正定矩阵的判定

泰泰 山山 学学 院院 毕毕业业论论文文材材料料汇汇编编 正定矩阵的判定正定矩阵的判定 所 在 学 院 专 业 名 称 申请学士学位所属学科 年 级 学 生 姓 名 学号 指导教师姓名 职称 装 订 日 期 2015 年 6 月 30 日 材料汇编目录 一 开题报告 二 任务书 三 论文 1 封面 2 中文摘要 3 英文摘要 4 目录 5 正文 6 参考文献 7 致谢 四 成绩评定书 泰山学院 毕业论文开题报告 题 目 正定矩阵的判定 学 院 年 级 专 业 姓 名 学 号 指导教师签字 学 生 签字 2014 年 12 月 15 日 题目来源指导教师推荐 自选 其它 题目类别基础研究 应用研究 其它 各位老师好 我的论文题目是 正定矩阵的判定 为了达到学校对论文的要求 同时保证论文的准确性 逻辑性和严谨性 所以在写论文之前 我做了大量的准备工作 一方面我从学校图书馆借阅了一些和论文内容相关的书籍 另一方面上网搜集了大量相 关的材料 经过近一个月的仔细审读 思考与完善 我一定能够按时交出一份满意的论 文 我将全力以赴 克服困难 用大学四年所学得的专业知识广泛调研 去组织 完善 论文 使论文的层次更加清晰 论证更加充分 更重要的是使自己各方面的能力得到提 高 给大学生活交上一份满意的答卷 一 选题依据和目的选题依据和目的 一 选题依据 二次齐次多项式在实际工作和理论研究中是一种重要的多项式 其中实二次型 中的正定二次型占有特殊的位置 正定二次型的系数矩阵就是正定矩阵 因此 对 正定矩阵的讨论无论在矩阵理论方面 还是实际应用方面都有重要的意义 因而对 正定矩阵的讨论是必要的 本文给出了正定矩阵的基本概念 性质 意在给出正定 矩阵的判定方法 代数学是数学中的一个重要的基础分支 而正定矩阵又是高等代数 中的重中之重 特别是正定矩阵部分的应用很广泛 正定矩阵是计算数学 数学物 理 控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类 其应用引起人们极大的研究兴趣 目前对正定矩阵的研究 主要集中在理论研究与工程应用方面 最重要的是 在大学 期间我们开设的主修课目 高等代数 就有关于正定矩阵的学习 所以对这个课题 更容易找到切入点 并且也提高了自己的知识水平 使自己组织语言的等的能力得 到很大的提高 2 选题目的 复方阵的正定性在数学理论或应用中具有重要意义和应用价值 正定矩阵的判 定是矩阵论中重要的热门课题之一 本文从正定矩阵的定义出发 对正定矩阵性质进 行了深刻的讨论并从这些性质出发给出了一系列关于矩阵正定的判定条件且利用这 些判定条件证明了矩阵 不等式以及函数极值的相关问题 从而提高运用矩阵正定 性思想解决问题证明问题的能力 希望能够通过对正定矩阵的判定的研究熟练掌握 矩阵的判定性质及运用矩阵正定的思想解决问题的方法和技巧 1 1 主要研究内容及研究方法主要研究内容及研究方法 1 研究内容 我通过老师的讲解 自己查阅资料得出以下几种正定矩阵的判定方法 方法一 定义法 用正定矩阵的定义进行判定 方法二 标准形法 实对称矩阵 A 正定的充要条件是 A 与单位矩阵 E 合同 方法三 顺序主子式法 对称矩阵 A 正定的充要条件是 A 的所有顺序主子式全 大于零 方法四 特征值法 对称矩阵 A 正定的充要条件是 A 的特征值全大于 0 方法五 矩阵分解法 如果矩阵有分解式 则 列满秩时 AC C AC 正定 A 2 研究方法 主要运用理论知识与举例相结合的方法 经验总结法来研究求一元函数极限的 方法 3 3 进度安排进度安排 1 调研 收集资料务必于 2014 年 12 月 10 日前完成 2 写作初稿务必于 2015 年 4 月 10 日前完成 3 修改 定稿 打印务必于 2015 年 5 月 30 日前完成 4 4 主要参考文献主要参考文献 1 王萼芳 石生明 高等代数 M 北京 高等教育出版社 1996 2 王品超 高等代数新方法 M 济南 山东教育出版社 1989 3 毛纲源 线性代数解题方法技巧归纳 M 武汉 华中理工大学出版社 1993 4 钱吉林 高等代数题解精粹 M 北京 中央民族大学出版社 2002 5 北京大学数学系几何与代数教研室 高等代数 第三版 M 北京 高等教 育出版社 2003 6 于增海 高等代数考研选讲 M 北京 国防工业出版社 2012 7 杨子胥 高等代数习题集 M 济南 山东科技出版社 2003 评委评语及其建议 评委签字 学院盖章 2014 年 12 月 20 日 泰 山 学 院 毕业论文任务书 题 目 正定矩阵的判定 学 院 年 级 专 业 姓 名 学 号 指导教师签字 学 生 签字 2014 年 12 月 20 日 你的毕业论文开题报告已通过 现将毕业论文工作任务下达给你 请按照要求认真完成 主要内容如下 题 目正定矩阵的判定 基 本 要 求 论文写作前必须充分收集关于 正定矩阵的判定 的相关资料 在参考已有文献的基础上 矩阵作为科学研究的一项重要工具 在 数学 工程技术 