的问题 称之为动态几何问题 动态几何问题充分 体现了数学中的 变 与 不变 的和谐统一 其特点是图形中的某些元素 点 线段 角等 或某部分几何图形按一定的规律运动变化 从而又引起了其它一些元素的数量 位置关系 图形重叠部分的面积或某部分图形等发生变化 但是图形的一些元素数量和关系在运动变 化的过程中却互相依存 具有一定的规律可寻 一 动态几何问题涉及的几种情况 动态几何问题就其运动对象而言 有 1 点动 有单动点型 多动点型 2 线动 主要有线平移型 旋转型 线动实质就是点动 即点动带动线动 进而还会产 生形动 因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解 3 形动 就其运动形式而言 有平移 旋转 翻折 滚动 二 解决动态几何问题的基本思考策略与分析方法 动态型问题综合了代数 几何中较多的知识点 解答时要特别注意以下七点 1 把握运动变化的形式及过程 2 思考运动初始状态时几何元素的关系 以及可求出的几何量 3 动中取静 最重要的一点 要善于在 动 中取 静 让图形和各个几何量都 静 下来 抓住变化中的 不 变量 和不变关系为 向导 求出相关的常量或者以含有变量的代数式表示相关的几何量 4 找等量关系 利用面积关系 相似三角形的性质 勾股定理 特殊图形等的几何性质及 相互关系 找出基本的等量关系式 5 列方程 将相关的常量和含有变量的代数式代入等量关系建立方程或函数模型 某些几何元素的变化会带来其它几何量的变化 所以在求变量之间的关系时 通常建 立函数模型或不等式模型求解 在解决有关特殊点 特殊值 特殊位置关系问题时常结合 图形建立方程模型求解 6 是否分类讨论 将变化的几何元素按题目指定的运动路径运动一遍 从动态的角度去分析观察可能出 现的情况 看图形的形状是否改变 或图形的有关几何量的计算方法是否改变 以明确是 否需要根据运动过程中的特殊位置分类讨论解决 7 确定变化分界点 若需分类讨论 要以运动到达的特殊点为分界点 画出与之对应情况相吻合的图形 找到情况发生改变的时刻 确定变化的范围分类求解 例 如图 有一边长为 5cm 的正方形 ABCD 和等腰三角形 RQR PQ PR 5cm QR 8cm 点 B C Q R 在同一条直线 上 当 C Q 两点重合 时开始 t 秒后正方形 ABCD 与等腰 PQR 重合部分的面积为 Scm 2 解答下列问题 1 当 t 3 秒时 求 S 的值 2 当 t 5 秒时 求 S 的值 3 当 5 秒 t 8 秒时 求 S 与 t 的函数关系式 并求出 S 的最大值 A BQCR P D 分析 当等腰 PQR 从 C Q 两点重合开始 以 1cm 秒的速度沿直线 向左匀速运 动时 正方形 ABCD 与等腰 PQR 重合部分图形的形状在改变 因此 我们需要根据运动 过程中的特殊位置分类讨论解决 运动过程中有四个特殊位置点 它们分别是点 B C R 和等腰 PQR 底边的中点 E 这四个特殊位置点就是分类讨论问题的 分界点 因为正方形 ABCD 的边长为 5cm 等腰三角形 RQR 的底边 QR 8cm 1 所以当 t 4 秒时 QE 逐渐地与与 BC 完全重合 则 S 是 QCG 的面积 所以 当 t 3 秒时 S 是 QCG 的面积 如图一的 静态 2 当 4 秒 t 5 秒时 即在点 E 落在线段上到点 Q 与点 B 重合 S 是四边形 QCGP 的 面积 如图二的 静态 3 当 5 秒 t 8 秒时 点 Q R 都在线段 BC 外 点 E 在 BC 上 S 是一个五边形 BCGPH 的面积 如图三的 静态 即 1 运动规律 2 思考初始 3 动中取静 4 找等量关系 5 列方程 6 是否 分类讨论 7 确定分界点 三 典型例题 20062006 重重庆庆 如图 1 所示 一张三角形纸片 ABC ACB 90 AC 8 BC 6 沿斜边 AB 的中线 CD 把这张纸片剪成和两个三角形 如图 2 所示 将纸片 11 AC D 22 BC D 沿直线 AB 方向平移 点始终在同一直线上 当点于 11 AC D 2 D B 12 A D D B 1 D C B 图 一 A QR P D G E 图一 A BC D P Q RE H G 图三 R A BC D Q P E G 图二 点 B 重合时 停止平移 在平移过程中 与交于点 E 与分别 11 C D 2 BC 1 AC 222 