巧用数学构造法解数列题

巧用数学构造法解数列题巧用数学构造法解数列题 永福中学 陈容丽永福中学 陈容丽 构造法作为一种重要的数学方法 而不是一个数学概念 没有严格的定义 构造法作为一种重要的数学方法 而不是一个数学概念 没有严格的定义 解数学问题时 常规的思考方法是由条件到结论的定向思考 但有些问题按照这样解数学问题时 常规的思考方法是由条件到结论的定向思考 但有些问题按照这样 的思维方式来寻求解题途径比较困难 甚至无从下手 在这种情况下 经常要求我的思维方式来寻求解题途径比较困难 甚至无从下手 在这种情况下 经常要求我 们改变思维方向 换一个角度思考 以找到一条绕过障碍的新途径 从而使问题得们改变思维方向 换一个角度思考 以找到一条绕过障碍的新途径 从而使问题得 解 而构造法就是根据数学问题的条件或结论的特征 以问题中的数学元素为解 而构造法就是根据数学问题的条件或结论的特征 以问题中的数学元素为 元元 件件 数学关系为 数学关系为 框架框架 构造出新的数学对象或数学模型 从而使问题转化并得构造出新的数学对象或数学模型 从而使问题转化并得 到简便解决的方法 它的特点是 创造性地使用已知条件 创造性地应用数学知识 到简便解决的方法 它的特点是 创造性地使用已知条件 创造性地应用数学知识 极大限度地发散思维 极大限度地发散思维 本文主要淡淡构造法在高中数列问题的应用 本文主要淡淡构造法在高中数列问题的应用 数列是高中很重要且有相当难度的一章内容 在近几年的高考中 一般有一道数列是高中很重要且有相当难度的一章内容 在近几年的高考中 一般有一道 中档的填空题和一道压轴的解答题 所占分值较高 数列问题中的构造新数列在近中档的填空题和一道压轴的解答题 所占分值较高 数列问题中的构造新数列在近 几年高考题中经常出现 这类题目的难度及区分度往往很大 学生不容易掌握 有几年高考题中经常出现 这类题目的难度及区分度往往很大 学生不容易掌握 有 时甚至无从下手 下面来专门谈一谈构造法在研究数列中的灵活运用 时甚至无从下手 下面来专门谈一谈构造法在研究数列中的灵活运用 一 型如一 型如 为常数且为常数且 的数列 其本身并不是等的数列 其本身并不是等 差或等比数列 但经过适当的变形后 即可构造出一个新数列 利用这个数列可求差或等比数列 但经过适当的变形后 即可构造出一个新数列 利用这个数列可求 其通项公式 其通项公式 1 为常数为常数 可构造等比数列求解 可构造等比数列求解 例例 1 已知数列已知数列满足满足 求通项 求通项 解解 由由 得 得 又 又 所以数列 所以数列 是首项为是首项为 公比为 公比为的等比数列 的等比数列 注 一般地 递推关系式注 一般地 递推关系式 p q 为常数 且为常数 且 p 0 p 1 可等价可等价 地改写成地改写成 则 则 为等比数列 从而可求为等比数列 从而可求 2 为等比数列 可构造等差数列 等比数列求解 如为等比数列 可构造等差数列 等比数列求解 如 为常为常 数数 两边同除以 两边同除以 得 得 令 令 则可转化为 则可转化为 的形式求解 的形式求解 例例 2 1 已知数列 已知数列 an 中 中 求通项 求通项 2 已知数列 已知数列满足满足 求通项 求通项 解解 1 由条件 得 由条件 得 令 令 则 则 即 即 又 又 数列数列为等比数列 故有为等比数列 故有 即即 2 由条件 得 由条件 得 即 即 故数列 故数列是以是以 为首项 以为首项 以为公差的等差数列 为公差的等差数列 故故 3 为等差数列 如为等差数列 如型递推式 可构造等比数列求解 型递推式 可构造等比数列求解 例例 3 已知数列已知数列满足满足 求 求 解解 令令 则 则 代入已知条件 代入已知条件 得得 即 即 令令 解得 解得 4 6 所以 所以 且 且 是以是以 3 为首项 以为首项 以为公比的等比数列 故为公比的等比数列 故 故故 注注 此例通过引入一些尚待确定的系数 