直线与直线的位置关系.ppt

知识梳理1 两条直线平行与垂直的判定 1 两条直线平行对于两条不重合的直线l1 l2 其斜率分别为k1 k2 则有l1 l2 特别地 当直线l1 l2的斜率都不存在时 l1与l2 2 两条直线垂直如果两条直线l1 l2斜率存在 设为k2 k2 则l1 l2 k1 k2 1 当一条直线斜率为零 另一条直线斜率不存在时 两直线垂直 k1 k2 平行 解 1 过点 1 0 且与直线x 2y 2 0平行的直线方程是 A x 2y 1 0B x 2y 1 0C 2x y 2 0D x 2y 1 0 答案 A 2 2009 安徽文 直线l过点 1 2 且与直线2x 3y 4 0垂直 则l的方程是 A 3x 2y 1 0B 3x 2y 7 0C 2x 3y 5 0D 2x 3y 8 0 答案 A 3 曲线y k x 及y x k k 0 能围成三角形 则k的取值范围是 A 01D k 1 答案 C 解析 数形结合法 在同一坐标系中作出两函数的图像 可见k 1时围不成三角形 k 1时能围成三角形 6 若直线L1 ax 2y 6 0与直线L2 x a 1 y a2 1 0 则L1 L2时 a L1 L2时 a 7 已知两条直线l1 ax by 4 0和l2 a 1 x y b 0 求满足下列条件的a b的值 1 l1 l2 且l1过点 3 1 2 l1 l2 且坐标原点到这两条直线的距离相等 解析 1 由已知可得l2的斜率必存在 k2 1 a 若k2 0 则1 a 0 a 1 l1 l2 直线l1的斜率k1必不存在 即b 0 又 l1过 3 1 3a b 4 0 即b 3a 4 不合题意 此种情况不存在 即k2 0 若k2 0 即k1 k2都存在 例1 已知两条直线l1 3 m x 4y 5 3m l2 2x 5 m y 8 当m分别为何值时 l1与l2 1 相交 2 平行 3 垂直 点评 运用有斜率的两直线平行或垂直的条件处理两直线位置关系时 要紧紧抓住k1 k2及b1 b2之间的关系 需要注意的是 有斜率 这一前提条件 否则会使解题不严谨甚至导致错误 如题 当k取何值时 两直线x ky 0和kx 1 k y 0互相垂直 很可能漏掉解k 0 判断两条直线平行 垂直 重合时 不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线的斜率均不存在的情况 在两条直线l1 l2斜率都存在且不重合的条件下 才有l1 l2 k1 k2与l1 l2 k1 k2 1 在斜率不存在或斜率为零情况下讨论两直线位置关系宜用数形结合求解 已知两直线l1 x ysin 1 0和l2 2xsin y 1 0 试求 的值 使得 1 l1 l2 2 l1 l2 例2 过点A 0 1 作直线 使其被两直线l1 x 3y 10 0 l2 2x y 8 0所截得的线段恰被点A所平分 求此直线的方程 分析 1 利用待定系数法可用点斜式求解 注意检验斜率不存在的情形 2 也可采用设点的方法 然后利用两点式求解 已知直线l经过点P 3 1 且被两平行直线l1 x y 1 0和l2 x y 6 0截得的线段之长为5 求直线l的方程 分析 如右图 由点斜式得l方程 分别与l1 l2联立 求得两交点A B的坐标 用k表示 再利用 AB 5可求出k的值 从而求得l的方程 例3 求直线l1 y 2x 3关于直线l y x 1对称的直线l2的方程 分析 转化为点关于直线的对称 利用方程组求解 设直线l2的方程为y 1 k x 2 即kx y 2k 1 0 在直线l上任取一点 1 2 由题设知点 1 2 到直线l1 l2的距离相等 由点到直线的距离公式得 在直线l 3x y 1 0上求一点P 使得 1 P到A 4 1 和B 0 4 的距离之差最大 2 P到A 4 1 和C 3 4 的距离之和最小 分析 1 在直线l上求一点P 