C DBC 交于点 F P 1 当平移到如图 3 所示的位置时 猜想图中的与的数量关系 并证明 11 AC D 1 D E 2 D F 你的猜想 2 设平移距离为 与重叠部分面积为 请写出与的函数 21 D Dx 11 AC D 22 BC D yyx 关系式 以及自变量的取值范围 3 对于 2 中的结论是否存在这样的的值 使重叠部分的面积等于原面积的xABC 1 4 若存在 求 x 的值 若不存在 请说明理由 分析 1 把握运动变化的形式及过程 题目条件 将沿直线 AB 方向平移 点始终在同一直线 11 AC D 2 D B 12 A D D B 上 当点于点 B 重合时 停止平移 1 D 所以这是一个图形的平移运动 2 思考初始 找出初始位置时某些几何元素的数量和关系 1 因为在Rt ABC 中 8 6ACBC 所以由勾股定理 得10 AB 2 因为 CD 是斜边上的中线 所以 即90ACB DCDADB 112221 C DC DBDAD 3 1 CA 12 90CC 第 1 问 动 中取 静 让图形和各个几何量都 静 下来 因为是平移 所以 所以 1122 C DC D 12 CAFD 1 CA 所以 所以 22 ADD F 2 AFDA 同理 11 BDD E C BDA 图 1 图 3 C2 D2 C1 BD1A 图 2 P E F AD1BD2 C1 C2 又因为 12 ADBD 所以 21 ADBD 所以 12 D ED F 第 2 问 1 是求变量之间的关系 则建立函数模型 2 按题目指定的运动路径运动一遍 重叠部分图形的形状不发生改变 则不需要分类讨 论解决 3 找等量关系式 用面积割补法知道 2212 22 1126 5 22525 BC DBEDFC PABC ySSSSxx 4 动 中取 静 求出相关的常量或者以含有自变量的代数式表示相关的几何量 为便于求其面积 注意选择三角形的底和高 三角形 BD1E 的底为 BD1 需求高 需求 直角三角形 C2OF 的底和高 我们视自变量为 不变量 以 21 D Dx 为 向导 去求出三角形的底和高 A 22 BC D 的面积等于ABC 面积的一半 等于 12 B 又因为 21 D Dx 所以 1122 5D EBDD FADx 所以 21 C FC Ex 由得 1122 C DC D 221 BC DBED 又ABC 的AB边上的高 为 24 5 设的边上的高为 1 BED 1 BDh 所以 5 24 5 5 hx 所以 24 5 25 x h 1 2 1 112 5 225 BED SBDhx C 又因为 所以 12 90CC 2 90FPC 在直角三角形 PFC2中 C2F X 又因为 2 CB 43 sin cos 55 BB 所以 2 34 55 PCx PFx 2 2 2 16 225 FC P SPCPFx 而 2212 22 1126 5 22525 BC DBEDFC PABC ySSSSxx 所以 2 1824 05 255 yxxx 第 3 问 是求特殊值问题 则建立方程模型求解 存在 当时 即 1 4 ABC yS 2 1824 6 255 xx 整理 得解得 2 320250 xx 12 5 5 3 xx 即当或时 重叠部分的面积等于原面积的 5 3 x 5x ABC 1 4 解析解析 1 因为 所以 12 D ED F 1122 C DC D 12 CAFD 又因为 CD 是斜边上的中线 90ACB 所以 即DCDADB 112221 C DC DBDAD 所以 所以 1 CA 2 AFDA 所以 22 ADD F 同理 11 BDD E 又因为 12 ADBD 所以 21 ADBD 所以 12 D ED F 2 因为在Rt ABC 中 8 6ACBC 所以由勾股定理 得10 AB 即 121122 5ADBDC DC D 又因为 21 D Dx 所以 1122 5D EBDD FADx 所以 21 C FC Ex 在 22 BC D 中 2 C到 2 BD的距离就是ABC 的AB边上的高 为 24 5 设的边上的高为 由探究 得 所以 1 BED 1 BDh 221 BC DBED 5 24 5 5 hx 所以 24 5 25 x h 1 2 1 112 5 225 BED SBDhx 又因为 所以 12 90CC 2 90FPC 又因为 2 CB 43 sin cos 55 BB 所以 