转化命题结构 经过变形与比较 此例通过引入一些尚待确定的系数 转化命题结构 经过变形与比较 把问题转化成基本数列 等差或等比数列 求解 把问题转化成基本数列 等差或等比数列 求解 4 为非等差 非等比数列 可构造等差 等比数列求解 为非等差 非等比数列 可构造等差 等比数列求解 法一 构造等差数列求解 法一 构造等差数列求解 例例 4 在数列在数列中 中 1 若 若 其中 其中 求数列 求数列的通项公式 的通项公式 2 若 若 求通项求通项 解解 1 由条件可得 由条件可得 数列数列是首是首 项为项为 0 公差为 公差为 1 的等差数列 故的等差数列 故 2 由条件可得 由条件可得 数列数列是首项为是首项为 公差为 公差为 2 的等差数列 的等差数列 法二 构造等比数列求解 法二 构造等比数列求解 例例 5 已知数列已知数列满足满足 求数列 求数列的通项公的通项公 式 式 解解 设设 将已知条件代入此式 整理后得 将已知条件代入此式 整理后得 令 令 解得 解得 有有 又 又 且且 故数列 故数列是以是以为首为首 项 以项 以 3 为公比的等比数列 为公比的等比数列 故故 二 形如二 形如的复合数列 可先构造等差数列或等比数列 的复合数列 可先构造等差数列或等比数列 再用叠加法 叠乘法 迭代法等方法求解 再用叠加法 叠乘法 迭代法等方法求解 例例 6 在数列在数列中 中 求 求 解解 由条件可得由条件可得 数列数列是以是以为首为首 项 以项 以为公比的等比数列 为公比的等比数列 故故 例例 7 已知数列已知数列满足满足 求 求 解解 由已知可得 由已知可得 又 又 所以 所以 数列数列是首项为是首项为 公比为 公比为的等比数列 的等比数列 即 即 亦即 亦即 又 又 数列数列是首是首 项为项为 2 公差为 公差为 6 的等差数列 的等差数列 三 一些较为特殊的数列 可利用三 一些较为特殊的数列 可利用 取倒数取倒数 的方法构造等差数列或等比数的方法构造等差数列或等比数 列求解 列求解 例例 8 已知数列已知数列中 中 求 求 解解 由已知 得由已知 得 设 设 则 则 故 故是以是以 为首项 为首项 1 为公差的等差数列 为公差的等差数列 即 即 例例 9 已知数列已知数列 其中 其中 且 且 求通项 求通项 an 解解 由条件得 由条件得 设 设 则 则 令令 解得 解得 于是有 于是有 数列数列是一个以是一个以为首项 公比是 为首项 公比是 3 的等比数列 的等比数列 即 即 代入 代入 bn 得 得 例例 10 若数列若数列中 中 是数列是数列的前的前项之和 且项之和 且 求数列求数列的通项公式的通项公式 解解 由由 得 得 令 令 则有则有 故 故 数列数列 是以是以为首项 为首项 3 为公比的等比数列 为公比的等比数列 当 当 n时 由时 由 得 得 四 对某些特殊的数列 可利用特征方程构造等差数列或等比数列求解 四 对某些特殊的数列 可利用特征方程构造等差数列或等比数列求解 如满足如满足 A B C D 为常数 且为常数 且 的数列 的数列 可令特征方程为可令特征方程为 变形为 变形为 若方程有二异根 若方程有二异根 则可令则可令 为待定常数 为待定常数 则数列 则数列是首项为是首项为 公比为 公比为 的等比数列 若方程有二重根的等比数列 若方程有二重根 则可令 则可令 为待定常数 为待定常数 则数列则数列是首项为是首项为 公差为 公差为 的等差数列 然后代入的等差数列 然后代入的值可求得的值可求得 值 于是可求得值 于是可求得 例例 11 已知数列已知数列满足满足 求数列 求数列的通项的通项 解解 令令 化简得 化简得 解得 解得 令 令 由由 得 得 可得 可得 数列数列是以是以 为首项 以为首项 以为公比的等比数列 为公比的等比数列 解 解 得得 例例 12 已知数列已知数列满足满足 求数列 求数列的通的通 项项 解解 令令 