3大学物理例题

例 3 1 将均匀链条放于水平桌面上 开始时 链条静止 其在桌面上和悬于桌面下 的长度如图例 3 3 所示 设链条与桌面的摩擦系数为 质量为 m 求 1 到链条离开桌面的过程中 摩擦力对桌面作了多少功 2 链条离开桌面时的速率 解 1 建立图示坐标系 当链条竖直长度为x时 链条所受的摩擦力 l xl mgf 摩擦力作功 l al mgdx l xl mg l a 2 2 fdxW l a f 2 以链条为研究对象 由动能定理 0 2 1 2 mvWW fG 重力作功 l almg dx l mgx W l a G 2 22 例3 3图 0 x 代入 l al mgW f 2 2 可得 222 alal l g v 本题也可用功能原理求解 即摩擦力的功等于链条机械能的增量 以桌面为重力势 能的 0 点 初态机械能 mg l aa g l a mE 22 2 0 末态机械能 22 1 2 l mgmvE 有 mg l a mglmv EEW f 22 1 2 1 2 2 0 代入 f W 可求得如上结果 讨论 比较动能定理和功能原理 前者对作功的力无任何要求 后者要排除保守力的功 利用动量守恒定律解题时首先要分析系统的受力情况 若整个系统的合外力为零 则系 统的动量守恒 若合外力不为零 但在某一方向合力为零 则该方向动量守恒 其次 写出 动量守恒的矢量表达式 再次 建立适当的坐标系一般是直角坐标系 写出动量守恒的分量 式 最后 求解结果 例 3 4 煤粉由传送带A上方高为h 0 05m自由落下 其流量为qm 40kg s 传送带A以v 2 0m s的速度匀速向右 移动 求煤粉对传送带A的作用力 解 煤粉落至传送带 A 上的速度为 ghv2 0 tqm m 方向坚直向下 煤粉与传送带 A 相互作用的 t 时间内 落至传送带 A 上的煤粉质量为 设煤粉所受传送带的平均冲力为 f v 建立如图例 3 4 图解所示的坐标系 由质点系动量定理得 例3 4图 A v Y 0 X 例3 4图解 0 0 0 mvtf mvtf y x 149 22 0 Nfff vqfvqf yx mymx 与水平方向的夹角为 0 4 57 x y f f arctg 讨论 由于煤粉连续落在传送带上 考察 t 时间内有 m 视为质点 的动量改变 按动量定理可求出平均冲力 另外 求冲力时 应忽略煤粉给传送带正压力 例 3 8 一质量为 m 的子弹穿过与均匀细杆连接的物体后 速度由 v 减至 v 2 设杆 的一端固定 可绕 O 点在竖直平面内转动 杆长为 L 杆与物体的质量都是 M 如图所示 开始时物体静止在最下方的 A 位置 问当物体能在竖直平面内完成圆运动时 子弹的速度至 少是多少 物体的大小可以不计 解 物体和杆连在一起能够完成圆运动的条件是向上转动过程角速度 始终大于零 而且当它转至最高点 B 位置时还能满足 0 子弹穿过物体 一般属非弹性碰撞过程 机械能会有一定损失 而在物体和杆向上转动 的过程中 仅有重力矩作功 机械能应该守恒 研究对象变了 遵守的力学定律也不同 全 过程由两个不同的分过程组成 应该分别进行讨论 射穿过程 这个过程作用时间极短 对于子弹 物 杆系统来说 重力的影响可以忽 略不计 这时 只有转轴作用于轴心 O 的外力 它的力矩为零 所以 系统对 O 点的角动量 守恒 JL v mmvL 2 1 杆 物系统绕O点的转动惯量 22 3 1 MLMLJ 为子弹穿过物体后杆 物系统的角速度 转动过程 设射穿过程结束时的状态为初态 杆 物系统刚能完成圆运动 到达B点时 角速度 的状态为末态 并取初态为重力势能的零点 则初态的机械能E 仅为动能 2 2 1 JE A 未态的机械能仅为势能 MgLMgLLMgE B 32 根据机械能守恒定律E 并以代入 可得 3 4 2 MLJ MgLML3 3 4 2 1 22 2 解 1 2 两联立方程 即得 gL m M v2 4 讨论 对于子弹 物 杆系统 由于有作用于轴心 的外力 在射穿过程中动量是不守恒的 即使对于子 弹 物系统来说 由于杆与物体之间存在相互作用力 否则杆不会发生转动 动量也是不守恒的 在刚体的定轴转动问题中 动量一般不守恒 应 该考虑选用角动量原理或角动量守恒定律 例 3 9 如图所示 在一光滑的水平桌面上有 一长为l 质量为M的均匀细棒以速度v运动 与一固定 在桌面上的钉子O相碰撞 碰撞后 细棒将绕O点转动 如图所示 试求 1 1 细棒绕 O 轴的转动惯量 v dx x0 b a l 0 l 例3 9图 2 2 碰撞前棒对 O 轴的角动量 3 3 碰撞后 棒绕 O 轴转动的角速度 解 1 由或由平行轴定理可求得细棒绕O轴的转动惯量为 drrJ 2 222 48 7 4 1 12 1 MlMlMMlJ 2 取如图 b 所示的坐标 碰撞前距 O 轴为 x 的微元 dx 对 O 轴的角动量为 vxdx l M xvdmdL 则棒对O轴的角动量为 4 4 3 4 Mvl vxdx l M dLL l l 3 设碰撞后棒绕 O 轴转动的角速度