压缩映像原理翻译部分1

部分部分 1 1 文摘结果文摘结果 主题和概括 压缩映像原理是一种研究非线性方程最有用的工具 比如代数方程 积分 或微分方程 原则是一个不动点定理 证明了完备度量空间的压缩映像本身有一个独特的 固定 点通过反复图像的映射下任意起始点的空间获得极限的定义 因此 这是一个建设性的不 动点定理并且可以实现定点的数值计算 从古代数学 即计算古代数字平方根的古代方案 以来 迭代格式一直被使用并且在牛 顿法求解多项式或代数方程组和皮卡德的迭代过程求解初值和边值非线性常微分方程的问 题变得特别实用 见 58 59 在完整的赋范线性空间中 这个原理首先被巴拿赫 5 证明在收缩映射 在巴拿赫的许多 结果请看 60 同时 豪斯多夫为完备度量空间的收缩映射 来自 Caccioppoli 17 75 提供了总体框架原则 介绍了一个抽象的度量空间的概念 它出现在各种文本实际 分析 前一个注释 56 在这些记录中 我们用不同的形式开发压缩映像原理并且提供不同数学文献中的许多应 用程序 我们的目的是向读者介绍一些关于已经发现有用的原则在不同区域的分析 我们 会讨论这些分析 牛顿法的收敛 如何确定分形是固定的点集值压缩迭代函数系统 积极 使用希尔伯特的度量矩阵的门阶 弗罗贝尼乌斯定理和这个无限维空间的拓展 定理 Krein Rutman 常微分方程的存在性和唯一性定理的基本理论 Picard Lindel 定理 和各种相关的结果 Abel Liouville 类型的积分方程理论的应用程序 隐函数定理 变分不等式的基本存在和 唯一性定理 非对称二次形式的 Lax Milgram 类型结果 Cauchy Kowalevsky 基本存在性 定理的偏微分方程的分析条件 这些记录已经收集了几年 最近 被用来作为研讨会中 VIGRE 项目的一个部门基础部分 我们在这里要感谢那些参加了研讨会的本科学生 给了我们有价值的反馈 2 2 完备度量空间 完备度量空间 在本节中 我们短暂回顾大多数本科生数学课程中一些非常基本的概念 我们将假定这些 是必要的知识 这里是相关基本文本 例如 15 32 62 2 1 度量空间 给定一个数组 M 一个度量关于 M 也称为 M 是一个函数距离 0 d R MM 满足 Myxxydyx d 2 1 yxifonluandifyxd 0 Mzyxzydzxdyxd 最后一个要求是称为三角不等式 我们叫这一对 M d 为度量空间 我们经常使用 M 表示 一个数组 在 M 中收敛于的前提是 x n 1n M x 0 n lim xd xn 这里我们可以写成 x as nor x n lin xxnn 我们叫数组在 M 中是一个柯西数组 前提是对任意 存在 x n 1n 0 nn00 m n d xx m n n0 一个度量空间 M 是完整的 当且仅当每一个柯西序列在 M 收敛于一个点 度量空间形成一个 useful in analysis 的拓扑空间 我们需要讨论的一些概念在研究这 些空间的同时 然而 我们可以在度量空间的环境里这样做而不是一般的环境 下面的概念 通常是在一个高级微积分或分析的基础课程 我们将简单地列出这些概念和参考在相应文 本 例如 如 32 32 或或 72 72 的正式定义 我们考虑一个固定的度量空间的正式定义 我们考虑一个固定的度量空间 M d M d 开放和封闭的子集开放和封闭的子集 M M 有界和全有界集有界和全有界集 M M 极限值极限值 聚点聚点 的一个子集的一个子集 M M M M 的一个子集的一个子集 注意关闭关闭开放的球不是注意关闭关闭开放的球不是 一定是封闭球一定是封闭球 一组直径集合一组直径集合 一组被密集的概念集合一组被密集的概念集合 一个点到另外一个集合之间的距离 或两个集合 一个点到另外一个集合之间的距离 或两个集合 假设 M d 是一个度量空间并且 如果我们限制 d 在X 将是一M M 1M1M1M1 个度量空间的 相同 指标 m 我们重要注意的是如果 M 是完整和X M 是一个封闭的 M1 子集 然后也是完整的度量空间 任何柯西序列在将 M 的柯西序列 因此将收敛 M1M1 于某些点在 M 中 如果在 M 中逼近必须在中现在 M M1M1 概念的紧密性是关键 一个度量空间对于任何簇 相关 M 的开集合 有一 AG a 个有限的自子集 用 M 的任意一个覆盖面来描述这种情况 我们可以 分析性A A 0 的 分析紧密性如下 对任何在 M 中的 和点 对于任何的正整数 k 0 我们说 xn M y y 是 的一个聚点 存在并且 因此在任何的开发球中 在每个 xn kn xn y B 数组 M 都存在一个聚点时 我们的 M 是紧密的 