第四讲Mood中位数及Wilcoxon秩和检验

非参数统计分析 实 验 指 导 书 朱宁编 2012 3 182012 3 18 1 第四讲第四讲 MoodMood 中位数中位数及及 WilcoxonWilcoxon 秩和检验秩和检验 1 1 实验目的实验目的 1 理解 Mood 中位数检验法的基本思想 2 会用 Minitab SAS 软件对 Mood 中位数检验法 Wilcoxon 秩和检验法进行统计分 析 3 能够用 Minitab 软件解决实际问题 2 2 实验要求实验要求 1 理解 Mood 中位数检验法的基本步骤 2 理解 Wilcoxon 秩和检验法的基本步骤 3 会用 Minitab 软件按要求解决问题并给出处理结果和检验结果 4 对处理结果进行分析和小结 3 3 实验原理实验原理 1 Mood 1 Mood 中位数检验法中位数检验法 样本和分别来自相互独立的连续型随机变量总体 X 和 m xxx 21 n yyy 21 Y 分别记总体 X 和 Y 的中位数为和 则 Mood 中位数检验法检验的三种原 x me y me 假设和备择假设的情况是 原假设均是 而备择假设分别是 yx memeH 01 H 和 进一步是将样本和合 yx meme yx meme yx meme m xxx 21 n yyy 21 在一起 记合样本的样本中位数为 则可得到四格表如 nm yyyxxx 2121 me 下 表 1 中位数四表格 me me 合计 X 的样本 11 N 12 N 1 N Y 的样本 21 N 22 N 2 N 合计 1 N 2 NN 注 注 其中和分别是 X 的样本中 小于和大于合样本中位数 me 观测值的个数 11 N 12 N 其中和分别是 Y 的样本中 小于和大于合样本中位数 me 观测值的个数 21 N 22 N 显然 显然 a 当合样本的容量为偶数时有 mn Nmn 12 2 N NN 12 Nm Nn 2 b 当为奇数时有 当合样本中位数 me 属于mn 1Nmn 12 2 N NN X 的样本时 而 me 属于 Y 的样本时 12 1 NmNn 12 1Nm Nn 在四格表方法中通常取为统计量且服从超几何分布 它的概率记为 11 N 11 N 则其检验方法为 1111 NNNNP 1 当为 为时 在比较小的时候拒绝原假设 从 0 H yx meme 1 H yx meme 11 N 而认为 检验的 p 值为 yx meme 11 11 Nk NNNkP 2 当为 为时 在比较大的时候拒绝原假设 从 0 H yx meme 1 H yx meme 11 N 而认为 检验的 p 值为 yx meme 11 11 Nk NNNkP 3 当为 为时 在比较小或比较大的时候拒绝原 0 H yx meme 1 H yx meme 11 N 假设 从而认为 此时的检验的 p 值分为一下两种情况 yx meme 情况 1 在比较小 以至于时 检验的 p 值为 11 N 11 5 0 11 Nk NNNkP 11 1111 Nkak NNNkPNNNkP 其中 akNk NNNkPNNNkPaa 11 inf 1111 情况 2 在比较大 以至于时 检验的 p 值为 11 N 11 5 0 11 Nk NNNkP 11 1111 Nkak NNNkPNNNkP 其中 akNk NNNkPNNNkPaa 11 sup 1111 2 Wilcoxon 2 Wilcoxon 秩和检验法秩和检验法 1 1 基本思想 基本思想 当两组配对资料近似服从正态分布 它们差值的检验可以使用配对 t 检验法 如果配对资料的正态分布的假设不能成立 就可以使用 Frank Wilcoxon 1945 符 号秩检验 它是一种非参数检验方法 对配对资料的差值采用符号秩方法来检验 它的基本要求是差值数据设置为最小的序列等级和两组配对资料是相关的 配成对 用数据的秩代替原数据进行的假设检验的方法为秩和检验 如果相比较组之间秩次 3 之和十分接近 则认为各组之间没有差别 如果相比较组之间的秩和相差十分悬殊 则认为各组间存在差别 2 2 WilcoxonWilcoxon 秩和检验的基本步骤秩和检验的基本步骤 先将原始资料在不分组别的情况下从小到大排序 编秩 然后将所编秩次相加 求和 假设检验 a 建立检验假设 两总体分布相同 b 两样本混合统一编秩次 相同观测值 即相同秩 在不同组时取平均秩次 