对称性在二重积分中的应用

目目 录录 摘要 1 关键词 1 Abstract 1 KeyKey wordswords 1 引言 1 1 预备知识 2 2 二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用 2 2 1 积分区域D关于坐标轴对称 2 2 1 1 积分域D关于y轴对称 f x y 为D上的连续函数 2 2 1 2 积分域D关于x轴对称 f x y 为D上的连续函数 4 2 2 积分区域D关于坐标区域内直线对称 5 2 3 积分区域D关于坐标原点对称 6 2 4 积分区域D同时关于坐标轴和坐标原点对称 7 参考文献 8 致谢 8 本科生毕业论文 1 对称性在二重积分中的应用 摘要 通过对称性在定积分中的应用 积分总结了对称性在二重积分运算中的相应的一些结果 给 出了对称性在二重积分中的有关定理以及应用 介绍了二重积分的积分区域分别关于轴轴以及yx 原点对称的情况 在探讨利用对称性计算二重积分的基础上 通过例题说明可以简化二重积分的计 算 关键词 二重积分 对称性 奇偶性 简化计算 The Application of The Symmetry in Calculating Double Integration Abstract The symmetry in the application of integral computing by the knowledge of mathematical analysis is discussed At the same time some relevant theorems by the symmetry theory of calculating the double integration are proved This paper introduces the integral area of Double Integral which is symmetrical about axisaxis and the origin of coordinates Based on discussing the application of yx symmetry in double integral some examples illustrate the convenience of using this result in calculating double integral Key words double integral symmetry parity Simplified calculation 引言引言 在定积分的计算中 可以根据被积函数和积分区间的特点用对称性定理计 算 二重积分是积分学中的重要内容之一 所以我们可以将定积分计算中的对称性定 理进行推广 并可归纳出利用平面区域的对称性来计算二重积分 从而化繁为简 收 到事半功倍的效果 利用对称性计算二重积分 不但可以使计算简化 有时还可以避 免错误 在一般情况下 必须是积分区域具有对称性 而且被积函数对于区域也DD 具有对称性 才能利用对称性来计算 在特殊情况下 虽然积分区域没有对称性 D 或者关于对称区域被积函数没有对称性 但经过技巧性的处理 化为能用对称性来D 简化计算的积分 这些都是很值得我们探讨的问题 1 预备知识 在计算定积分的时候我们常常会用到如下定理 设在上连续 则有 xf a a 0 2 0 a a a f x dxf x f x dx f x 当为偶函数 当为奇函数 这个结论 常可简化计算奇 偶函数在对称于原点的区间上的定积分 对称性在二重积分中的应用 2 在计算二重积分时 若积分区域具有某种对称性 是否也有相应的结论呢 回答是 肯定的 下面 我们将此结论类似地推广到二重积分 二重积分一方面积分区域的对 称性较之定积分积分区间的对称性而言情况要复杂一些 另一方面被积函数是二元函 数 因此他关于变量的奇偶性也较定积分的一元函数要多变一些 下面给出关于对称 性在二重积分应用中所涉及到的命题和证明以及相应例题来说明对称性对二重积分计 算的简化 2 二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用 定理 1 若二重积分满足 D f x y dxdy 1 区域可分为对称的两部分和 对称点 D 1 D 2 DP 1 DP 2 D 2 被积函数在对称点的值与相同或互为 f P