线性变换练习题

1 线性变换习题线性变换习题 一 填空题一 填空题 1 设是的线性变换 3 P 2 4 3 a b cbc aba a b cP 1 1 0 0 是的一组基 则在基下的矩阵为 2 0 1 0 3 0 0 1 3 P 123 又则 3 123 P 2 设 A 为数域 P 上秩为 r 的 n 阶矩阵 定义 n 维列向量空间的线性变换 n P 则 A n P 1 dim 0 dim n P 3 设上三维列向量空间的线性变换在基下的矩阵是 则PV 123 112 201 121 在基下的矩阵是 213 4 如果矩阵的特征值等于 1 则行列式 A AE 5 设 A 是 P3上的线性变换 那么的零度 211 121 112 XAX 6 若 且 则的特征值为 n n AP 2 AE A 7 在中 线性变换 D 则 D 在基下的矩阵为 nP x f x fx 21 1 n x xx 8 在中 线性变换在基 2 2 P 10 20 AA 12 1001 0000 EE 下的矩阵是 3 00 10 E 4 00 01 E 9 设的三个特征值为 则 321 502 114 A 1 2 3 1 2 3 1 2 3 10 数域上维线性空间的全体线性变换所成的线性空间为 维线性空间 PnV L V 它与 同构 2 11 已知 n 阶方阵满足 则的特征值为 A 2 AA A 12 已知 3 阶矩阵的特征值为 1 2 3 则 A A 13 设为数域上的线性空间的线性变换 若是单射 则 PV 1 0 14 设三阶方阵的特征值为 1 2 2 则 A 2 A 15 在中 线性变换 D 则 D 在基下的矩阵 nP x f x fx 21 1 2 3 n xxnx 为 16 已知线性变换在基下的矩阵为 则在基下的 123 111213 212223 313233 aaa aaa aaa 231 矩阵为 17 设上三维列向量空间的线性变换在基下的矩阵是 则PV 123 112 201 121 在基下的矩阵是 213 18 设线性变换在基的矩阵为 线性变换在基下的矩阵为 21 10 11 12 那么在基下的矩阵为 11 01 21 19 已知 n 阶方阵满足 则的特征值为 A 2 AA A 20 已知线性变换在基下的矩阵为 则在基下的 123 111213 212223 313233 aaa aaa aaa 321 矩阵为 21 在中 若向量组 线性相关 则 3 R 1 1 1 0 t 2 1 2 0 2 3 0 0 1 t t 3 22 若线性变换在基下的矩阵为 则在基下的矩阵为 123 21 1 011 121 321 矩阵为 23 若 且 则的特征值为 n n AP 2 AE A 4 二 选择题二 选择题 1 下列哪种变换一定是向量空间的线性变换 n F x A B xxfxf dxxfxf C D xfxf xfxfxf 2 2 当阶矩阵适合条件 时 它必相似于对角阵 nA A 有个不同的特征向量 B 是三角矩阵AnA C 有个不同的特征值 D 是可逆矩阵AnA 3 设是向量空间上的线性变换 且 V 则的所有特征值为 2 2 A 2 B 0 2 C 0 D 0 2 1 4 设是 3 维向量空间上的变换 下列中是线性变换的是 A B 321 xxx 333 123 xxx 321 xxx 33221 2xxxxx C D 321 xxx 0 sin cos 21 xx 123 x x x 2 1 0 0 x 5 设是向量空间的线性相关的向量组 是的一个线性变换 则向量 12 r V V 组在下的像 12 r 12 r A 线性无关 B 线性相关 C 线性相关性不确定 D 全是零向量 6 n 阶方阵 A 有 n 个不同的特征值是 A 可以对角化的 A 充要条件 B 充分而非必要条件 C 必要而非充分条件 D 既非充分也非必要条件 7 设是向量空间的线性变换且 V 2 则的特征值 A 只有 1 B 只有C 有 1 和D 有 0 和 11 1 8 如果方阵与对角阵相似 则 A 1 1 1 D 10 A A B C D EAE 10E 9 设 为阶矩阵 且与相似 为ABnABE 阶单位矩阵 则 n A B 与有相同的特征向量和特征值EAEB AB C 与相似于同一个对角矩阵 D ABBA 10 设 4 级矩阵与相似 的特征值是 1 2 3 4 则的行列式是 ABBA A 24 B 10 C 24 D 不能确定 5 11 设是维线性空间的线性变换 那么下列说法错误的是 nV A 是单射 B 是满射 0 Ker V Im C 是双射 D 是双射是单位映射 0 Ker 12 设为 3 阶矩阵 且均不可逆 则错误的是 AEAEAEA2 A 不相似于对角阵 B 可逆 C D AA0 EA0 EA 13 设为 3 阶矩阵 且其特征多项式为 则错误的是 A 2 1 1 f A 相似于对角阵 B 不可逆 C D AA0 EA0 EA 14 维线性空间的线性变换可以对角化的充要条件是 nV A 有个互不相同的特征向量 B 有个互不相同的特征根 n n C 有个线性无关的特征向量 D 不存在个互不相同的特征根 n n 15 设是 3 维向量空间上的变换 下列中是线性变换的是 A B 321 xxx 333 123 xxx 321 xxx 12233 2 5 6xxxxx C D 321 xxx 12 cos 0 x x 123 x x x 22 13 0 xx 16 设是向量空间上的线性变换 且 V 2 