电磁场与电磁波(第4版)习题第4章

4 1 第 4 章 时变电磁场 部分习题解答部分习题解答 4 1 证明 在无源的真空中 以下矢量函数满足波动方程 其中 2 2 22 1 0 ct E E 为常数 2 00 1 c 0 E 1 2 0cos xE tz c Ee 0sin cos xE zt c Ee 3 0cos yE tz c Ee 解解 1 2 22 00 2 cos cos xx EtzEtz czc Eee 2 0 cos x Etz cc e 22 2 00 22 cos cos xx EtzEtz ttcc Eee 故 2 222 00 222 11 cos cos 0 xx EtzEtz ctcccc E Eee 即矢量函数满足波动方程 0cos xE tz c Ee 2 2 22 1 0 ct E E 2 2 22 00 2 sin cos sin cos xx EztEzt czc Eee 2 0 sin cos x Ezt cc e 22 2 00 22 sin cos sin cos xx EztEzt ttcc Eee 故 2 222 00 222 11 sin cos sin cos 0 xx EztEzt ctcccc E Eee 即矢量函数满足波动方程 0sin cos xE zt c Ee 2 2 22 1 0 ct E E 3 2 22 00 2 cos cos yy EtzEtz czc Eee 2 0 cos y Etz cc e 22 2 00 22 cos cos yx EtzEtz ttcc Eee 故 4 2 2 222 00 222 11 cos cos 0 yy EtzEtz ctcccc E Eee 即矢量函数满足波动方程 0cos yE tz c Ee 2 2 22 1 0 ct E E 4 3 已知无源的空气中的磁场强度为 9 0 1sin 10 cos 610 A m y xtkz He 利用波动方程求常数的值 k 解解 在无源的空气中的磁场强度满足波动方程 2 2 00 2 0 t t t H r H r 而 229 0 1sin 10 cos 610 y txtkz H re 229 10 0 1sin 10 cos 610 y kxtkz e 22 9 22 0 1sin 10 cos 610 y txtkz tt H re 929 610 0 1sin 10 cos 610 y xtkz e 代入方程 2 2 00 2 0 t t t H r H r 得 22929 00 10 610 0 1sin 10 cos 610 0 y kxtkz e 于是有 2292 00 10 610 0k 故得到 922 00 6 10 10 10 3k 4 6 在应用电磁位时 如果不采用洛仑兹条件 而采用库仑规范 导出和 0 AAA 所满足的微分方程 解解 将电磁矢量位 A 的关系式 BA 和电磁标量位的关系式 t A E 代入麦克斯韦第一方程 t E HJ 得 1 tt A AJ 利用矢量恒等式 2 AAAA 得 1 2 tt A AA JA 4 3 又由 DA 得 t A A 即 2 2 t AA 按库仑规范 令 将其代入式 1 和式 2 得 0 AA 3 2 2 2 tt A AJ 4 2 式 3 和式 4 就是采用库仑规范时 电磁位函数 A 和所满足的微分方程 4 9 自由空间中的电磁场为 0 100 cos V m x z ttkz Ee 2 65cos A m y z ttkz He 式中 求 00 0 42rad mk 1 瞬时坡印廷矢量 2 平均坡印廷矢量 3 任一时刻流入如题 4 9 图所示的平行六面体 长 横截面积为 中的 1m 2 0 25m 净功率 解解 1 瞬时坡印廷矢量 2 2650cos z tkz SEHe 2 W m 2 平均坡印廷矢量 2 2 0 2650cos d1325 2 avzz tkzt See 2 W m 3 任一时刻流入如题 4 9 图所示的平行六面体中的净功率为 01 d 0 25 nzzzz S PS S eSeS eAAA A 22 2650 0 25 cos cos 0 42 tt 270 2sin 20 42 t W 4 10 已知某电磁场的复矢量为 00 sin V m x zjEk z Ee 0 00 0 cos A m y zEk z He 式中 为真空中的光速 是波长 求 1 各点处的 0 0 2 k c c0 0z 0 8 0 4 瞬时坡印廷矢量 2 以上各点处的平均坡印廷矢量 解解 1 和的瞬时矢量为 EH 0000 Re