数学经典易错题会诊与高考试题预测15

1 经典易错题会诊与经典易错题会诊与 2012 届高考试题届高考试题 预测 十五 预测 十五 考点考点 1515 导数及其应用导数及其应用 导数的概念与运算 导数几何意义的运用 导数的应用 利用导数的几何意义 利用导数探讨函数的单调性 利用导数求函数的极值勤最值 经典易错题会诊经典易错题会诊 命题角度命题角度 1 导数的概念与运算导数的概念与运算 1 典型例题 设 f0 x sinx f1 x f 0 x f2 x f 1 x fn 1 x f n x n N 则 f2005 x A sinx B sinx C cosx D cosx 考场错解 选 A 专家把脉 由 f 1 x f 0 x sinx cosx f2 x cosx sinx f3 x sinx cosx f4 x cosx sinx f2005 x f 2004 x f0 x0 sinx 前面解答思路是正确的 但在归纳时发生了错误 因 f4 x f0 x f8 x0 f2004 x 所以 f2005 x f1 x cosx 对症下药 选 C 2 典型例题 已知函数 f x 在 x 1 处的导数为 3 f x 的解析式可能为 A f x x 1 3 32 x 1 B f x 2x 1 C f 2 x 1 2 D f x x 3 考场错解 选 B f x 2x 1 f x 2x 1 2x 1 x 1 3 专家把脉 上面解答错误原因是导数公式不熟悉 认为 2x 1 2x 1 正确的是 2x 1 2 所以 x 1 时的导数是 2 不是 3 对症下药 选 A f x x 1 3 3 x 1 f x 3 x 1 2 3 当 x 1 时 f 1 3 3 典型例题 已知 f 3 2f 3 2 则 3 32 lim 3 x xfx x 的值为 A 4 B 0 C 8 D 不存在 考场错解 选 D x 3 x 3 0 3 32 lim 3 x xfx x 不存在 专家把脉 限不存在是错误的 事实上 求 0 0 型的极限要通过将式子变形的可求的 对诊下药 选 C 3 32 lim 3 x xfx x 3 26 3 3 lim 3 x xfxf x 2 32 3 3 32 lim 3 x fxf x 8 2 32 3 32 3 3 lim 3 f x fxf x 4 05 全国卷 已知函数 f x e x cosx sinx 将满足 f x 0 的所有正数 x 从小到大 排成数列 2 记 Sn是数列 xnf xn 的前项和 求 n lim n SSS n 21 考场错解 f x e x cosx sinx e x cosx sinx e x sinx cosx e x cosx sinx 2e xcosx 令 f x 0 x n 2 n 1 2 3 从而 xn n 2 f xn e n 2 1 n 1 n n xf xf e 2 数列 f xn 是公比为 q e 的等比数列 专家把脉 上面解答求导过程中出现了错误 即 e x e x 是错误的 由复合函数的求 导法则知 e x e x x e x才是正确的 对诊下药 1 证明 f x e x cos sinx e x cosx sinx e x cosx sinx e x sinx cos 2e xsinx 令 f x 0 得 2e xsinx 0 解出 x n n 为整数 从而 xn n n 1 2 3 f xn 1 ne n e xf xf n n 1 所以数列 f xn 是公比 q e 的等比数列 且首项 f x1 e 2 Sn x1f x1 x2f x2 xnf xn nq 1 2q nqn 1 aSn q q 2q2 nqn q q qn 1 1 nqn 从而 Sn q q 1 q qn 1 1 nqn 2 2 3 2 2 21 1 1 1 2 1 q q q qn q q q n SSS n nn q e 0 时 f x ln 2x f x c f x xx 1 2 2 1 5 已知函数 f x ln x 2 0 2 2 aa a x 为常数且 1 求导数 f x 答案 f x 2 2 1 x a x x 2 解不等式 f x 0 答案 令 f x 2 0 2 1 x a x x 即 4402 02 0 2 2 aaxx axx x 的 i 当 a 1 时 x2 2x a 恒成立 x 2 ii 当 a 1 时 02 0 2 axx的解集为 x x 1111 axa或 当 18 时 11 a 2 x 11 a 综合得 当 a 8 时 f x 0 的解集为 2 当 a 8 时 f x 0 的解集为 11 a 命题角度命题角度 2 导数几何意义的运用导数几何意义的运用 4 1 典型例题 曲线 y x3在点 1 1 的切线与 x 