即 即 解得 解得 令 令 由由得得 求得 求得 数列数列是以是以为首项 以为首项 以 为公差为公差 的等差数列 的等差数列 故 故 五 其它特殊数列的特殊构造方法五 其它特殊数列的特殊构造方法 1 通过取对数来构造新的数列求解 通过取对数来构造新的数列求解 例例 13 若数列若数列中 中 3 且且 n 是正整数 是正整数 则它的通项公式是 则它的通项公式是 解解 由题意知由题意知 0 将 将两边取对数得两边取对数得 即 即 所以数列所以数列是以是以 为首项 公比为为首项 公比为 2 的等比数列 的等比数列 即 即 2 通过换元来构造新的数列求解 通过换元来构造新的数列求解 例例 14 数列数列中 中 求 求 分析分析 本题的难点是已知递推关系式中的本题的难点是已知递推关系式中的较难处理 可构建新数列较难处理 可构建新数列 令 令 这样就巧妙地去掉了根式 将通项进行转化 便于化简 这样就巧妙地去掉了根式 将通项进行转化 便于化简 变形 变形 解解 令令 则 则 即 即 则原条 则原条 件可化为件可化为 化简得 化简得 即 即 变形得变形得 数列数列 是以是以为首项 为首项 为公比的为公比的 等比数列 等比数列 即 即 3 对于两个数列的复合问题 也可构造等差或等比数列求解 对于两个数列的复合问题 也可构造等差或等比数列求解 例例 15 在数列在数列 中 中 且 且 求 求 的通项公式 的通项公式 解解 构造新数列构造新数列 则 则 令 令 得得 或或 5 数列数列 是首项是首项 公比 公比 q 5 的等比数的等比数 列 即 当列 即 当 3 时 时 是首项为是首项为 q 5 2 的等比数列 故的等比数列 故 当当 5 时 时 是首项为是首项为 6 q 5 10 的等比数列 故的等比数列 故 6 联立二式 得联立二式 得 解得 解得 注 注 1 并不是任何数列都可以求出其通项的 能够求出通项的只是一些特殊 并不是任何数列都可以求出其通项的 能够求出通项的只是一些特殊 的数列 例如数列的数列 例如数列 1 1 4 1 41 1 414 就没有通项公式 就没有通项公式 2 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一 例如数列 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一 例如数列 1 1 1 1 其通项公式为 其通项公式为 或 或 3 数列是函数概念的继续和延伸 数列中数的有序性是数列定义的灵魂 要 数列是函数概念的继续和延伸 数列中数的有序性是数列定义的灵魂 要 注意辨析数列中的项与数集中元素的异同 因此在研究数列问题时既要注意函数方注意辨析数列中的项与数集中元素的异同 因此在研究数列问题时既要注意函数方 法的普遍性 又要注意数列方法的特殊性 从上述各题构建新数列的过程中 可以法的普遍性 又要注意数列方法的特殊性 从上述各题构建新数列的过程中 可以 看出对题设中递推式的观察 分析 并据其结构特点进行合理变形 是成功构造新看出对题设中递推式的观察 分析 并据其结构特点进行合理变形 是成功构造新 数列的关键 构造新数列的目的是为了化繁为简 化未知为已知 化不熟悉为熟悉 数列的关键 构造新数列的目的是为了化繁为简 化未知为已知 化不熟悉为熟悉 这也是解答数学问题的共性之所在 这也是解答数学问题的共性之所在 由上所举众多例子 不言而喻 正是在问题按照定向 按照常规难以解决的情由上所举众多例子 不言而喻 正是在问题按照定向 按照常规难以解决的情 况下 我们才改变思维方向 创造解题条件 长此以往 这将有利于我们优化思维况下 我们才改变思维方向 创造解题条件 长此以往 这将有利于我们优化思维 品质 提高思维能力 深刻理解概念 综合运用知识 发挥主观作用 激发学习兴品质 提高思维能力 深刻理解概念 综合运用知识 发挥主观作用 激发学习兴 趣 在中