自动控制原理（第2版） 第4章根轨迹法(2)

自动控制原理 大连民族学院机电信息工程学院 四章 根轨迹法 连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 绘制根轨迹的基本法则 根轨迹的连续性和对称性 根轨迹分支数、起点和终点 实轴上的根轨迹 根轨迹的渐近线 根轨迹的分离点和汇合点 根轨迹的起始角和终止角 根轨迹与虚轴的交点 闭环特征方程根之和与根之积 2）“ ” 、 “” 3）加粗线及箭头 1）实轴、虚轴相同的刻度 4）关键点的标注 ！绘制注意点 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 规则 1 根轨迹的对称性 实际系统的开环零极点以及闭环零极点总是实数或共轭复数对。 它们往往在 因此根轨迹也是关于实轴对称的。利用对称的特点，只需绘制实轴上半平面的根轨迹就可以了。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 规则 2 根轨迹的 分支数 、 起点和终点 0)()(一般来说，由于 nm，所以特征方程是 总有 此便知根轨迹共有 根轨迹的分支数等于开环极点数目与开环零点数目大者。 )()()()()()(2121系统的开环传递函数 系统的闭环传递函数 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 系统的闭环传递函数 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。若 n m，还有 根轨迹终止于 0)()(根轨迹的起点是指当 K=0时，根轨迹的位置。由上式 可知，当 K=0时，该方程便蜕化为开环特征方程，即 0)(1 就是开环传递函数的极点。 ( 1 2 )ls p l n , , ,大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 根轨迹的终点是指当根轨迹增益 时根轨迹的位置 。 0)()(1当 时，它将蜕化成为 mn。 KK 0)()(通常 m n , 还有 根轨迹终止在什么地方？ 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 0)1()1()1()1(1 11 mn 将两端同乘以 ，便得 当 时，它化为 0)1()1(1 有 110 ( ) , ,mq n 可见方程 (4时 1( ) , , ms n m z z 0)1()1()1()1(1 11 我们在上式中做置换，令 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 实轴上的根轨迹只能是其右侧开环实数零、极点总数为奇数的线段。共轭复数开环零、极点对确定实轴上的根轨迹无影响。 规则 3 根轨迹在实轴上的分布 每对共轭复数极点所提供的幅角之和为 360 ； 。 80 ； 11( ) ( ) ( 2 1 ) 1 8 0G s H s k ？ 511111 )()()()(自动控制原理 已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。 22( 1 ) ( 4 ) ( 6 )()( 2 ) ( 3 )K s s s s 右侧实零、极点数 =3。 右侧实零、极点数 =7。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 规则 4 根轨迹的渐近线 若 m n ,当 k 时有 根轨迹沿着 渐近线趋于 ( 2 1 ) 0 , 1 , 2 , , ( 1 )k k n ，1. 渐近线的倾角 2. 渐近线与实轴的交点 )()(大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 1）当 a 有（ n m）个值，而 2）根轨迹在 s 时的渐近线为 （ n m）条与实轴交点为 a 、倾角 组射线。 11 )12(大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。 ( 0 . 2 5 1 ) * ( 4 )()( 1 ) ( 0 . 2 1 ) ( 1 ) ( 5 )K s K s s s s s 渐近线与实轴正方向的夹角： 三个开环极点： 0、 个开环零点： -4 渐近线与实轴交点： 11 ( 0 ) ( 1 ) ( 5 ) ( 4 ) 131 ( 2 1 ) 1 8 0 9 0 2 7 0a 连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。 )22)(4()1()(2 0、 -1+j、 个开环零点： -1 渐近线与实轴交点： 3514)1()4()0(渐近线与实轴正方向的夹角： k2(a 3 0 01 8 060 、a 例 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 规则 5 根轨迹的分离点和汇合点 分离点（或会合点）：根轨迹在 又立即分开。 分离点必然是为 D(s)某一数值时的重根点。 