在本章的剩余部分 我们简要列表和描述一些有用的度量空间的例子 2 22 2 赋范矢量空间 赋范矢量空间 如果 M 是一个真实的或复杂的向量空间矢量 标量 一个映射 在下列条件下被叫做模 如果 M 是一个向量空间并且是一个 M 里的模 M 是一个赋范矢量空间 我 们不应模糊地说 M 是一个赋范矢量空间 M 是一个向量空间并且是一个 M 里的模 M 就变成了一个度量空间通过我们定义一个度量空间 d 赋范矢量空间赋范矢量空间 是一个完备度量空间 在度量 d 的指标上面 叫做巴拿赫空间 因此 一个 封闭的巴拿赫空间的子集可能总是被视为完备度量空间 因此 一个封闭的子空间的巴拿赫 空间也是一个巴拿赫空间 我们暂时一下现在的讨论再一起讨论一个小的关于巴拿赫空间的目录 以供将来参考 我 们应当考虑唯一真正的巴拿赫空间 类似的定义复杂的类似物 在所有情况下 验证这些空间赋范线性空间是非常简单的 完整性的验证 另一方面通常是 更加困难 的许多例子将稍后讨论的设置完成度量空间的子集或巴拿赫空间的子空间 巴拿赫空间的例子巴拿赫空间的例子 例例 2 12 1 R 是一个简单的巴拿赫空间例子 例例 2 22 2 以下是许多我们可以使用的定理 例例 2 32 3 我们使 用坐标态加法和标量乘法运算 向量空间 可配备标准的某些子空间 尊重他们是完整的 1 当 1 p 时 2 另外 完整 例例 2 42 4 令 H 是一个复杂的向量空间 H 上的内积是一个映射 满足 1 对任意的是一个线性映射 2 如果 H 是一实数的向量空间 并且内积是一个实值函数 3 并且当且仅当 x 0 就定义 H 将是一个赋范矢量空间 如果 H 是完整的 我们称 H 为希尔伯特空间 我们注意到 真 正的 是希尔伯特空间 连续函数的空间进一步的例子分析的重要空间 下面是一个关 于上述空间简短的讨论 例例 2 52 5 定义 我们注意到 对于 我们定义 并且对于 对于常用点态定义 f g 和以及上面被证明的定理 由此可见是一 个赋范矢量空间 这个空间完全遵照的完整性 遵循定理 请看 15 另一个常用定理是 这相当于上面定义的规范 基于如下的不等式 等价规范给我们严密的想法和一个可能 在一个给定的相同的想法应用 使用等效的 规范 使得计算和验证容易或给我们更透明的结论 例例 2 62 6 让成为一个开集 Rn K 同上 定义 令 由于连续函数的序列的一致性是连续的 它遵循的空间 是一个 banach 空间 假如如上并且是一个开集满足我们令 因此 是一个 banach 空间 例例 2 72 7 令是 Rn 中的开集 令是一个多指标 非负整数 我们令令然后 F 是一阶偏导数 给出了 当 定义 令 然后 对可微函数的族使用进一步的收敛结果 跟随这个空间 是一个 banach 空间 空间是用类似方式定义在的方式定义的空间和如果是有界的 那么它是巴拿赫空间 2 32 3 完备性完备性 在这一节中 我们将简要讨论完成的概念在一个度量空间和赋范向量空 间中完成 定理定理 2 82 8 如果 M d 是一个度量空间 则存在一个完备度量空间和一个映 射就像 我们给出一个简短的证明 我们让 C 成为一系列在 M 中的柯西序列 我们观察到 如果 Xn 和 Yn 是 M 中的要素 是一个柯西序列 如下的三 角不等式 我们定义 该映射是一个伪度量 缺乏唯一的条件 从度量的定义 关系 R 定义在 C 中的关系 或等价的 是一个等价关系在 C 上 在空间 C R 上 所有等价类集合在 C 中 应记为 M 如果我们 表示 R xn 所有这类是 R 等于 xn 我们可以定义 这定义了一个度量 我们下一个连接到 M 有一个自然的映射 M 到 C 由 序列 所有的条目都是相同的元素 我们显然有 从而映射 我们称之为 H 是的等距形象 M 是密集的 如下容易 从上面的解释 备注备注 2 92 9 我们观察到 M d 是 独特的本质 if M1 D1 和 M2 D2 是映射 H1 H2 在 M 中的完备性 然后存在一个映射就像 上面的定理 其证明是相似的以前的结果 定理 2 8 的证明 回顾一个规范定义了 一个度量我们定义 使用该定理的符号 对于一个给定的柯西序列 也很清楚 通过定义加法 设置为一个向量空间自然的标量乘法 定理定理 2 102 10 如果是一个赋范向量空间 则存在 本质上独特的 完整的赋范 向量空间 巴拿赫空间 和 这是一个等距同构 就像在 中是密集的 2 42 4 勒贝格空间勒贝格空间 在这一节中 我们将简要讨论勒贝格空间用连续函数的域是 Rn 空间 中产生 如果 我们定义 f 的支撑是闭集 每当 supp f 是一个紧凑的 即封闭有界 集合并且被为的定义在 Rn 上具 