2 34 55 PCx PFx 2 2 2 16 225 FC P SPCPFx 而 2212 22 1126 5 22525 BC DBEDFC PABC ySSSSxx 所以 2 1824 05 255 yxxx 3 存在 当时 即 1 4 ABC yS 2 1824 6 255 xx 整理 得解得 2 320250 xx 12 5 5 3 xx 即当或时 重叠部分的面积等于原面积的 5 3 x 5x ABC 1 4 20062006 山东青岛 山东青岛 如图 有两个形状完全相同的直角三角形 ABC 和 EFG 叠放在 一起 点 A 与点 E 重合 已知 AC 8cm BC 6cm C 90 EG 4cm EGF 90 O 是 EFG 斜边上的中点 如图 若整个 EFG 从图 的位置出发 以 1cm s 的速度沿射线 AB 方向平移 在 EFG 平移的同时 点 P 从 EFG 的顶点 G 出发 以 1cm s 的速度在直角边 GF 上向点 F 运动 当点 P 到达点 F 时 点 P 停止运动 EFG 也随之停止平移 设运动时间为 x s FG 的延长线交 AC 于 H 四边形 OAHP 的面积为 y cm2 不考虑点 P 与 G F 重合的情况 1 当 x 为何值时 OP AC 2 求 y 与 x 之间的函数关系式 并确定自变量 x 的取值范围 3 是否存在某一时刻 使四边形 OAHP 面积与 ABC 面积的比为 13 24 若存在 求出 x 的值 若不存在 说明理由 参考数据 1142 12996 1152 13225 1162 13456 或 4 42 19 36 4 52 20 25 4 62 21 16 分析 1 把握运动变化的形式及过程 题目条件 若整个 EFG 从图 的位置出发 以 1cm s 的速度沿射线 AB 方向平移 在 EFG 平移的同时 点 P 从 EFG 的顶点 G 出发 以 1cm s 的速度在直角边 GF 上向 点 F 运动 当点 P 到达点 F 时 点 P 停止运动 EFG 也随之停止平移 1 整个 EFG 从图 的位置出发 以 1cm s 的速度沿射线 AB 方向平移 2 点 P 从 EFG 的顶点 G 出发 以 1cm s 的速度在直角边 GF 上向点 F 运动 0 x 3 2 思考初始 1 注意参考数据运用于计算平方 平方根或估算 2 找出初始位置时某些几何元素的数量和关系 Rt EFG Rt ABC BC FG AC EG 68 4FG FG 3cm 8 64 EG AC 第 1 问 1 是特殊位置关系问题 建立方程模型求解 2 动 中取 静 让图形和各个几何量都在特殊位置关系 OP AC 静 下来 画出与对应情况相吻合的图形 O 是 EFG 斜边上的中点 当 P 为 FG 的中点时 OP EG EG AC OP AC x 3 1 5 s 1 2 1 FG 2 1 当 x 为 1 5s 时 OP AC 第 2 问 1 是求变量之间的关系 则建立函数模型 2 题目明确了是求四边形 OAHP 的面积 则不需要分类讨论解决 3 找等量关系式 用面积割补法知道 Y S四边形 OAHP S AFH S OFP 4 动 中取 静 求出相关的常量或者以含有自变量的代数式表示相关的几何量 为便于求其面积 选择 OFD 的底为 FP 需求边 FP 上的高 我们视自变量为 不变量 以 PG X 为 向导 去求出 OFD 的底和高 在 Rt EFG 中 由勾股定理得 EF 5cm EG AH EFG AFH FH FG AF EF AH EG FHxAH 3 5 54 AH x 5 FH x 5 5 4 5 3 过点 O 作 OD FP 垂足为 D 点 O 为 EF 中点 OD EG 2cm 2 1 FP 3 x S四边形 OAHP S AFH S OFP AH FH OD FP 2 1 2 1 x 5 x 5 2 3 x 2 1 5 4 5 3 2 1 x2 x 3 25 6 5 17 0 x 3 第 3 问 是求特殊值问题 则建立方程模型求解 假设存在某一时刻 x 使得四边形 OAHP 面积与 ABC 面积的比为 13 24 则 S四边形 OAHP S ABC 24 13 x2 x 3 6 8 25 6 5 17 24 13 2 1 6x2 85x 250 0 计算时注意参考数据的运用 解得 x1 x2 舍去 2 5 3 50 0 x 3 当 x s 时 