使P到两定点的距离之和最小 当两定点A B在直线l的异侧时 由两点之间线段最短及三角形中任意两边之和都大于第三边可知 点P为AB连线与l的交点 点P到两定点距离之和的最小值为 AB 的长度 如图甲 P A P B AB PA PB 当且仅当A B P三点共线时等号成立 当两定点A B在直线l的同侧时 作点A关于直线l的对称点A 连结A B交直线l于点P 则点P到两定点A B的距离之和最小 2 在直线上求一点P 使P到两定点的距离之差的绝对值最大 当两定点A B在直线l的同侧时 AB连线与l不平行 连接A B两点所在的直线 交直线l于点P 如图乙 在l上任取一点P 则有 P B P A AB PB PA 当P 与P两点重合时 等号成立 最大的值为 AB 当两定点A B在直线l的异侧时 作点A关于直线l的对称点A 连接A B 交l于点P 如图丙可知 PB PA A B 时 达到最大 P B P A A B 当P 与P点重合时 等号成立 最大值为 A B 例4 距离为d的两平行直线l1 l2 它们分别经过点M 2 2 N 1 3 并绕着M N旋转且保持平行 求当d取得最大值时的两直线l1 l2的方程 已知直线l 2 1 x 1 y 3 0 圆C x2 y2 4 A 2 0 1 证明 直线l与圆C总相交 2 若圆C上存在两点关于l对称 求 的值 3 当l被圆截得的弦长最短时 在l上求一点P 使得 PO PA 最小 O为原点 1 求两直线交点坐标就是解方程组 即把几何问题转化为代数问题 2 要理解 点点距 点线距 线线距 之间的联系及各公式的特点 特别提示 求两平行线间的距离时 一定化成l1 Ax By C1 0 l2 Ax By C2 0的形式 3 在使用点到直线的距离公式时 应注意以下几点 1 若给出的方程不是一般式 则应先把方程化为一般式 再利用公式求点到直线的距离 2 若P在直线l上 则点P到直线l的距离为0 公式仍成立 4 在使用两平行线间的距离公式时 要先把两直线中x y的系数化为相同 且都化成一般式后再用公式 5 判断两条直线平行或垂直时 不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形 在两条直线l1 l2斜率都存在 且不重合的条件下 才有l1 l2 k1 k2与l1 l2 k1k2 1 用直线的一般式方程判断两直线的位置关系时 A1A2 B1B2 0 两直线垂直 但A1B2 A2B1 0与两直线平行不等价 6 直线系方程有些问题中所给的直线方程常常含有一个参数 对于含有一个参数的直线方程 往往不是平行线系 就是过定点的直线系 1 平行线系 与直线Ax By C 0平行的直线系方程为Ax By m 0 m C 其中m为参数 与直线Ax By C 0垂直的直线系方程为Bx Ay m 0 其中m为参数 斜率为k 定值 的平行线系方程为y kx b 其中k为常数 b为参数 2 过定点的直线系 过定点P x0 y0 的直线系方程为A x x0 B y y0 0 A B不全为零 过两条直线l1 A1x B1y C1 0和l2 A2x B2y C2 0的交点的直线系方程为A1x B1y C1 A2x B2y C2 0 R 不包括直线l2 7 对称问题对称性问题是解析几何应用较为广泛的的一类问题 归纳起来有 1 点关于点的对称点 点P x y 关于O 0 0 的对称点P x y 点P x y 关于点 a b 的对称点P 2a x 2b y 2 点关于直线的对称点 点 x y 关于x轴 y轴 直线y x的对称点分别为 x y x y y x 点A a b 关于直线x y C 0的对称点A 的坐标为 b C a C 点A a b 关于直线x y C 0的对称点A 的坐标为 b C a C 3 曲线C f x y 0与曲线C g x y 0关于点P a b 对称 则曲线C 上任一点M x y 关于P的对称点