实际问题与二次函数1

22 3 实际问题与二次函数 第一课时 实际问题与二次函数 第一课时 济源市下冶一中济源市下冶一中 郑前强郑前强 一 教学目标一 教学目标 1 会求二次函数 y ax2 bx c 的最大 小 值 2 能够从实际问题中抽象出二次函数关系 并运用二次函数及性质解决最大 小 值等实际问题 二 教学重难点二 教学重难点 重点 能够从实际问题中抽象出二次函数关系 并运用二次函数及性质解 决最大 小 值等实际问题 难点 将实际问题转化为二次函数问题 三 教学过程设计三 教学过程设计 1 创设情境创设情境 引出问题引出问题 问题问题 1 从地面竖直向上抛出一小球 小球的高度 h 单位 m 与小球的运动 时间 t 单位 s 之间的关系式是 h 30t 5t2 0 t 6 小球运动的时间是多少 时 小球最高 小球运动中的最大高度是多少 师生活动 教师提出问题 学生尝试用已有知识解决此问题 教师追问追问 1 这个问题研究的是哪两个变量之间的关系 师生活动 学生回答 小球运动的高度 h 和小球运动的时间 t 两个变量之间的 关系 教师追问追问 2 当 t 1 时 h 的值为多少 当 t 2 时 h 的值为多少 当 t 3 时 h 的值为多少 这说明小球的运动时间与小球的高度有什么样的关系 师生活动 学生独立思考后 结合题目回答 小球运动高度随小球运动时间的 变化而变化 教师追问追问 3 如何判断小球运动的时间是多少时 小球最高 师生活动 学生根据前面对二次函数的认识回答 可以画出函数图像 利用图 像观察出小球的运动时间是多少时 小球最高 学生自己动手画出二次函数图 像 教师追问追问 4 观察图像 小球的最高点对应函数图像中的哪个点 师生活动 学生结合图像回答 小球的最高点对应函数图像的顶点 教师追问追问 5 小球运动中的最大高度对应函数中的哪个值 师生活动 学生结合图像回答 小球运动的最大高度对应自变量取顶点横坐标 时的函数值 教师追问追问 6 如何求出小球运动的最大高度呢 师生活动 学生通过求二次函数的顶点坐标 解决此问题 当 t b 2a 30 2 5 3 时 h 有最大值为 4ac b2 4a 302 4 5 45 也就是说 小球的运动时间是 3s 时 小球最高 小球运动的最大高度是 45m 设计意图 通过追问为学生提供解决此类问题的思路 让学生在问题解决过程 中体会二次函数与实际问题的关系 用二次函数的最大值等知识刻画实际问题 中的最大高度 2 结合问题 结合问题 拓展一般拓展一般 问题问题 2 对于二次函数 y ax2 bx c 如何求出它的最小 大 值呢 师生活动 学生根据前面问题的解决方法 总结出一般二次函数的最大 小 值的方法 由于抛物线 y ax2 bx c 的顶点坐标是最低 高 点 可得当 x b 2a 时 二次函数 y ax2 bx c 有最小 大 值 4ac b2 4a 设计意图 设计意图 让学生得出求二次函数的最小 大 值的结论 体会由一般到特殊 的思想方法 3 类比引入 类比引入 探究问题探究问题 问题问题 3 用总长为 60m 的篱笆围成矩形场地 矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变 化而变化 当 l 是多少米时 场地面积 S 最大 师生活动 学生借助问题 1 中解决问题的经验解决此问题得出答案 S 60 2 l l 整理后得 S l2 30l 0 l 30 因此 当 l b 2a 30 2 1 15 时 S 有 最大值为 4ac b2 4a 302 4 1 225 也就是说 当 l 是 15m 时 场地的面积 S 最大 若学生在解决问题中遇到困难 教师可以通过以下追问进行引导 教师追问追问 1 这个问题研究的是哪两个变量之间的关系 教师追问追问 2 你能用学过的数学知识表示矩形的面积与一边长之间的数量关系 吗 教师追问追问 3 如何利用矩形的面积与一边长之间的数量关系求出 当 l 是多少米 时 场地的面积 S 最大 设计意图 借助追问 指导学生提供解决此类问题的基本过程和方法 使不同 水平的学生有不同层次的发现 加深对本题数量关系的理解 这样会使学生对 函数有一个更深层次的理解和认识 同时便于他们今后应用这一数学模型解决 实际问题 问题问题 4 利用二次函数解决实际问题的过程是什么 如何利用二次函数的最小 大 值解决实际问题 师生活动 教师引导学生整理上面解决问题的步骤 分析出利用二次函数解决 实际问题的一般方法 学生思考后回答 师生共同归纳 1 列出二次函数的解析式 并根据自变量的实际意义 确定自变量的取值范 围 2 在自变量的取值范围内 求出二次函数的最小 大 值 设计意图 引导学生自主学习 对解决问题的基本策略进行反思 通过同学之 间的合作与交流 让学生积累和总结经验 培养学生归纳概况的能力 养成良 好的数学思维习惯 4 运用新知 运用新知 拓展训练拓展训练 为了改善小区环境 某小区决定要在一块一边靠墙 墙长 25m 的空地上 修建一个矩形绿化带 ABCD 绿化带一边靠墙 另三边用总长为 40m 的栅栏围 住 如图 1 若设绿化带的 BC 边长为 xm 绿化带的面积为 ym2 1 求出 y 与 x 之间的函数解析式 并写出自变量 x 的取值范围 2 当 x 为何值时 满足条件的绿化带的面积最大 师生活动 巩固训练 引导学生借助上面解决问题的经验解决此问题 设计意图 巩固本节课所学的内容 再次体会将二次函数的最小 大 值的结 论与已有知识综合运用来解决实际问题 加深对二次函数的认识 体会数学与 实际的联系 5 小结 小结 教师与学生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 1 如何求二次函数的最小 大 值 如何利用二次函数