四边形 OAHP 面积与 ABC 面积的比为 13 24 2 5 解析解析 1 Rt EFG Rt ABC BC FG AC EG 68 4FG FG 3cm 8 64 当 P 为 FG 的中点时 OP EG EG AC x 3 1 5 s 1 2 1 FG 2 1 当 x 为 1 5s 时 OP AC 2 在 Rt EFG 中 由勾股定理得 EF 5cm EG AH EFG AFH FH FG AF EF AH EG FHxAH 3 5 54 AH x 5 FH x 5 5 4 5 3 过点 O 作 OD FP 垂足为 D 点 O 为 EF 中点 OD EG 2cm 2 1 FP 3 x S四边形 OAHP S AFH S OFP AH FH OD FP 2 1 2 1 x 5 x 5 2 3 x 2 1 5 4 5 3 2 1 x2 x 3 25 6 5 17 0 x 3 3 假设存在某一时刻 x 使得四边形 OAHP 面积与 ABC 面积的比为 13 24 则 S四边形 OAHP S ABC 24 13 x2 x 3 6 8 25 6 5 17 24 13 2 1 6x2 85x 250 0 解得 x1 x2 舍去 2 5 3 50 0 x 3 当 x s 时 四边形 OAHP 面积与 ABC 面积的比为 13 24 2 5 20062006 河北 河北 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC 12 BC 16 动点 P 从点 A 出发沿 AC 边向点 C 以每秒 3 个单位长的速度运动 动点 Q 从点 C 出发沿 CB 边向点 B 以 每秒 4 个单位长的速度运动 P Q 分别从点 A C 同时出发 当其中一点到达端点时 另 一点也随之停止运动 在运动过程中 PCQ 关于直线 PQ 对称的图形是 PDQ 设运动 时间为 t 秒 1 设四边形 PCQD 的面积为 y 求 y 与 t 的函数关系式 2 t 为何值时 四边形 PQBA 是梯形 3 是否存在时刻 t 使得 PD AB 若存在 求出 t 的值 若不存在 请说明理由 4 通过观察 画图或折纸等方法 猜想是否存在时刻 t 使得 PD AB 若存在 请估计 t 的值在括号中的哪个时间段内 0 t 1 1 t 2 2 t 3 3 t 4 若不存在 请简要说明理由 分析 1 把握运动变化的形式及过程 题目条件 动点 P 从点 A 出发沿 AC 边向点 C 以每秒 3 个单 位长的速度运动 动点 Q 从点 C 出发沿 CB 边向点 B 以每秒 4 个 单位长的速度运动 P Q 分别从点 A C 同时出发 当其中一 点到达端点时 另一点也随之停止运动 在运动过程中 PCQ 关于直线 PQ 对称的图形是 PDQ 所以 这是双动点 P Q 图形 PCQ 翻折的运动 1 动点 P 从点 A 出发沿 AC 边向点 C 运动 2 动点 Q 从点 C 出发沿 CB 边向点 B 运动 3 PCQ 关于直线 PQ 对称的图形是 PDQ 2 思考初始 找出初始位置时某些几何元素的数量和关系 在 Rt ABC 中 C 90 AC 12 BC 16 AB 20 22 1216 第 1 问 1 是求变量之间的关系 则建立函数模型 2 题目明确了是求四边形 PCQD 的面积 则不需要分类讨论解决 3 找等量关系式 PCQ 与 PDQ 关于直线 PQ 对称 y 2S PCQ 4 动 中取 静 求出相关的常量或者以含有自变量的代数式表示相关的几何量 为便于求其面积 注意选择直角 PCQ 的两直角边为底和高 我们视自变量 动量 为 不变量 静量 则以 CQ 4t AP 3t 为 向导 求出 PC 12 3t S PCQ ttCQPC246 2 1 2 PCQ 与 PDQ 关于直线 PQ 对称 y 2S PCQ tt4812 2 第 2 问 1 实质是特殊位置关系问题 建立方程模型求解 2 动 中取 静 让图形在特殊情况 四边形 PQBA 是梯形 静 下来 画出与对 应情况相吻合的图形 当四边形 PQBA 是梯形时有 PQ AB 2 PQ AB 时 应有 则以此建立方程模型求解 CQCP CACB 3 求出相关的常量或者以含有自变量的代数式表示相关的几何量 A P C QB D 当时 有 PQ AB 而 AP 与 BQ 不平行 这时四边形 PQBA 是梯形 CQCP CACB CA 12 CB 