计 算两组秩和 表 2 符号假设检验问题的解 0 H 1 H水平的拒绝域 值的计算p 0 inf cWPcc cW y y 11 的值算得的由 ynmy WyyxxWP 0 sup dWPdd dW y y 11 ymny P WxxyyW 由算得的的值 0 0 2 inf c 2 sup cWPcc W dWPdd dW y y 或 时 的值由样本数据算得的 4 1N n W 的值算得的由 2 y11y WyyxxWP nm 时 的值由样本数据算得的 4 1N n W 2 y11y 的值算得的由WyyxxWP nm 记两个独立的连续型随机变量总体 X 和 Y 的样本分别为和 m xxx 21 n yyy 21 不妨假设合样本的各个之间互不相等 记合样本容量为 nmN 原假设为 在理论上 假设两个总体 X 和 Y 的分布函数具有相同 yx memeH 0 的形式 但不一定对称分布 即假设 yx meyYmexFX 从而原假设等价于 yx memeH 0 同分布和YXH 0 将两组样本混合 求出每个样本在合样本中的秩 记样本在合样njyj 2 1 本中的秩为 则 令表示总体 Y 的样本的秩之和 j RNRj 2 1 Y W n yyy 21 即 n j jY RW 1 同样定义为 X 样本的秩之和 我们称或为 Wilconxon 秩和 X W m xxx 21 Y W X W 4 检验统计量 4 4 应用实例应用实例 哪一个企业职工的工资高 单位 千元 这里有 22 名职工 其中的 12 名职工 来自企业 1 另外的 10 名职工来自企业 2 他们的工资如下 企业 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 40 60 企业 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 50 请分别用 Mood 中位数检验法 Wilcoxon 秩和检验法解决该问题 用用 MoodMood 中位数的检验法解决的步骤如下 中位数的检验法解决的步骤如下 给出原假设和备择假设 针对该问题 经计算 这企业 1 职工工资的中位数高于企 业 2 职工工资的中位数 因此 这个假设检验问题的原假设和备择假设分别为 0 xy Hmeme vs 1xy Hmeme 用统计软件 Minitab 进行符号检验的步骤 a 输入数据 将企业 1 的 12 名职工的工资输入到 C1 列的第 1 到第 12 个单元格 将企业 2 的 10 名职工的工资输入到 C1 列的第 13 到第 22 个单元格 b 输入数据的类别 在 C2 列分别输入 1 2 是企业 1 的对应输入 1 是企业 2 的对应输入 2 结果如下图 1 图 1 Minitab 中输入的数据 c 选择 Stat 统计 下拉菜单 d 选择 Nonparametric 非参数 选项 e 在 Nonparametric 的下拉菜单中选择 Mood s Median Test Mood 中位数检验 选项 f 在对话框的 Response 响应 方框内键入 C1 Factor 因子 方框内键入 C2 如图 2 所示 5 图 2 Mood 中位数检验对话框 g 单击 OK 确定 输出结果如下图 输出结果如下图 图 3 输出的检验结果图 从输出的结果可以看出 对于给定的 0 05 的检验水平 从得出的 p 值 0 010 我们可以得出结论 拒绝原假设 从而认为企业 1 职工的工 0 xy Hmeme 资比企业 2 职工的工资高 用用 WilcoxonWilcoxon 秩和检验法求解步骤如下秩和检验法求解步骤如下 MinitabMinitab 软件求解软件求解 给出原假设和备择假设 原假设为 这两个企业职工的工资没有差异 1 0 H 备择假设为 企业 1 职工的职工的工资比企业 2 职工的工资高 1 H 用统计软件 Minitab 进行 Wilcoxon 秩和检验的步骤 2 a 输入数据 将企业 1 的 12 名职工的工资输入到 C1 列的第 1 到第 12 个单元格 将企业 2 的 10 名职工的工资输入到 C2 列的第 1 到第 10 个单元格 结果如下图 6 4 图 4 Minitab 中输入的数据 b 选择 Stat 统计 下拉菜单 c 选择 Nonparametric 非参数 选项 d 在 Nonparametric 的下拉菜单中选择 Mann