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文档简介

牛顿插值公式 n阶差商 其中 牛顿插值多项式 牛顿插值余项 乘除法次数大约为 较L 插值法减少了3 4倍 4差商与牛顿插值多项式 5重节点差商 定义5 重节点差商 若 则定义 类似的有 分析 2 首先 由定义 泰勒展开式 2 首先 由定义 泰勒展开式 证明 并记 5差分 等距节点插值多项式 5 1差分及性质 且 即 1 差分 1 记号 向前差分算子 中心差分算子 定义6 向后差分算子 二阶向前差分 二阶向后差分 若 二阶中心差分 向后 中心差分 分别 3 一般地 阶向前差分 阶向后差分 I 不变算子 恒等算子 4 设A与B为两算子 如 自己证 E 位移算子 2 性质 性质1 的各阶差分均可用函数值表示 其中 证明 用算子二项式定理 得 即 用归纳法可证 性质2差分与差商的关系 令 证明 当m 1时 假设当m k时 有 则 自己证 一般地 性质3差分与导数关系 证明 性质2 定理7 5 2牛顿向前插值 向后插值公式 被插值点 以下推导以为节点的等距插值公式 作变换 1 公式 自己证 代入 4 2 牛顿前插公式或表初公式 即得牛顿向前插值公式 作变换 又 则 再由 牛顿后插公式或表末公式 即得牛顿向后插值公式 注 1 5 2 5 3 使用于等距节点 2 5 2 5 3 的系数分别为 差分表2 7 求解方法见表2 7 5 2 的系数 5 3 的系数 说明 节点的取法 取与x尽量接近的节点 注意两点 首先 若 2 计算量 1 计算差分 计算量忽略不记 2 由前插 后插 公式计算近似值 计算步骤 乘除法次数大约为 秦九韶算法 达到了误差要求 则其他一些节点就用不到了 因此 表中的n 可以相当大 牛顿插值公式中的n不一定就是表中的n 另外 表初 式计算 在公式中的比重是一样的 若x不在表初 表末而在表中间 则有 例4 例4还有另外的选取节点的方法 也可以用牛顿向后插值公 公式中似乎占有较大比重 而从误差公式的对称性知 表2 8 表2 9 精确值 说明 也可取节点为 利用牛顿向后插值公式 5 3 计算 本课重点 1 理解差分的有关概念及性质 2 理解牛顿向前 后 插
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