应用统计学第6章参数估计置信区间ppt课件.ppt

第6章参数估计 置信区间 单个总体的置信区间 区间估计概念 前面 我们讨论了参数点估计 它是用样本算得的一个值去估计未知参数 但是 点估计值仅仅是未知参数的一个近似值 它没有反映出这个近似值的误差范围 使用起来把握不大 区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷 我们希望确定一个区间 使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值 未知参数的真值 可靠程度 是用概率来度量的 称为置信概率 置信度或置信水平 一 置信区间定义 则称区间是的置信水平为的置信区间 N 0 1 选的点估计为 二 置信区间的求法 解 寻找一个待估参数和估计量的函数 要求其分布为已知 有了分布 就可以求出Z取值于任意区间的概率 对给定的置信水平 查正态分布表得 对于给定的置信水平 根据Z的分布 确定一个区间 使得Z取值于该区间的概率为置信水平 使 也可简记为 于是所求的置信区间为 从中解得 求置信区间的一般步骤 1 2 给定置信水平 1 寻找参数的一个良好的点估计T X1 X2 Xn 2 寻找一个待估参数和估计量T的函数J T 且其分布为已知 4 对 a J T b 作等价变形 得到如下形式 则就是的100 的置信区间 求置信区间的一般步骤 3 4 而这与总体分布有关 所以 总体分布的形式是否已知 是怎样的类型 至关重要 区间估计的关键 1 当总体为正态分布时 教材上给出了几个重要的抽样分布定理 这里不加证明地叙述 几个重要的抽样分布定理 定理1样本均值的分布 已知 P 111 定理2样本均值的一个分布 未知 P 112 定理3 样本方差的分布 P 114 定理7 设 X1 Xn 是总体 的一个样本 当 较大时 近似有 2 非正态总体情况 2 非正态总体情况 总体X B 1 p p称为总体比例 例2已知某地区新生婴儿的体重X 随机抽查n个婴儿 得n个体重数据 X1 X2 Xn 解 这是单总体均值和方差的估计 已知 1 先求均值的区间估计 因方差未知 取统计量 对给定的置信水平 使 即 确定分位数 从中解得 取统计量 从中解得 2 求方差的置信水平为的区间估计 使 于是所求置信区间为 例2 求例1中元件寿命方差 2的95 置信区间 解 由例1 S2 196 52 n 10 2 0 025 1 2 0 975 故所求 2的置信区间为 135 22 358 82 n 1 S2 n 1 S2 9 196 52 19 023 9 196 52 2 7 135 22 358 82 需要指出的是 给定样本 给定置信水平 置信区间也不是唯一的 对同一个参数 我们可以构造许多置信区间 下面以单个总体均值 方差已知 的置信区间估计为例来说明 N 0 1 我们总是希望置信区间尽可能短 类似地 我们可得到若干个不同的置信区间 任意两个数a和b 只要包含f u 下95 的面积 就确定一个95 的置信区间 在概率密度为单峰且对称的情形 当a b时求得的置信区间的长度为最短 a b 即使在概率密度不对称的情形 如分布 F分布 习惯上仍取对称的百分位点来计算未知参数的置信区间 也就是说 要想得到的区间估计可靠度高 区间长度就长 估计的精度就差 实用中应在保证足够可靠的前提下 尽量使得区间的长度短一些 一对 矛盾 我们可以得到未知参数的的任何置信水平的置信区间 并且置信水平越高 相应的置信区间平均长度越长 N 0 1 考虑单个正态总体 的置信区间 当 已知时 置信度与置信区间长度的关系 由P 2 33 Z 2 33 0 99 这个区间比前面一个要长一些 也就是说 要想得到的区间估计可靠度高 区间长度就长 估计的精度就差 这是一对矛盾 当样本容量n固定时 1 实用中应在保证足够可靠的前提下 尽量使得区间的长度短一些 2 增大样本容量n 可在保证足够可靠的前提下 提高估计的精度 解决办法 估计均值 时的样本容量n确定 1 指定估计的精度 2 指定估计的可靠度1 3 确定 1 由历史资料确定 2 预抽小样本n 计算s来代替 3 由其它方法估计 则样本容量为 总体均值区间估计时样本容量的确定 在给定置信度和允许误差d的条件下 由 可得 其中总体标准差或样本标准差也是未知的 通常可以先通过小规模抽样作出估计 由于使用的是近似公式 可知实际采用的最低样本容量应比计算结果稍大 三 单侧置信区间 上述置信区间中置信限都是双侧的 但对于有些实际问题 人们关心的只是参数在一个方向的界限 例如对于设备 元件的使用寿命来说 平均寿命过长没什么问题 过短就有问题了 这时 可将置信上限取为 而只着眼于置信下限 这样求得的置信区间叫单侧置信区间 单侧置信区间和置信限的定义 又若统计量满足 例5 1 求例1中元件平均寿命的95 置信下限 2 求元件寿命方差的95 置信上限 解 1 从而 的单侧1 置信下限为 本例中 t0 05 9 1 8331 故所求置信下限为 1423 1 1 8331 196 5 该在95 的置信度下 该元件的平均寿命大于1309 2小时 1390 2 可得 由 6 4单侧置信限的区间估计 同理可得 2的置信度为1 的单侧置信上限为 本例中 故所求 2的95 置信上限为9 196 52 3 325 323 32 小时2 由以上分析可知 求单侧置信限与求双侧置信限的差别仅在于用相应分布的右侧 分位点代替双侧区间估计公式中的右侧 2分位点 解 2 2的置信上限 3总体比例p的置信区间 设总体X B 1 p 即X只取两个值 X 1 具有某属性 概率为p X 0 不具有某属性 概率为1 p 其中 p称为总体比例 即具有某属性的人在总体中所占的比例 从总体X抽取一个样本 X1 X2 Xn 例如 一个n 5的样本为 0 1 1 0 0 总体比例p的点估计为 总体比例p的置信区间 大样本情况 n 50 考虑0 1分布未知参数p的置信区间估计 精确估计公式 0 p 1 p也称为总体比例 实际应用中常用如下近似的估计公式 例4 某厂为了解产品的质量情况 随机抽取了300件产品进行检验 其中有5件次品 求该厂产品次品率的置信度为95 的置信区间 解 产品次品率为比例 1 0 95 0 05 2 0 025 n 300 查表得Z0 025 1 96 样本成数 该厂产品次品率的置信度为95 的置信区间为 估计总体比例p时的样本容量n确定 1 指定估计的精度 2 指定估计的可靠度1 3 案例思考题 国外民意调查机构在进行民意调查时 通常要求在95 的置信度下将调查的允许误差 即置信区间的d值 控制在3 以内 问为满足该调查精度要求 至少需要多大的样本 如果要求置信度达到99 调查误差仍为3 此时至少需要多大的样本 案例思考题解答 1 故需要的样本容量至少为 例 某企业要重新制定产品抽样检验的规范 已知过去检验的次品率在3 6 左右 现要求允许误差不超过2 置信度为95 问每次至少应抽查多少产品 解 由题意 要推断的是总体成数 p 0 036 1 p 0 964 d 0 02 0 05 z 2 z0 025 1 96 故每次至少应抽查334件产品 由此可知 在总体比例的区间估计问题中 要达到一定的精度要求 样本容量至少要在几百以上 区间估计小结 P 2 2已知 2未知 双侧 双侧 双侧 双侧 单侧上限 单侧上限 单侧下限 单侧下限 两个正态总体时 未知参数的置信区间的求法 6 5两个正态总体未知参数的置信区间