机器人学- 坐标转换.ppt

机器人技术数学基础MathematicPreparationforRobotics 2 1位置和姿态的表示2 2坐标变换2 3齐次坐标变换2 4物体的变换及逆变换2 5通用旋转变换 Robotics数学基础 2 1位置和姿态的表示1 位置描述在直角坐标系A中 空间任意一点p的位置 Position 可用3x1列向量 位置矢量 表示 2 方位描述空间物体B的方位 Orientation 可由某个固接于此物体的坐标系 B 的三个单位主矢量 xB yB zB 相对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述 Robotics数学基础 2 1位置和姿态的表示上述矩阵称为旋转矩阵 它是正交的 即若坐标系B可由坐标系A 通过绕A的某一坐标轴获得 则绕x y z三轴的旋转矩阵分别为 Robotics数学基础 2 1位置和姿态的表示这些旋转变换可以通过右图推导这是绕Z轴的旋转 其它两轴只要把坐标次序调换可得上页结果 Robotics数学基础 2 1位置和姿态的表示旋转矩阵的几何意义 1 可以表示固定于刚体上的坐标系 B 对参考坐标系的姿态矩阵 2 可作为坐标变换矩阵 它使得坐标系 B 中的点的坐标变换成 A 中点的坐标 3 可作为算子 将 B 中的矢量或物体变换到 A 中 Robotics数学基础 2 1位置和姿态的表示3 位姿描述刚体位姿 即位置和姿态 用刚体的方位矩阵和方位参考坐标的原点位置矢量表示 即 Robotics数学基础 2 2坐标变换平移坐标变换坐标系 A 和 B 具有相同的方位 但原点不重合 则点P在两个坐标系中的位置矢量满足下式 Robotics数学基础 2 2坐标变换2 旋转变换坐标系 A 和 B 有相同的原点但方位不同 则点P的在两个坐标系中的位置矢量有如下关系 Robotics数学基础 2 2坐标变换3 复合变换一般情况原点既不重和 方位也不同 这时有 2 13 Robotics数学基础 2 2坐标变换例2 1已知坐标系 B 的初始位姿与 A 重合 首先 B 相对于 A 的ZA轴转30 再沿 A 的XA轴移动12单位 并沿 A 的YA轴移动6单位 求位置矢量APB0和旋转矩阵BAR 设点p在 B 坐标系中的位置为BP 3 7 0 求它在坐标系 A 中的位置 Robotics数学基础 2 3齐次坐标变换1 齐次变换 2 13 式可以写为 2 14 P点在 A 和 B 中的位置矢量分别增广为 而齐次变换公式和变换矩阵变为 2 15 16 Robotics数学基础 2 3齐次坐标变换2 平移齐次坐标变换 A 分别沿 B 的X Y Z坐标轴平移a b c距离的平移齐次变换矩阵写为 用非零常数乘以变换矩阵的每个元素 不改变特性 例2 3 求矢量2i 3j 2k被矢量4i 3j 7k平移得到的新矢量 Robotics数学基础 2 3齐次坐标变换3 旋转齐次坐标变换将上式增广为齐次式 Robotics数学基础 2 3齐次坐标变换引入齐次变换后 连续的变换可以变成矩阵的连乘形式 计算简化 例2 4 U 7i 3j 2k 绕Z轴转90度后 再绕Y轴转90度 例2 5 在上述基础上再平移 4 3 7 Robotics数学基础 2 3齐次坐标变换由矩阵乘法没有交换性 可知变换次序对结果影响很大 Robotics数学基础 2 4物体的变换及逆变换1 物体位置描述物体可以由固定于其自身坐标系上的若干特征点描述 物体的变换也可通过这些特征点的变换获得 Robotics数学基础 2 4物体的变换及逆变换1 物体位置描述 Robotics数学基础 2 4物体的变换及逆变换2 齐次坐标的复合变换 B 相对于 A ABT C 相对于 B BCT 则 C 相对于 A Robotics数学基础 2 4物体的变换及逆变换3 齐次坐标的逆变换 B 相对于 A ABT A 相对于 B BAT 两者互为逆矩阵 求逆的办法 1 直接求ABT 12 简化方法 Robotics数学基础 2 4物体的变换及逆变换3 齐次坐标的逆变换一般 若则 Robotics数学基础 2 4物体的变换及逆变换3 