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第四节有理函数的不定积分 直接积分法 换元积分法 分部积分法 一 有理函数的积分 二 可化为有理函数的积分举例 本节内容 一 有理函数的积分 有理函数 时 为假分式 时 为真分式 有理函数 多项式 真分式 分解 其中部分分式的形式为 若干部分分式之和 例1 将下列真分式分解为部分分式 解 1 用拼凑法 2 用赋值法 故 5 6 原式 四种典型部分分式的积分 变分子为 再分项积分 因为分母的导数为2x p 例2 求 解 已知 例3 求 解 原式 例4 求 解 说明 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行 但不一定简便 因此要注意根据被 积函数的结构寻求简便的方法 例5 求 解 原式 例6 求 解 原式 注意本题技巧 按常规方法较繁 二 可化为有理函数的积分举例 设 表示三角函数有理式 令 万能代换 t的有理函数的积分 1 三角函数有理式的积分 则 例7 求 解 令 则 例8 求 解 说明 通常求含 的积分时 往往更方便 的有理式 用代换 解 令 原式 例9 求 2 简单无理函数的积分 令 令 被积函数为简单根式的有理式 可通过根 根式代换化为有理函数的积分 例如 令 例10 求 解 令 则 原式 例11 求 解 为去掉被积函数分母中的根式 取根指数 则有 原式 令 2 3的最小公倍数6 例12 求 解 令 则 原式 内容小结 1 可积函数的特殊类型 有理函数 分解 多项式及部分分式之和 三角函数有理式 万能代换 简单无理函数 三角代换 根式代换 2 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出 但不一定简便 要注意综合使用基本积分法 简便计算 思考与练习 如何求下列积分更简便 解 1 2 原式 此
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