16 CQ 4t CP 12 3t 解得 t 2 16 4 12 312tt 当 t 2 秒时 四边形 PQBA 是梯形 第 3 问 题目条件 是否存在时刻 t 使得 PD AB 若存在 求出 t 的值 若不存在 请 说明理由 1 实质是求两线的特殊位值关系 则仿照第 2 问的方法建立比例方程求解 2 动 中取 静 让图形在 PD AB 的情况 静 下来 画出与对应情况相吻合 的图形 设存在时刻 t 使得 PD AB 那么延长 PD 交 BC 于点 M 如下图 PD AB 3 视 动量 为 静量 求出相关的常量或者以含有变量 t 的代数式表示相关的几何 量 若 PD AB 则 CPCM CACB QD CQ 4t CP AC AP 12 3t AC 12 AB 20 22 1216 QMD B QDM C 90 Rt QMD Rt ABC 从而 AC QD AB QM 12 4 20 tQM QM 20 3 t CM CQ QM 4t 20 3 t 解得 t 20 4 123 3 1216 tt t 12 11 当 t 秒时 PD AB 12 11 第 4 问 通过观察 画图或折纸等方法 猜想是否存在时刻 t 使得 PD AB 若存在 请估计 t 的值在括号中的哪个时间段内 0 t 1 1 t 2 2 t 3 3 t 4 若不存在 请简要说明理由 A P C QB D M 1 动 中取 静 让图形 静 下来 画出与对应情况相吻合的图形 2 由第 3 问知道当秒 1 t 秒时 PD AB 应有 1 t 12 11 3 动 中取 静 让图形 静 下来 画出与对应情况相吻合的图形 假设 PD AB 于 D AP 3t CP PD 12 3t Rt APD Rt ABC BC AB PD AP 4 5 16 20 312 3 t t 4t 20 5t t 3 19 20 存在时刻 t 使得 PD AB 时间段为 2 t 3 解析解析 1 由题意知 CQ 4t PC 12 3t S PCQ ttCQPC246 2 1 2 PCQ 与 PDQ 关于直线 PQ 对称 y 2S PCQ tt4812 2 2 当时 有 PQ AB 而 AP 与 BQ 不平行 这时四边形 PQBA 是梯形 CQCP CACB CA 12 CB 16 CQ 4t CP 12 3t 解得 t 2 16 4 12 312tt 当 t 2 秒时 四边形 PQBA 是梯形 2 设存在时刻 t 使得 PD AB 延长 PD 交 BC 于点 M 如下图 若 PD AB 则 CPCM CACB QD CQ 4t CP AC AP 12 3t AC 12 AB 20 22 1216 QMD B QDM C 90 Rt QMD Rt ABC 从而 AC QD AB QM 12 4 20 tQM QM 20 3 t CM CQ QM 4t 20 3 t A P C QB D M 解得 t 20 4 123 3 1216 tt t 12 11 当 t 秒时 PD AB 12 11 4 存在时刻 t 使得 PD AB 时间段为 2 t 3 2 20 01 10 0 年年河河北北省省 如图 16 在直角梯形 ABCD 中 AD BC AD 6 BC 8 点 M 是 BC 的中点 点 P 从点 M 出发沿90B 33 AB MB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动 到达点 B 后立刻以原速度沿 BM 返回 点 Q 从点 M 出发以每秒 1 个单位长的速度在射线 MC 上匀速运动 在点 P Q 的运动过程中 以 PQ 为边作等边三角形 EPQ 使它与梯形 ABCD 在射线 BC 的同侧 点 P Q 同时出发 当点 P 返回到点 M 时停止运动 点 Q 也随之停止 设点 P Q 运动的时间是 t 秒 t 0 1 设 PQ 的长为 y 在点 P 从点 M 向点 B 运动的过程中 写出 y 与 t 之间的函数关 系式 不必写 t 的取值范围 2 当 BP 1 时 求 EPQ 与梯形 ABCD 重叠部分的面积 3 随着时间 t 的变化 线段 AD 会有一部分被 EPQ 覆盖 被覆盖线段的长度在某 个时刻会达到最大值 请回答 该最大值能否持续一个时段 若能 直接写出 t 的取值范围 若不能 请说明理由 分析 1 把握运动变化的形式及过程 题目条件 点 M 是 BC 的中点 点 P 从点 