sin sin sin j t xx z tjEk z eEk zt EeeV m 4 4 00 0000 00 Re cos cos cos j t yy z tEk z eEk zt Hee A m 则瞬时坡印廷矢量为 2 0 000 0 cos sin cos sin z z tz tz tEk zk ztt SEHe 故 0 0t S 2 W m 2 0 0 0 8 sin 2 4 z E tt Se 2 W m 0 4 0t S 2 W m 2 1 Re 0 2 av zzz SEH 2 W m 4 11 在横截面为的矩形金属波导中 电磁场的复矢量为 a b 0sin V m j z y ax jHe a Ee 00 sin cos A m j z xz axx jHHe aa Hee 式中 和都是实常数 求 1 瞬时坡印廷矢量 2 平均坡印廷矢量 0 H 解解 1 和的瞬时矢量为 EH 0 Re sin j zj t y ax x z tjHee a Ee 0sin sin y ax Htz a e V m 00 Re sin cos j zj t xz axx x z tjHHee aa Hee 00 sin sin cos cos xz axx HtzHtz aa ee 故瞬时坡印廷矢量 x z t S 222 0 sin sin z ax Htz a e 2 0 2 sin sin 22 4 x ax Htz a e 2 W m 2 平均坡印廷矢量 22 0 1 Re sin 22 avz ax x zx zx zH a SEHe 2 W m 4 14 设电场强度和磁场强度分别为 0 0 cos cos e m t t EE HH 证明其坡印廷矢量的平均值为 00 1 cos 2 avem SEH 4 5 解解 坡印廷矢量的瞬时值为 00 cos cos em tt SEHEH 00 1 cos cos 2 emem tttt EH 00 1 cos 2 cos 2 emem t EH 故平均坡印廷矢量为 00 00 111 cos 2 cos d 2 TT avemem dttt TT SSEH 00 1 cos 2 em EH 4 15 在半径为 电导率为的无限长直圆柱导线中 沿轴向通以均匀分布的恒定电流 a 且导线表面上有均匀分布的电荷面密度 I S 1 导线表面外侧的坡印廷矢量 S 2 证明 由导线表面进入其内部的功率等于导线内的焦耳热损耗功率 解 解 1 当导线的电导率为有限值时 导线内部存在沿电流方向的电场 i E 2 z I a J e 根据边界条件 在导线表面上电场的切向分量连续 即 因此 在导线表面外侧的 iz E oz E 电场的切向分量为 2 oz a I E a 又利用高斯定理 容易求得导线表面外侧的电场的法向分量为 0 S o a E 故导线表面外侧的电场为 2 0 S oz a I a Eee 利用安培环路定理 可求得导线表面外侧的磁场为 2 o a I a He 故导线表面外侧的坡印廷矢量为 2 23 0 22 S oooz aa II aa SEHee 2 W m 由内导体表面每单位长度进入其内部的功率 2 2 23 d2 2 So a I PSaRI a Se 式中是内导体单位长度的电阻 由此可见 由导线表面进入其内部的功率等于导 2 1 R a 体内的焦耳热损耗功率 4 16 由半径为的两圆形导体平板构成一平行板电容器 间距为 两板间充满介电 ad 常数为 电导率为的媒质 如题 4 16 题所示 设两板间外加缓变电压 cos m uUt 4 6 略去边缘效应 试求 1 电容器内的瞬时坡印廷矢量和平均坡 印廷矢量 2 进入电容器的平均功率 3 电容器内损耗的瞬时功率和平均功率 解解 1 电容器中的电场 cos m zz uu t dd Eee 位移电流密度和传导电流密度分别为 d J J sin m dz U t td E Je cos m z U t d JEe 由于轴对称性 两板间的磁场只有分量 且在以轴为中心 为半径的圆周上处处相 e z c 等 于是由 ddd cSS t D HlJSSAAA A 可得 22 2cossin mm UU rHtt dd A 所以 cossin 2 m U tt d He 2 2 2 cossin2 22 m U tt d SEHe 2 0 d 2 av t SS 22 2 2 0 cossin2 d 222 m U ttt d e 2 2 4 m U d e 2 损耗功率瞬时值为 P 2 22 2 dcosd m VV U PEVt V d 2 22 2 cos m