变换方程初步 B 基坐标系 T 工具坐标系 S 工作台坐标系 G 目标坐标系或工件坐标系满足方程 Robotics数学基础 习题 P43 题2 3P44 题2 9 Robotics数学基础 2 5通用旋转变换1 通用旋转变换公式求 绕从原点出发的f旋转 角时的旋转矩阵 S 物体上固接的坐标系 T 参考坐标系 C Z轴与f重合的辅助坐标系 xT YT ZT T C S zS f Zc O Robotics数学基础 2 5通用旋转变换在 S 上取一点p 其坐标为向量 P 它绕 T 中直线f旋转 角 1 将 S 上p点坐标变换到 T 中 其坐标为2 直接计算绕f旋转的坐标为 目前上式在 T 无法直接求 采取如下步骤 3 建立辅助坐标系 C 使其Z轴与f重合 这样问题变为绕ZC旋转 将 S 中的点p变换到 C 中 变换为 4 在 C 中绕Z轴旋转有 5 将 C 中坐标变换回 T 中有 Robotics数学基础 2 5通用旋转变换步骤2 和5 中的结果应该相同 即 由于 C 的Z轴与f重合 所以 Robotics数学基础 2 5通用旋转变换根据坐标轴的正交性 有令 则 Robotics数学基础 2 5通用旋转变换2 等效转角与转轴给出任一旋转变换 能够由上式求得进行等效旋转 角的转轴 已知旋转变换R 令R Rot f 即有将上式对角线元素相加 并简化得 Robotics数学基础 2 5通用旋转变换非对角元素成对相减 有平方后有设 Robotics数学基础 2 5通用旋转变换例2 7一坐标系 B 与参考系重合 现将其绕通过原点的轴转30 求转动后的 B 以 代入算式 有 Robotics数学基础 2 5通用旋转变换一般情况 若f不通过原点 而过q点 qx qy qz 则齐次变换矩阵为 其中 Robotics数学基础 2 5通用旋转变换例2 8一坐标系 B 与参考系重合 现将其绕通过q 1 2 3 T的轴转30 求转动后的 B 以 代入算式 有 Robotics数学基础 Matlab使用与矩阵计算Matlab是美国Mathworks公司推出的数值计算软件 在数值计算及科学研究中 是其它语言无法相比的 其主要特点有 1 语言简洁紧凑 使用方便灵活 库含数极其丰富 2 具有非常多的矩阵函数 矩阵计算异常方便 3 具有多种功能的工具包 4 具有与FORTRAN C等同样多的运算符和结构控制指令的同时 语法限制却不严格 使程序设计很自由 5 图形功能强大 数据可视化好 6 原程序和库函数代码公开 但 程序执行效率较低 本节主要介绍其矩阵计算在机器人分析中的应用 Robotics数学基础 Matlab使用与矩阵计算矩阵的输入 1 矩阵的直接输入 操作 以 作为首尾 行分隔用 元素分隔用 或空格 2 矩阵编辑器 操作 先在工作区定义矩阵 用编辑器修改矩阵 3 用函数创建矩阵 如 操作 zeros m n 零矩阵ones m n 全部元素都为1的矩阵eye m n 单位阵randn m n 正态分布的随机矩阵vander A 由矩阵A产生的Vandermonde矩阵 Robotics数学基础 Matlab使用与矩阵计算矩阵的计算 操作 1 加减2 转置3 乘法4 除法与线性方程组5 逆6 幂和指数 Robotics数学基础 Matlab使用与矩阵计算例 计算 Robotics数学基础 习题 2 3坐标系 B 初始与 A 重合 让 B 绕ZB旋转 角 然后再绕XB转 角 求把BP变为AP的旋转矩阵 Robotics数学基础 习题 2 3变化坐标系 B 初始与 A 重合 让 B 绕ZB旋转 角 然后再绕XA转 角 求把BP变为AP的旋转矩阵 Robotics数学基础 习题 2 3变化坐标系 B 初始与 A 重合 让 B 绕ZB旋转 角 然后再绕XA转 角 求把BP变为AP的旋转矩阵 Robotics数学基础 习题 2 9将图 a 变换到 b Robotics数学基础 习题 2 9解一 Robotics数学基础 习题 2 9解一 Robotics数学基础 习题 2 9解一 Robotics数学基础 习题 2 9解一 Robotics数学基础 习题 2 9解一 Robotics数学基础