M 出发沿 MB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动 到达点 B 后立刻以原速度沿 BM 返回 点 Q 从点 M 出发以每秒 1 个单位长的 速度在射线 MC 上匀速运动 在点 P Q 的运动过程中 以 PQ 为边作等边三角形 EPQ 使它与梯形 ABCD 在射线 BC 的同侧 点 P Q 同时出发 当点 P 返回到点 M 时停止运动 点 Q 也随之停止 表明上动的是两点 实际上由两点引出的等边三角形 EPQ 是运动图形 题目中点 P 从 点 M 出发沿 MB 向 B 点匀速运动 到达点 B 后立刻以原速度沿 BM 返回 而点 Q 从点 M 出发在射线 MC 上匀速运动 由于点 P 的往返运动 且 P Q 两点的运动速度相同 所以 M AD C B PQ E 图 1 AD C B 备用图 M 这两点运动形成的等边三角形 EPQ 的特征为 当 0 t 4 时 三角形 EPQ 的大小随着时 间的增加逐渐变大 但 PQ 边的中点始终是点 M 相当于位似变换 当 t 4 时 随着时间的 增加 三角形 EPQ 的大小始终不变 相当于平移变换 这样的变换非常新颖 但是涉及 的变换又是很简单的 2 思考初始 找出初始位置时某些几何元素的数量和关系 在直角梯形 ABCD 中 AD BC AD 6 BC 8 点 M 是 BC 的90B 33 AB 中点 则 MB MC 4 CD 可求 PCQ 与 PDQ 关于直线 PQ 对称 第 1 问 在点 P 从点 M 向点 B 运动的过程中 P Q 两点的运动速度相同 y MP MQ t t 2t 第 2 问 1 BP 1 有点 P 到达点 B 点前 后两种情况 则需分类讨论解决 当 BP 1 时 有两种情形 如图 2 若点 P 从点 M 向点 B 运动 有 MB 4 MP MQ 3 BC 2 1 PQ 6 现在判断点 E 落在梯形 ABCD 内 外的位置 以 确定 EPQ 与梯形 ABCD 重叠部分的图形形状 连接 EM EPQ 是等边三角形 EM PQ 33 EM AB 点 E 在 AD 上 EPQ 与梯形 ABCD 重叠部分就是 EPQ 其面积为33 39 若点 P 从点 B 向点 M 运动 由题意得 t 4 1 5 PQ BM MQBP 4 5 1 8 PC 8 1 7 此时点E 显然是在AD 上方 动 中取 静 让图形 静 下来 画出与对应情况相吻 合的图形 以确定 EPQ 与梯形 ABCD 重叠部分的图形形状 设 PE 与 AD 交于点F QE 与 AD 或 AD 的延长线交于点 G 过点 P 作 PH AD 于点 H 则 HP AH 1 33 在 Rt HPF 中 HPF 90 60 30 HF 3 PF 6 FG FE PE PF PQ PF 8 6 2 又 FD AD AH HF 6 1 3 2 A D CBPMQ E 图 2 A D CBPMQ E FH G 图 3 FG FD 2 点 G 与点 D 重合 如图 3 此时 EPQ 与梯形 ABCD 的重叠部分就是梯形 FPCG 其面积为 3 2 27 把握运动变化的全过程 确定 EPQ 与梯形 ABCD 重叠关系是解答本题的关键 第 3 问 求随着时间 t 的变化 线段 AD 被 EPQ 覆盖线段的长度能否持续一个时段达到 最大值 因为当 t 4 时 随着时间的增加 三角形 EPQ 的大小始终不变 相当于平移变换 这样 线段 AD 被 EPQ 覆盖线段的长度达到最大值 且持续到被覆盖线段的右端点到达 D 点 根据前面的解答知 此时 t 5 所以 能 4 t 5 解 1 y 2t 2 当 BP 1 时 有两种情形 如图 2 若点 P 从点 M 向点 B 运动 有 MB 4 MP MQ 3 BC 2 1 PQ 6 连接 EM EPQ 是等边三角形 EM PQ 33 EM AB 点 E 在 AD 上 33 EPQ 与梯形 ABCD 重叠部分就是 EPQ 其面积为 39 若点 P 从点 B 向点 M 运动 由题意得 5 t PQ BM MQBP 8 PC 7 设 PE 与 AD 交于点F QE 与 AD 或 AD 的 延长线交于点 G 过点 P 作 PH AD 于点 H 则 HP AH 1 在 Rt HPF 中 33 HPF 90 60 30 HF 3 PF 6 FG FE 2 又 FD 2 点 G 与点 D 重合 如图 3 此