f P 相反数 则 1 2 D D f Pf P f x y dxdy f x y dxdyf Pf P 0 其中的坐标根据的对称性的类型而确定 PD 2 1 积分区域关于坐标轴对称D 2 1 1 积分域关于 y 轴对称 为上的连续函数D f x yD 定理 2 如果积分区域关于轴对称 则 Dy 1 0 Dx yx yD x 1 若为关于的偶函数 即对 有 则 yxfx x yD fx yf x y 1 2 DD f x y dxdyf x y dxdy 2 若为关于的奇函数 即对 有 则 yxfx x yD fx yf x y 0 D f x y dxdy 证明 记则 2 0 Dx yx yD x 12 DDD 显然有 12 DDD f x y dxdyf x y dxdyf x y dxdy 在区域 我们可令 则所以 2 D xu yv x y J u v 10 1 01 本科生毕业论文 3 211 DDD f x y dxdyfu v dudvfx y dxdy 所以由 可得 111 DDDD f x y dxdyf x y dxdyfx y dxdyf x yfx ydxdy 定理 2 结论得证 例 1 3 计算 其中 32 D xx y dxdy D 22 4 0 xyy 解 32 f x yxx y 3232 fx yxx yxx yf x y 且区域关于轴对称 所以 Dy 32 D xx y dxdy 0 例 2 5 计算 其中区域 2 D x ydxdy D11 01xy 解 是关于的偶函数 且区域关于轴对称 2 f x yx y xDy 所以 2 D x ydxdy 11 2 00 2dyx ydx 11 2 00 2ydyx dx 1 3 注意 求解此类题目的过程中要首先判断积分区域是否具有某种对称性 例如是D 不是关于轴对称 其次要观察被积函数是否关于另一坐标轴具有奇偶性 两y yxf 个条件缺一不可 1 如果忽略了这两点就会出现如下的错误 例 3 其中是由确定的闭区域 x y D Ieds D1xy 错解 其中是第一象限的积分区域 1 11 00 444 x yx yx D Ieddxedys 1 D 此题错误的原因是只看到积分区域的对称性却忽略了被积函数对于D x y f x ye 来说没有对称性 即它不是同时关于和的偶函数 正确解法应为 Dxy 其中 12 11 1 01 011 1 x yx yx yx yx yxx xx DDD Iedededdxedydxedyeesss 和分别是积分区域里轴的右左两侧的部分 1 D 2 Dy 本题如果把改为 这时被积函数是同时关于和的偶 x y f x ye xy f x ye xy 函数 而积分区域同时对称于轴和轴 则可用对称性计算如下 Dxy 1 11 00 444 x yx yx D Ieddxedys 对称性在二重积分中的应用 4 2 1 2 积分域关于轴对称 为上的连续函数 Dx f x y D 定理 3 如果积分区域关于轴对称 则 Dx 1 0Dx yx yD y 1 若为关于的偶函数 即对 有 yxfy x yD f x yf xy 则 1 2 DD f x y dxdyf x y dxdy 2 若为关于的奇函数 即对 有 yxfy x yD f xyf x y 则 0 D f x y dxdy 证明 与定理二证明类似 例 4 计算 其中区域 22 ln 1 D yxy dxdy D 22 1 0 xyx 解 是关于的奇函数且关于轴对称 f x y 22 ln 1 yxy yDx 所以 22 ln 1 D yxy dxdy 0 注注 此题与例题一类似 显然我们利用了对称性 根据积分区域的对称性以及积分 函数的特点能大大减少计算量 这就是对称性的优点所在 例 5 计算 其中区域 22 sin D xy dxdy D 22 4 0 xyx 解 因为是关于的偶函数 且关于轴对称 f x y 22 sin xy yDx 所以 22 sin D xy dxdy 22 22 4 0 0 2sin xy xy xy dxdy 2 2 2 00 2sindrr dr p q 1 cos4 2 p 注 此类题目是积分函数为三角函数的二重积分 通过对称性简化积分后 因为题 目中含有系数相同的 项 我们就要考虑利用极坐标变换法 对于系数不同的 2 x 2 y 2 x 项可采用广义的极坐标变换从而求得积分结果 2 y 2 2 积分区域关于坐标区域内直线对称 D 