平行四边形专项训练1

第第 1818 章章 平行四边形平行四边形 专项训练专项训练 专训专训 1 1 判定平行四边形的五种常用方法判定平行四边形的五种常用方法 名师点金 判定平行四边形的方法通常有五种 即定义和四种判定定理 选择判定方法时 一定 要结合题目的条件 选择恰当的方法 从而简化解题过程 利用两组对边分别平行判定平行四边形 1 1 如图 在 ABCD 中 E F 分别为 AD BC 上的点 且 BF DE 连接 AF CE BE DF AF 与 BE 相交于 M 点 DF 与 CE 相交于 N 点 求证 四边形 FMEN 为平行 四边形 第 1 题 利用两组对边分别相等判定平行四边形 2 2 如图 已知 ABD BCE ACF 都是等边三角形 求证 四边形 ADEF 是平行四边形 第 2 题 利用一组对边平行且相等判定平行四边形 3 3 已知 如图 在四边形 ABCD 中 AB CD E F 为对角线 AC 上两点 且 AE CF DF BE 求证 四边形 ABCD 为平行四边形 第 3 题 利用两组对角分别相等判定平行四边形 4 4 如图 在 ABCD 中 BE 平分 ABC 交 AD 于点 E DF 平分 ADC 交 BC 于点 F 那 么四边形 BFDE 是平行四边形吗 请说明理由 第 4 题 利用对角线互相平分判定平行四边形 5 5 如图 ABCD 中 点 O 是对角线 AC 的中点 EF 过点 O 与 AD BC 分别相交于点 E F GH 过点 O 与 AB CD 分别相交于点 G H 连接 EG FG FH EH 1 求证 四边形 EGFH 是平行四边形 2 如图 若 EF AB GH BC 在不添加任何辅助线的情况下 请直接写出图 中 与四边形 AGHD 面积相等的所有平行四边形 四边形 AGHD 除外 第 5 题 专训专训 2 2 构造中位线的方法构造中位线的方法 名师点金 三角形的中位线具有两方面的性质 一是位置上的平行关系 二是数量上的倍分关 系 因此 当题目中给出三角形两边的中点时 可以直接连出中位线 当题目中给出一边 的中点时 往往需要找另一边的中点 作出三角形的中位线 连接两点构造三角形的中位线 1 1 如图 点 B 为 AC 上一点 分别以 AB BC 为边在 AC 同侧作等边三角形 ABD 和等边 三角形 BCE 点 P M N 分别为 AC AD CE 的中点 1 求证 PM PN 2 求 MPN 的度数 第 1 题 利用角平分线 垂直构造中位线 2 2 如图 在 ABC 中 点 M 为 BC 的中点 AD 为 ABC 的外角平分线 且 AD BD 若 AB 12 AC 18 求 DM 的长 第 2 题 3 3 如图 在 ABC 中 已知 AB 6 AC 10 AD 平分 BAC BD AD 于点 D 点 E 为 BC 的中点 求 DE 的长 第 3 题 倍长法构造三角形的中位线 4 4 如图 在 ABC 中 ABC 90 BA BC BEF 为等腰直角三角形 BEF 90 M 为 AF 的中点 求证 ME CF 1 2 第 4 题 已知一边中点 取另一边中点构造三角形的中位线 5 5 如图 在四边形 ABCD 中 M N 分别是 AD BC 的中点 若 AB 10 CD 8 求 MN 长度的取值范围 第 5 题 6 6 如图 在 ABC 中 C 90 CA CB E F 分别为 CA CB 上一点 CE CF M N 分别为 AF BE 的中点 求证 AE MN 2 第 6 题 已知两边中点 取第三边中点构造三角形的中位线 7 7 如图 在 ABC 中 AB AC AD BC 于点 D 点 P 是 AD 的中点 延长 BP 交 AC 于 点 N 求证 AN AC 1 3 第 7 题 答案答案 专训 1 1 1 1 证明 四边形 ABCD 是平行四边形 DE BF DE 綊 BF 四边形 BFDE 为平行四边形 BE DF 同理 AF CE 四边形 FMEN 为平行四边形 