自然科学以及经济管理等领域发挥着重要作用 要有一定的新见解 论文的文字要通顺 书写规范 表述准确 倡 导独立思考 杜绝抄袭和尽可能减少雷同 文字数控制在 6000 字 左右 应收 集的 资料 及主 要参 考文 献 1 王萼芳 石生明 高等代数 M 北京 高等教育出版社 1996 2 王品超 高等代数新方法 M 济南 山东教育出版社 1989 3 毛纲源 线性代数解题方法技巧归纳 M 武汉 华中理工大学 出版社 1993 4 钱吉林 高等代数题解精粹 M 北京 中央民族大学出版社 2002 5 北京大学数学系几何与代数教研室 高等代数 第三版 M 北 京 高等教育出版社 2003 6 张禾瑞 郝炳新 高等代数 第四版 M 北京 高等教育出版 社 1999 进度 安排 1 调研 收集资料务必于 2014 年 12 月 10 日前完成 2 写作初稿务必于 2015 年 4 月 10 日前完成 3 修改 定稿 打印务必于 2015 年 5 月 30 日前完成 本毕业 论文完 成期限 任务书下达于 2014 年 12 月 20 日 任务完成后 2015 年 6 月 5 日前按照规 定格式打印交至学院 由指导教师评阅后提交毕业论文答辩委员会 泰泰 山山 学学 院院 本本科科毕毕业业论论文文 正定矩阵的判定 所 在 学 院 专 业 名 称 申请学士学位所属学科 年 级 学 生 姓 名 学号 指导教师姓 名 职称 完 成 日 期 二 一五年六月 摘要 I 摘 要 矩阵理论是线性代数的核心内容 是数学中最重要的基本概念之一 是代数 学研究的主要对象及应用的重要工具 它贯穿于线性代数的各个部分 并且矩阵 理论在几何学 物理学 概率论及最优化理论等诸多学科中具有广泛的应用而且 一直都是重要的热门课题 矩阵作为科学研究的一项重要工具 在数学 工程技 术 自然科学以及经济管理等领域发挥着重要作用 掌握好矩阵理论是学好线性 代数必不可少的条件 正定矩阵作为一类特殊的矩阵在矩阵理论中占有非常重要的地位 而正定矩 阵的判定又是正定矩阵研究的重要内容 接下来文中文中给出了定义法 标准型 法 顺序主子式法 特征值法 矩阵分解法五种判断实对称矩阵正定的方法 并 举例说明如何判断一个实对称方阵是否正定 关键词 关键词 线性代数 正定矩阵 基本概念 性质 判定方法 ABSTRACT II ABSTRACT Matrix theory is the core content of linear algebra is one of the most important basic concepts in mathematics is an important tool for the main research object algebra and its application it runs through every part of linear algebra And the matrix theory in geometry physics probability theory and the optimization theory and other disciplines is widely used and has been a hot topic of Matrix is an important tool of scientific research play an important role in the field of mathematics engineering technology natural science and economic management master matrix theory is essential to learn linear algebra Positive definite matrix as a kind of special matrix plays a very important role in matrix theory and determine the positive definite matrix and positive definite matrix is an important content of the research This paper gives the definition of Chinese method standard method sequence analysis eigenvalue method matrix decomposition method of five kinds of methods to judge the positive real symmetric matrix and an example is given to illustrate how to judge whether a real symmetric positive definite matrix Key words Linear