将积分区域关于坐标轴对称的情况推广到积分区域关于坐标区域内直线对称 D 本科生毕业论文 5 则有下面定理 定理 4 如果积分域关于直线对称 Dxy 则 1 Dx yx yD yx 2 Dx yx yD yx 1 有以下结论 DD f x y dxdyf y x dxdy 12 DD f x y dxdyf y x dxdy 2 DD f x yf y x dxdyf x y dxdy 2 若对 有 则 x yD f x yf y x 1 2 DD f x y dxdyf x y dxdy 3 若对 有 则 x yD f x yf y x 0 D f x y dxdy 例 6 6 设为恒正的连续函数 计算积分 f x 222 xyr af xbf y dxdy f xf y 解 由于积分区域关于对称 所以由定理 4 可得 222 xyr yx 222 xyr af xbf y dxdy f xf y 222 xyr af ybf x dxdy f yf x 于是 222 2 xyr af xbf y dxdy f xf y 222222 xyrxyr af xbf yaf ybf x dxdydxdy f xf yf yf x 222 xyr ab dxdy 2 ab rp 故 222 xyr af xbf y dxdy f xf y 2 2 ab r p 注注 当积分区域关于对称时 被积分函数的两个变量可以互换位置的特殊性yx 质可以使二重积分计算化简 类似的 若积分区域关于直线对称且满足 则 yx fxyf x y 0 D f x y dxdy 或满足 则有 fxyf x y 1 2 DD f x y dxdyf x y dxdy 其中为的一半 1 DD 对称性在二重积分中的应用 6 2 3 积分区域关于坐标原点对称 D 定理定理 5 5 如果积分区域关于坐标原点对称 为中关于原点对称的一半积分D 1 DD 区域 则 1 若为关于 都对称的偶函数 即对 有 yxfxy x yD 则 f x yfxy 1 2 DD f x y dxdyf x y dxdy 2 若为关于 都对称的奇函数 即对 有 yxfxy x yD 则 fxyf x y 0 D f x y dxdy 证明证明 若区域对称于原点 对任意 对称点 D P x y 1 D P xy 2 D 令 1 Dxyxaxbyj 2 Dxyxbxajy xu yv 则区域变换为坐标平面内区域 雅可比行列式 2 Duov 1 Dxyxaxbyj x y u v 10 1 01 所以 2 D f x y dxdy 1 D fuv dudv 1 D fxy dxdy 1 1 D D f x y dxdyfxyf x y f x y dxdyfxyf x y 代入 12 DDD f x y dxdyf x y dxdyf x y dxdy 得 1 2 0 若 若 D D fxyf x y f x y dxdy f x y dxdyfxyf x y 例 7 1 计算二重积分 其中为直线与曲线所围成的有界 2 y D edxdy Dyx 1 3 yx 闭区域 解 分析可知积分区域关于原点对称 且被积函数为关于的偶函数 2 y f x ye y 本科生毕业论文 7 知 22223 1 311 00 222 yyyyy y DD edxdyedxdydyedxyy edy 令 则 2 ty 2 11 0 1 yt D edxdyte dte 2 4 积分区域同时关于坐标轴和坐标原点对称 D 定理定理 7 7 若区域关于坐标轴原点全对称 则二重积分D 1 4 DD f x y dxdyf x y dxdy 其中为位于第一象限部分 1 DD 例 8 利用对称性计算二重积分 D xy ds 1Dxy 解 经分析可知区域关于坐标轴 坐标原点都对称 而且被积函数关于都Dyx 是偶函数 故 其中 为中第一象限部分 表示为 1 4 DD xy dxy dss 1 DD 又关于直线对称 即所以此题就转化到关1 0 0 xyxy 1 Dyx f x yf y x 于对称的问题上来了 所以有yx 11 2111 000 4 4 888 3 x DDD xy dxy dxddxxdyxx dxsss 当积分区域的对称性不明显或者不能够足够简化计算时我们还可以将积分区域的某 一部分分离出来看 利用这一部分的对称性来简化计算 此外我们可以发现如果此题 不用对称性计算将非常麻 7 在利用重积分的对称性计算积分时要