有紧支撑的定义连续 k 值函数集表示时 我们说 f 具有紧密支撑 一般情况下 如果 是一个开放的集合 我们首先需要对定义黎曼积分 要做到这一点 没有在这 个过程中 我们假设读者是熟悉的用这个概念来定义封闭的矩形框 是固定的真实数字 对于每一个盒子 我 们观察到 如果并且 B1 和 B2 这样的盒子 每个包含 是一个盒包含这让我们来定义黎曼积分 f 在 Rn 上 其中 B 是包含任何封闭的盒子 映射是一个线性映射 线性函 数 从到 K 另外满足 1 假如 f 在 Rn 中是非负的 那么 2 如果是 C0 序列的非负函数是单调降低 逐点 为零 即 那么 定义定义 2 112 11 对于 我们定义 这是很容易证明 是一种规范称为 C0 的 L1 范数 RN 我们现在的写生过程 完成赋范向量空间有限在这样一种方式 我们可以把向量函数 Rn 上完成 定义定义 2 122 12 子集被称为一组测量零的对于任何存在着一系列的框 如 当 我们说一个属性持有 几乎无处不在 如果点集在它持有量为零 在一个非常完备的讨论中 可以发现以下定理的证明和 L1 完备性 37 7 章 定义定义 2 132 13 一个序列在赋范向量空间称为一个快速的柯西序列 如果 收敛 定理定理 2 142 14 如果 fn 是快速柯西序列 然后 fn 收敛点在 Rn 定义定义 2 152 15 Rn 上的勒贝格可积函数 f f 是 K 值函数定义在 Rn 有快速柯西序列收敛于 f 在 Rn 定理定理 2 162 16 如果 f 是一个勒贝格可积函数 fn 和 gn 是快速柯西序列 收敛 f 然后 这样的结果 我们可以定义 其中 fn 是任何快速的柯西序列收敛在 Rn 由此产生的映射 在所有定义在空间上的勒贝格可积函数是在这个空间上的线性泛函也满足 定理定理 2 172 17 映射 在 即满足规范的所有条件 除了 并不意味着 f 是 上的零 进一步的是完整的半范数是一个密集的子空间 通常我们确定两元素满足 即 我们定义了一个的等价关系 每当设置一个的零度量 这种等价关系方面的加法和标量乘法运算两等效函数具有相同的半范数 所有的向量 空间等价类 然后成为一个完备的赋范线性空间 巴拿赫空间 这个空间 我们叫 备注备注 2 182 18 1 我们再次把读者参阅 37 为一个完整的讨论主题 其他相关的 例如 勒贝格积分的收敛定理 等 由此产生的空间 3 一个也可以模仿这个程序 以获得另一个勒贝格空间在 代替原范式 当然 在类似的情况 可以定义 4 对于给定的 定义在的 功能性因子被称为分布定义的 f 分布 更常见的 在上的线性泛函的集合 被称为一组分布 如果不是这样的 其分布被定义 因此 和 分布在 f 上 我们从今以后 对于给定的 5 笛卡尔乘积 可以被看作是一个规范定义为赋范线性空间 在后者的完备性空间叫 Sobolev 空间 这样的元素 则存 在一个序列 遵循 L1 范式如下 另一方面 采用一体化 因此 也就是说 在这个意义上 这可以概括如下 空间是所有 L1 函数 的分布的导数是 L1 函数 以及 如果我们在上述的过程中用 L2 范式代替 L1 范式 获得空间常常被表示的 用线性规划作为基础空间 一个可以定义 Sobolev 空间在函数 N 变量和开放区域的情况下 类似的过程被用来定义 Sobolev 空间 后 来我们在这些笔记中对空间特别感兴趣 我们指的是有兴趣的读者到本书亚当斯 1 了解 Sobolev 空间的详细发展和性能 2 52 5 在在 HausdorffHausdorff 度量度量 让度量空间 M 和度量 d 对于和 中心为 x 和半径的开放封闭球 如前所指出的封闭球是封闭的 但不需要关闭的开 放球 设 A 是一个非空闭子集 M 对于 我们定义 我们观察到 如果 A 一个是紧密的 那么这些集合是相等的 如果一个是不紧密的 这包含可能是 正当的 定义定义 2 192 19 我们令 对于每一个集合中的一对 A B 我们定义 这是一个简单的练习 以证明以下命题 命题命题 2 202 20 对于 我们从此以后这样表示共同价值 命题命题 2 212 21 对于被表示为 h 是一个在上的度量 Hausdorff 度量 我们简要地得出证明 h 是对称于其参数和 当且仅当 A B 为了验证三角不等式成立 我们令 让 然后 因此 然后 这意味着 同样的 以下推论 这是一个直接结果的定义 将在以后使用 命题命题 2 222 22 令给定的 存在 下面将要介绍 Hausdorff 双闭集合之间距离的计算 例例 2 232 23 令 然后 所以 例例 2 242 24 然后 有一个自然映射关联点 M 和给定的元素 这种映射 作为一个容易验证 是一个等