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第7章矩阵函数与矩阵值函数 7 1矩阵函数 7 2矩阵值函数 7 3矩阵值函数在微分方程组中的应用 7 4 特征对的灵敏度分析 7 1矩阵函数 7 1 1矩阵函数的幂级数表示 7 1 2矩阵函数的另一种定义 7 1 1矩阵函数的幂级数表示 定义7 1 1 定理7 1 1 推论7 1 1 定理7 1 2 7 1 2矩阵函数的另一种定义 设矩阵A的最小多项式为 定理7 1 3 定义7 1 2 则定义矩阵函数f A 为 定理7 1 4 定理7 1 5 定理7 1 6 其中 且 7 1 25 给出的矩阵函数f A 与A的Jordan标准形J中Jordan块的排列次序及变换矩阵P的选取均无关 定理7 1 7 定理7 1 8 7 2矩阵值函数 7 2 1矩阵值函数 7 2 2矩阵值函数的分析运算 7 2 1矩阵值函数 定义7 2 1 称为定义在 a b 上的矩阵值函数 特别地 当n 1时 得到向量值函数 通常用等形式表示 定义7 2 2区间 a b 上m n矩阵值函数A x 不恒等于零的子式的最高阶数称为A x 的秩 记为rank A x 特别地 如果A x 是区间 a b 上n阶矩阵值函数 并且rank A x n 则称A x 为满秩的 定义7 2 3 则称A x 在 a b 上可逆 并称B x 为A x 的逆矩阵 记为A 1 x 定理7 2 1n阶矩阵值函数A x 在区间 a b 上可逆的充分必要条件是 A x 在 a b 上处处不为零 并且 其中 是A x 的伴随矩阵值函数 Aij x 是A x 中元素aij x 的代数余子式 7 2 2矩阵值函数的分析运算 定义7 2 4 定义7 2 5 矩阵值函数的导数运算具有下列性质 因为矩阵乘法没有交换律 一般地 对正整数m 1和可导的n阶矩阵值函数A x 定理7 2 2如果n阶矩阵值函数A x 在 a b 上可逆且可导 则 定义7 2 6 为A x 在 a b 上的积分 矩阵值函数的积分具有如下性质 3 对常数矩阵A和C 有 4 如果矩阵值函数A x 在 a b 上连续 则 5 如果矩阵值函数A x 在 a b 上连续 则 定义7 2 7 矩阵值函数的导数具有如下性质 7 3矩阵值函数在微分方程组中的应用 一阶线性微分方程组 其中 方程组 7 3 1 的初始条件 可以表示成 定理7 3 1设A是n阶常数矩阵 则微分方程组 定义7 3 1设A是n阶常数矩阵 如果对任意的t0和x0 初值问题 定理7 3 2对任意的t0和x0 初值问题 7 3 8 的解x t 渐近稳定的充分必要条件是矩阵A的特征值都有负实部 定义7 3 2设A是n阶矩阵 如果A的特征值都有负实部 则称A为稳定矩阵 定理7 3 3设A是n阶常数矩阵 则微分方程组 7 4 特征对的灵敏度分析 定理7 4 1 则方程组 定理7 4 2 则方程组 证明 是非奇异矩阵 并且 令 定理7 4 3 由 7 4 3 和 7 4 6 得 令 由定理7 4 1知 方程组 令 由 7 4 8 7 4 11 和 7 4 12 有 由定理7 4 1知 方程组 令 由 7 4 8 7 4 17 和