algebra Positive definite matrix The basic concept Nature Judging method 目录 III 目 录 1 引言 1 2 正定矩阵的基本概念 1 3 正定矩阵的性质 2 4 正定矩阵的判定方法 3 4 1 定义法 3 4 2 标准形法 4 4 3 顺序主子式法 5 4 4 特征值法 6 4 5 矩阵分解法 8 5 参考文献 10 6 致谢 11 泰山学院本科毕业论文 1 1 引 言 矩阵理论是线性代数的核心内容 是数学中最重要的基本概念之一 是代数 学研究的主要对象及应用的重要工具 它贯穿于线性代数的各个部分 并且矩阵 理论在几何学 物理学 概率论及最优化理论等诸多学科中具有广泛的应用而且 一直都是重要的热门课题 矩阵作为科学研究的一项重要工具 在数学 自然科 学 工程技术以及经济管理等领域发挥着重要作用 掌握矩阵理论是学好线性代 数必不可少的条件 正定矩阵作为一类特殊的矩阵在矩阵理论中占有十分重要的地位 而正定矩 阵的判定又是正定矩阵研究的重要内容 接下来文中文中给出了定义法 标准型 法 顺序主子式法 特征值法 矩阵分解法五种判断实对称矩阵正定的方法 并 举例说明如何判断一个实对称方阵是否正定 2 正定矩阵的基本概念 定义 1 实二次型称为正定的 如果对于任意一组不全为零的实数 21n xxxf 有 n ccc 21 0 21 n cccf 定义 2 若实数域上的一个元二次型n 是正定二次型 则称为正定A 11 21jiijji n j ij n i n aaaxxxfA 矩阵 其中 A nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 n x x x 2 1 注 1 正定二次型和正定矩阵是一一对应的关系 2 经非退化的线性替换 新二次型的矩阵和原二次型的矩阵合同 泰山学院本科毕业论文 2 3 正定矩阵的性质 1 与正定矩阵合同的矩阵一定是正定矩阵 实际上由合同的传递性 正定矩阵均与单位矩阵合同可知结论成立 2 正定矩阵的主对角线上的元素全大于零 事实上当实对称矩阵是正定矩阵时 由它确定的二次型 ij a A 必为正定二次型 不妨假设 取 11 jiijji n i ij n i aaxxa A 0 11 a 代入上式得 这与00100 111 niii xxxxx 0 11 A a 正定矛盾 所以假设不成立 即 A 21 0 11 nia 3 正定矩阵的行列式大于零 正定矩阵与单位矩阵合同 存在可逆矩阵 使得 A A 由此还可看出 正定矩阵一定是可逆矩阵 0 2 A 4 正定矩阵的元素的绝对值的最大者一定是主对角线上的元素 设是正定矩阵 其中为绝对值最大者 则 又 ij a A jiaij jjiiij aaa 2 知道所有主子式都大于零 与A jjiiij jjij ijii ijjjii aaa aa aa aaa 22 0 即有 假设矛盾 正定矩阵中元素的绝对值的最大者一定是主对角线上的元素 A 注 这个结论常用于判定某些实对称矩阵不是正定的矩阵 这是因为只要有 一个非主对角线上的元素的绝对值不小于主对角线上元素的绝对值的最大者 则这个实对称矩阵必定不是正定矩阵 5 正定矩阵乘积的特征根都大于零 设均为正定矩阵 则有可逆矩阵 使得 A Q QQQQQQQQQQQQ 11 A A 可逆 又是正定矩阵 从而与正定矩阵 Q QQ A 相似 而相似矩阵的特征根相同 所以的特征根都大于零 QQ A 注 不一定是对称矩阵 A 6 若是一个阶正定矩阵 则 其中是主对角线上元素全大于零的An A 泰山学院本科毕业论文 3 上三角形矩阵 事实上有可逆矩阵 使得Q A UQQQ 又 其中是正交矩阵 是一个上三角矩阵且主对角线上的元素均为正数 U A UUUU 7 正定矩阵的逆矩阵必为正定矩阵 正定矩阵与单位矩阵合同 存在可逆矩阵 使得 取逆 A 矩阵 即有 记 1 1 1 1 1 1 AQ 则与单位矩阵合同 是正定矩阵 QQ A 1 1 A 1 A 4 正定矩阵的判定方法 正定矩阵是一类特殊重要的矩阵 正定矩阵的判定又是正定矩阵讨论的重要 内容 以下给出了五种正定矩阵的判定方法 4 1 定义法 阶实对称矩阵称为正定矩阵 如果对于任意的维实非零列向量 都nAn 有 正定的实对称矩阵简称为正定矩阵 记作 0 A A0 A 例 1 设是正定矩阵 是非奇异实方阵 则也是正定矩阵 A A 证明 是实对称矩阵 也是实对称矩阵 又对任何实的非零列向量A A 由于 即是正定矩阵 0 0 A A A 例 2 设都是阶正定矩阵 证明 也是正定 和 ijij ba An ijijb aC 矩阵 证明 显然矩阵是实对称矩阵 任取 C0 0 0 1 A 则由矩阵 n xx 知 由 知存在阶可逆矩阵 使得0 11 A n k kjjkjk n j xxba0 n lj qQ 泰山学院本科毕业论文 4 即 QQ 1 1 nkjqqb n i lkljjk 所以 n k lkklkjjk n j