E 则的所有特征值为 A 2 B 1 1 C 0 D 0 2 1 17 维线性空间的线性变换可以对角化的充要条件是 nV A 有个互不相同的特征向量 B 有个互不相同的特征根 n n C 有个线性无关的特征向量 D 是可逆线性变换 n 18 2 设矩阵 A 的每行元素之和均为 1 则 一定是的特征值 EAA23 2 A 0 B 1 C 2 D 3 19 设是 3 维向量空间上的变换 下列中是线性变换的是 A B 321 xxx 23 123 xxx 321 xxx 12332 2 x xx xx C D 321 xxx 123 cos sin sinxxx 123 x x x 2 12 0 xx 20 设 则下列各式成立的是 L V A B dimImdimKern ImKerV C D ImKerV Im 0 Ker 第 一 页 6 三 计算题三 计算题 1 设表示实数域上的次数小于 3 的多项式 再添上零多项式构成的线性空间 而 3 R x 是的一组基 线性变换满足 1 1f xx 2 2 1fxx 2 3 2fxxx 3 R x 2 1 2f xx 2 fxx 2 3 1fxxx 求 在已知基下的矩阵 2 设 求 2 123f xxx f x 2 设是二维列向量空间的线性变换 设 定义 2 P 12 2 x xP x 11 11 xx 1 求值域的基与维数 2 求核的基与维数 2 P 1 0 3 设线性变换在基下的矩阵是 123 111 222 111 A 1 求矩阵以及线性变换的特征值与特征向量 A 2 判断是否可以对角化 即线性变换是否在某组基下的矩阵为对角形 若不能对角化 说明理由 若可以对角化 求可逆阵 使为对角形 T 1 TAT 4 令表示实数域上的三元列向量空间 令 若 作变换 3 RR 111 111 222 A 3 R A 1 证明为上的线性变换 2 求及其维数 3 求及其维 3 Rker Im 数 5 设矩阵 000 000 121 A 1 求的特征值和特征向量 A 2 求可逆矩阵 使为对角矩阵 PAPP 1 7 6 令表示实数域上的三元列向量空间 3 RR 110 011 121 A 1 1 0 0 2 0 1 0 3 1 0 0 1 若 证明为的一组基 112223331 123 3 R 2 求到的过渡矩阵 123 123 3 若 作变换 证明为上的线性变换 3 R A 3 R 4 求及其维数 ker 5 求及其维数 Im 7 设是的线性变换 3 R 12312323123 2 2 x x xxxx xx xxx 1 求及其维数 2 求及其维数 ker Im 8 设线性变换在基下的矩阵是 123 111 222 111 A 1 求矩阵以及线性变换的特征值与特征向量 A 2 判断是否可以对角化 即线性变换是否 在某组基下的矩阵为对角形 若不能对角化 说明理由 若可以对角化 求 可逆阵 使为对角形矩阵 T 1 TAT 9 令表示实数域上的三元列向量空间 令 若 作变换 3 RR 111 012 123 A 3 R A 1 证明为上的线性变换 2 求及其维数 3 求及其维 3 Rker Im 数 10 设为的基 且线性变换在此基下的矩阵为 123 V 100 350 361 A 8 1 求的特征值与特征向量 2 求可逆矩阵 使是对角矩阵 TATT 1 11 设三维线性空间的线性变换在基下的矩阵为 V 321 101 110 211 A 1 求的值域及其维数 2 求的核及其维数 12 设表示实数域上的次数小于 3 的多项式 再添上零多项式构成的线性空间 而 3 R x 是的一组基 线性变换满足 1 1f xx 2 2 1fxx 2 3 2fxxx 3 R x 2 1 2f xx 2 fxx 2 3 1fxxx 1 求在已知基下的矩阵 2 设 求 2 123f xxx f x 13 给定的两组基 3 P 123 1 0 1 2 1 0 1 1 1 1 1 2 1 定义线性变换 23 2 2 1 2 1 1 1 2 3 ii i 1 写出由基到基的过渡矩阵 123 123 2 写出在基下的矩阵 123 3 写出在基下的矩阵 123 14 设线性变换在基下的矩阵是 求可逆矩阵 使得 123 321 222 361 A T 为对角形矩阵 1 TAT 15 设 101 020 101 A 1 求的全部特征值 2 求的属于每个特征值的特征向量 AA 3 求一个可逆矩阵 使为对角形 X 1 XAX 16 设 且在的基下的矩阵 问 L V V 123 A 122 224 242 1 是否可以对角化 2 若能对角化 求出的一个基 使在此基下的矩阵为对角矩阵 V 17 设数域 P 上三维线性空间 V 的线性变换在基下的矩阵 321 A 163 053 064 9 1 求在基 下的矩 3212211 2 2 3213 阵 2 设 求在基下的坐标 321 2 321 10 四 证明题四 证明题 1 设是数域上的维向量空间的线性变换 又是的一个基 证 FnV n 21 V 明 12 n VL 2 设 都是向量空间的线性变换 是 的不变子空间 证明也是的 VS S 不变子空间 3 设是数域上线性空间的线性变换且 证明 PV 2 1 的特征值为 1 或 0 2 3 1 0 V 1 0 VV 4 设是向量空间的两个子空间 是的一个线性变换 证明 若都是 12 W WV V 12 W W 的不变子空间 则也是的不变子空间 12 WW 5 设是向量空间的一个线性变换 都