ni i 1111、 解析法 试凑法 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 坐标值 0)()()(根轨迹在 重根为 据代数中的重根条件，有 mi i 1 11 0)()()(0)()()(1 11 1111 mi mi i 11 1 )()( mi 11 11)()(或 )()()( mi 11 11)或 i 11 111即得 解出 为分离点 d ()()()(大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 2、由 重根法 求解 d 0)()()()( )()()(由代数方程式解的性质可知，特征方程式出现 重根的条件是 0)()()( )()()( 极值点求解 d d d 0)()(2d ( ) ( ) ( ) ( )d ( ) K A s B s A s B s大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 )2s)(1s(sK)s(G 间无根轨迹 舍去 由 极值点求解 9021 8 0 0b 例 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 2*( ) ( )( 4 ) ( 4 2 0 )KG s H ss s s s 规则 1、 2、 3、 4 根轨迹对称于实轴， 有四条根轨迹分支，分别起始于极点 0， 4和 2 止于无限远零点。 实轴上 0 4区段为根轨迹。 辐角条件 )()( 21 )( 4 )( 32()()( 13545180)12( ，据规则 5 根轨迹有四条渐近线 24)2()2()4(011 连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 2*( ) ( )( 4 ) ( 4 2 0 )KG s H ss s s s 2*1 ( ) ( ) 1 0( 4 ) ( 4 2 0 )KG s H ss s s s 2 4 3 2* ( 4 ) ( 4 2 0 ) ( 8 3 6 8 0 )K s s s s s s s s 32* ( 4 2 4 7 2 8 0 ) 0dK s s 根据规则 6求根轨迹的分离点 1 2b 2 , 3 2 2 . 4 5b j 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 规则 6 根轨迹的出射角和入射角 出射角 根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与实轴正方向的夹角 入射角 根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角 1p 出 射 角1z 入 射 角根据相角条件确定 出射角和 入射角 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 出射角的一般表达式为 11( 2 1 )i 11( 2 1 )j 式中， 为待求开环复数极点 的出射角； 为除去 外的其余开环极点指向极点 的矢量的相角； 为开环零点指向极点 矢量的相角。 ljlplpi 连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 )2)(2)()(起始点 0、 3 终止点 3 2 j、 实轴上 0 两区段是根轨迹 792p取 k 0 793p 281793603 p 根轨迹起始角对称。 或 2()()()()()()()12(4232123222122大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 2()()()()()()()12(3212423222122 z z取 k 1 根轨迹终止角对称。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 规则 7 根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴相交 闭环特征方程有纯虚根、系统处于稳定边界。 1）应用劳斯判据求出系统处于稳定边界的临界值 K*， 由K*值求出相应的 值 2）代数法 0)()(1 0)()(1)(1联立求解， 根轨迹与虚轴的交点 值和相应的 临界 K*值。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 系统的开环传递函数 求根轨迹与虚轴的交点 。 *( ) ( )( 1 ) ( 2 )KG s H ss s s 闭环特征方程 * 3 2 *( 1 ) ( 2 ) 3 2 0s s s K s s s K 0123*0k 系统稳定的临界 K*值： K*=6 阵列中 063 2 根轨迹与虚轴的交点大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 系统的开环传递函数 求根轨迹与虚轴的交点。 *( ) ( )( 1 ) ( 2 )KG s H ss s s 代入系统闭环特征方程 3 2 2 3( ) 3 ( ) 2 ( ) * ( * 3 ) ( 2 ) 0j j j K K j 2* 3 0K 02 3 2*6K 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 规则 8 特征方程式根之和与根之积 。 (2时，根之和与根轨迹增益 K*无关，是个常数， 且有 2）根之和不变 K*增大，一些根轨迹分支向左移动，则 一定会相应有另外一些根轨迹分支向右移动。 )()()(111根之和 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 例 4已知控制系统的开环传递函数为 )22)(3()( 2) 确定实轴上的根轨迹。 (2) 确定根轨迹的渐近线及与实轴交点。 (3) 确定分离点。 (4) 确定出射角。 (5) 确定根轨迹与虚轴交点。 试绘