n l n k kj n i lkljjk n k n j kjjkjk n j qxqxaxxqqaxxba 11111111 对任意的 因为 所以总存在一个 0 1 n xx Ql 使得 又有 0 ln11 r nl qxqx 0 A 对以上的 成立 所以 即0 11 n k lkkljjij n j qxqxal0 11 n k kjjkjk n j xxba 0 ijijb aC 注 用定义证明矩阵正定需证明两点 A 1 为实对称矩阵 A 2 对任何的非零实列向量 0 A 4 2 标准形法 合同变换法 下面五个陈述是等价的 1 阶实对称矩阵是正定的 nA 2 正惯性指数等于 n 3 合同于单位矩阵 A 4 存在可逆矩阵 使得 CCC A 5 的特征值全大于零 A 推论 与正定矩阵合同的实对称矩阵也是正定矩阵 例 2 证明 若是正定矩阵 则也是正定矩阵 A 1 A 证明 是正定矩阵 是实对称矩阵 可逆 且 A A A 1 1 1 A A A 即也是实对称矩阵 1 A 例 3 设是阶实对称矩阵 证明 为正定矩阵的充要条件为An0 AA 对所有的正定矩阵恒有 0 A tr 证明 必要性 由正定 则存在实可逆矩阵 A 11 A 泰山学院本科毕业论文 5 使得 于是 1 11 1 AA A 0 11 11 11 111 11 1 A A AA AA A trtrtrtr 充分性 设不是正定的 由 必有负特征值 设为由实A0 AA 1 A 对称 则存在正交矩阵 使得 A n 1 这里令 2 1 0ni i n i iiin nidiag 1 11 0 2 1 0 则正定 令 1 n 1 则正定 但是 矛盾 0 11 A A A nn trtrtr 4 3 顺序主子式法 1 的所有顺序主子式全大于零 A 2 的所有主子式全大于零 A 注 类似的我们可以得到半正定矩阵的 7 个等价命题 a 阶实对称矩阵是半正定的 nA b 负惯性指数为零 A c 合同于 A r 0 rnrn r0n d 存在阶矩阵 使得 nSSS A e 的特征值全非负 A 泰山学院本科毕业论文 6 例 4 判断二次型是否正定 1 1 11i 2 i n i i n i xxxf 解 二次型的矩阵为三角矩阵f A 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 的任意的阶顺序主子式 所以矩阵为正定矩阵 Ak k A0 1 2 1 k k A 原二次型为正定二次型 例 5 取何值时 二次型t 2 332 2 23121 2 1 54222xxtxxxxxxxf 是正定二次型 解 二次型对应的矩阵为f A 521 221 111 t t 要使二次型正定 则的各阶顺序主子式全大于零 即满足 fA 0 344 521 t221 1 11 01 21 11 01 2 321 tt t Addd 得到 时 二次型为正定二次型 2 1 2 3 t 2 1 2 3 t 当f 4 4 特征值法 的特征值全大于零 于是存在正交矩阵 使得A 即存在正交线性替换 使得 A n 1 0 i ni 2 1 泰山学院本科毕业论文 7 22 22 2 11 nny yyf 0 i 2 1ni 例 6 证明 二次型为正定二次型 nji ji n i in xxxxxf 11 2 1 22 证 设的矩阵为 则fA A 211 121 112 由 可知的特征值 由于 1 1 1 A n n A1 1 11 n nn 特征值全为正数 所以是正定矩阵 从而为正定二次型 Af 例 7 设 问满足什么条件正定 Rbaxxbxaf n i n i inii 11 1 2 ba f 解 1 当变元的个数为偶数时 的矩阵为m2f A ab ab ba ba 于是 mm baba ab ab ba ba A 故的特征值为 均为重 故Ababa m 正定f baba 2 当变元的个数为奇数时 12 m 1 A mm baba 故的特征值为正定Afbaba ba 泰山学院本科毕业论文 8 综上所述 baf 正定 4 5 矩阵分解法 如果矩阵有分解式 则列满秩时 正定 行满秩时 半ACC ACACA 正定 一般地 如果矩阵能分解成若干个简单矩阵的和 积等 则可能将问题化A 难为易 矩阵分解也是一种解决问题的方法 例 8 证明 是半正定矩阵 nn ij A 1 证明 因为 CC n n ij nn 1 2 1 1 1 2 1 1 1 A 其中是行满秩的 所以是半正定矩阵 CA 例 9 设阶实对称矩阵 而且正定 求证 存在正定矩阵 使n为AA 且是唯一的 2 A 证明 由正定 则存在正交矩阵 使得AQ 1 QQ n A 这里令 2 1 0ni i 1 QQ n 则是正定矩阵 且 2 A 下证唯一性 设存在正定矩阵使得 则 C 22 C A GCCCC 是反对称矩阵 于是的特征值为零和纯虚数 G 若能证明的特征值全为零 则 由正定 则存在正定矩阵 使得G0 GC S 泰山学院本科毕业论文 9 于是 2 SC 11 SCSSCCS