Whitney 子选项 e 在对话框的第一样本 F 方框内键入 C1 第二样本 S 方框内键入 C2 备择方框中 在本例选择大于 如图 5 所示 图 5 Wilcoxon 秩和检验对话框 f 单击 OK 确定 注 注 Wilcoxon 秩和检验方法与 mann whitney U 统计量检验方法没有本质的差别 所以在 1 1 Minitab 软件中选择 mann whitney 子选项就是 wilcoxon 秩和检验 Minitab 算得的秩和是第一个样本 数据输入到 c1 列 的秩和 2 2 7 输出结果如下图 输出结果如下图 图 6 输出的检验结果图 由上图的输出结果可以看出 即为企业 1 职工工资秩的和 在 1 177 c w ETA2 的检验结果显著 即企业 100056p 的职工工资高于企业 2 的职工工资 注 注 由于 Wilcoxon 秩和检验临界值表中的秩和是容量比较小的那一个样本的秩和 故无法w 根据去查临界表 177w 此时做法如下 此时做法如下 在图 5 的 Wilcoxon 秩和检验对话框中 第一个样本对话框输入的应是容量较小的 样本的变量 第二个样本对话框输入的应是容量较大的样本 此时相应的改备择假设 即可 例如 本例改成如图 7 图 7 Minitab 中输入的数据及 Wilcoxon 秩和检验对话框 根据图 7 第一个样本输入 c2 容量为 10 第二个样本输入 c1 容量为 12 由于第一个样本的中位数小于第二个样本的中位数 故备择选择小于 8 输出的结果 输出的结果 图 8 输出的检验结果图 由图 8 可知 可以根据该值去查临界表 0 05 故拒绝 2 76 c w 76 0 005 a pd 原假设 从而企业 2 职工的工资低于企业 1 职工的工资 SASSAS 软件求解软件求解 代码如下 data a do group 1 to 2 input n do i 1 to n input x output end end cards 12 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 40 60 10 3 4 5 6 7 8 9 10 30 50 proc npar1way data a wilcoxon 对于非参数统计分析方法功能的实现 主要是由 nparlway过程完成 class group var x run 程序说明 建立输入数据集 a 数据的输入和成组t检验相同 先输入本组数据的 总数 然后输入组中每个数据 分组变量为group 共有两组取值为 1 和 2 输入变量 为x 存放每组中的数据 过程步调用 npar1way 过程 后面用选择项 wilcoxon 要求进 行 wilcoxon 秩和检验 要注意 如果两组样本是配对样本 应该使用配对t检验或 wilcoxon 符号检验 因为使用 wilcoxon 秩和方法 将损失配对信息 class 语句后给 出分组变量名group var 语句后给出要分析的变量x 主要结果见图 9 所示 9 图 9 用 npar1way 过程进行 Wilcoxon 秩和检验的输出结果 由图 9 的结果说明 组 1 和组 2 的秩和 Sum of Scores 分别为 177 和 76 原假 设 组 1 和组 2 的总体分布相同 为真时 期望秩值 Expected 分别为 177 76 12 12 10 138 和 177 76 10 12 10 115 标准差 Std Dev 为 15 165751 每组平均得分 Mean Score 分别为 177 12 14 750 和 76 10 7 6 Wilcoxon 两样本秩和统计量 较小的秩和 S 76 0 正态近似检验统计 量 Z 2 5386 连续性修正因子为 0 5 加在分子上 正态分布的单尾p值之和为 0 0056 拒绝原假设 同时还给出了近似t检验和卡方检验的结果 近似t检验的 p 0 0096 近似卡方检验统计量为 6 6130 自由度为 1 p 0 0101 结果都是相同的 拒绝原假设 总结 总结 sas 软件求解的结果与 Minitab 软件求解结果一致 值都为 0 0056 说明 sasp 系统与 Minitab 软件只能给出近视 z 检验的分析结果 需要注意的是 当样本量较小 时 需要通过临界表确定值 查临界表的 p0 005p 10 5 5 本次课 本次课 实验内容实验内容