2 2 证明 ABD BCE ACF 都是等边三角形 BA BD BC BE DBA EBC 60 EBC EBA DBA EBA ABC DBE ABC DBE AF AC DE 同理 可证 ABC FEC AD AB EF 四边形 ADEF 是平行四边形 3 3 证明 AB CD BAE DCF BE DF BEF DFE AEB CFD 在 AEB 和 CFD 中 BAE DCF AE CF AEB CFD AEB CFD AB CD 又 AB CD 四边形 ABCD 是平行四边形 4 4 解 四边形 BFDE 是平行四边形 理由 在 ABCD 中 ABC CDA A C BE 平分 ABC DF 平分 ADC ABE CBE ABC CDF ADF ADC ABE CBE CDF ADF 1 2 1 2 DFB C CDF BED ABE A DFB BED 四边形 BFDE 是平行四边 形 5 5 1 证明 四边形 ABCD 是平行四边形 AD BC OA OC EAO FCO 在 OAE 与 OCF 中 EAO FCO OA OC AOE COF OAE OCF OE OF 同理 OG OH 四边形 EGFH 是平行四边形 2 解 与四边形 AGHD 面积相等的平行四边形有 GBCH ABFE EFCD EGFH 专训 2 2 1 1 1 证明 如图 连接 CD AE 由三角形中位线定理可得 PM 綊 CD PN 綊 AE 1 2 1 2 ABD 和 BCE 是等边三角形 AB DB BE BC ABD CBE 60 ABE DBC ABE DBC AE DC PM PN 2 解 如图 设 PM 交 AE 于 F PN 交 CD 于 G AE 交 CD 于 H 由 1 知 ABE DBC BAE BDC AHD ABD 60 FHG 120 易证四边形 PFHG 为平行四边形 MPN 120 第 1 题 2 2 解 如图 延长 BD CA 交于 N 第 2 题 在 AND 和 ABD 中 NAD BAD AD AD ADN ADB 90 AND ABD ASA DN DB AN AB DM NC AN AC AB AC 15 1 2 1 2 1 2 3 3 解 如图 延长 BD 交 AC 于点 F 第 3 题 AD 平分 BAC BAD CAD BD AD ADB ADF 又 AD AD ADB ADF ASA AF AB 6 BD FD AC 10 CF AC AF 10 6 4 E 为 BC 的中点 DE 是 BCF 的中位线 DE CF 4 2 1 2 1 2 4 4 证明 如图 延长 FE 至 N 使 EN EF 连接 BN AN 易得 ME AN 1 2 EF EN BEF 90 BE 垂直平分 FN BF BN BNF BFN BEF 为等腰直角三角形 BEF 90 BFN 45 BNF 45 FBN 90 即 FBA ABN 90 又 FBA CBF 90 CBF ABN 在 BCF 和 BAN 中 BF BN CBF ABN BC BA BCF BAN CF AN ME AN CF 1 2 1 2 第 4 题 第 5 题 5 5 解 如图 取 BD 的中点 P 连接 PM PN M 是 AD 的中点 P 是 BD 的中点 PM 是 ABD 的中位线 PM AB 5 1 2 同理可得 PN CD 4 1 2 在 PMN 中 PM PN MN PM PN 1 MN 9 6 6 证明 如图 取 AB 的中点 H 连接 MH NH 则 MH BF NH AE 1 2 1 2 CE CF CA CB AE BF MH NH 点 M H N 分别为 AF AB BE 的中点 MH BF NH AE AHM ABC BHN BAC MHN 180 AHM BHN 180 ABC BAC 90 NH MN 2 2 AE 2NH 2 MN MN 2 22 第 6 题 第 7 题 7 7 证明 如图