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三角形的 四心 及简单性质 By郯城美澳数学QQ群群号 454463883 定理 三角形三条边的垂直平分线必交于一点 这个点是三角形的外接圆的圆心 简称外心如图 O为 ABC的外心 性质 1 外心到三个顶点的距离相等 2 锐角 的外心在三角形的内部直角 的外心在斜边的中点处钝角 的外心在三角形的外部 OA OB OC 二 内心 一 外心 二 内心 定理 三角形的内角的角平分线必交于一点 这个点是三角形的内切圆的圆心 简称内心如图 I为 ABC的内心 性质 1 内心到三条边的距离相等 2 内心一定在三角形的内部 3 在Rt 中 内心到边的距离等于两直角边的和与斜边的差的一半 ID IE IF 二 内心 定理 三角形的三条高线必交于一点 这个点叫做三角形的垂心如图 H为 ABC的垂心 性质 1 垂心与顶点的连线垂直于对边 2 垂心分每条高的两部分乘积相等 AH BC BH AC CH AB 二 内心 三 垂心 定理 三角形的三边中线必交于一点 这个点叫做三角形的重心如图 G为 ABC的重心 性质 1 重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为2 1 2 重心的坐标是三个顶点的坐标的算术平均数 3 以重心为起点 以三顶点为终点的三个向量之和等于零向量 二 内心 四 重心 注意 1 三角形的中心 只有正三角形才有中心 这时重心 内心 外心 垂心 四心合一 2 旁心三角形的旁切圆 与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆 的圆心 叫做三角形的旁心 三角形有三个旁心 都在三角形外 旁心到三边的距离相等 3 本文所述性质皆为常用性质 并不全面 注意 再见 欢迎批评指正 谢谢 此课
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