轴 直线 x 2 所围成的三角形面积为 考场错解 填 2 由曲线 y x3在点 1 1 的切线斜率为 1 切线方程为 y 1 x 1 y x 所以三条直线 y x x 0 x 2 所围成的三角形面积为 S 2 1 2 2 2 专家把脉 根据导数的几何意义 曲线在某点处的切线斜率等于函数在这点处的导数 上 面的解答显然是不知道这点 无故得出切线的斜率为 1 显然是错误的 对症下药 填 3 8 f x 3x2 当 x 1 时 f 1 3 由导数的几何意义知 曲线在点 1 1 处的斜率为 3 即切线方程为 y 1 3 x 1 得 y 3x 2 联立 2 23 x xy 得交点 2 4 又 y 3x 2 与 x 轴交于 3 2 0 三条直线所围成的面积为 S 2 1 4 2 3 2 3 8 2 典型例题 设 t 0 点 P t 0 是函数 f x x3 ax 与 g x bx3 c 的图像的一个公共点 两 函数的图像在 P 点处有相同的切线 1 用 t 表示 a b c 2 若函数 y f x g x 在 1 3 上单调递减 求 t 的取值范围 考场错解 1 函数 f x x3 ax 与 g x bx2 c 的图像的一个公共点 P t 0 f t g t t3 at bt2 c 又两函数的图像在点 P 处有相同的切线 f t g t 3t3 a 2bt 由 得 b t 代入 得 a t2 c t3 专家把脉 上面解答中得 b t 理由不充足 事实上只由 两式是不可用 t 表示 a b c 其实错解在使用两函数有公共点 P 只是利用 f t g t 是不准确的 准确的结论 应是 f t 0 即 t3 at 0 因为 t 0 所以 a t2 g t 0 即 bt2 c 0 所以 c ab 又因为 f x g x 在 t 0 处有相同的切线 所以 f t g t 即 3t2 a 2bt a t2 b t 因此 c ab t2 t t3 故 a t2 b t c t3 2 解法 1 y f x g x x3 t2x tx2 t3 y 3x2 2tx t2 3x t x t 当 y 3x t x t 0 时 函数 y f d g x 单调递减 由 y 0 若 t 0 则 t x0 则 3 t x t 则题意 函数 y f x g x 在 1 3 上单调递减 则 1 3 3 t t 或 1 3 t 3 t 所以 t 3 或 3 t 3 即 t 9 或 t 3 又当 9 t0 故 f x 在 1 和 1 上都是增函数 若 x 1 1 则 f x 0 f x 在 1 与 1 上是增函数 若 x 1 1 时 f x 0 故 f9x 在 1 1 上是减函数 f 1 2 是极大值 f 1 2 是极小值 2 解 曲线方程为 y f x x3 3x 点 A 0 16 不在曲线上 设切点 M x0 y0 则点 M 在曲线上 y0 x30 3x0 因 f x0 3x20 3 故切线的方程为 y y0 3x20 3 x x0 点 A 0 16 在曲线上 有 16 x20 0 3 x20 1 0 x0 化简得 x30 8 得 x0 2 专家会诊专家会诊 设函数 y f x 在点 x0 y0 处的导数为 f x0 则过此点的切线的斜率为 f x0 在此点处 的切线方程为 y y0 f x0 x x0 利用导数的这个几何意义可将解析几何的问题转化为代数 问题求解 考场思维训练考场思维训练 1 曲线 y 2x x3在点 1 1 处的切线方程为 答案 x y 2 0 解析 y 2 3x2 y x 1 2 3 1 切线方程为 y 1 x 1 即 x y 2 0 2 曲线 y x3在点 a a3 a 0 处的切线与 x 轴 直线 x a 所转成的三角形的面积为 6 1 则 a 6 答案 1 解析 曲线在 a a3 处的切线斜率为 3a2 切线方程为 y a3 3a2 x a 且它与 x 轴 x a 的交点为 0 3 2 a a a3 S 6 1 32 1 3 a a a4 1 解得 a 1 3 已知函数 f x lnx g x 2 1 ax2 bx a 0 1 若 b 2 且 h x f x g x 存在单调递减区间 求 a 的取值范围 答案 b 2 时 h x lnx 2 1 ax2 2x 则 h x x 1 ax 2 12 2 x xax 函数 h x 存在单调逆减区间 h x 0 则 ax2 2x 1 0 有 x 0 的理 当 a 0 时 ax2 2x 1 0 总有 0 的解 当 a0 总有 0 的解 则 4 4a 0 且方程 ax2 2x 1 0 至少有一正根 此时 1 a 0 综上所述 a 的取值范围是 1 0 0 2 设函数 f x 的图像 C1与函数 g x 图像 C2交于点 P Q 过线段 PQ 的中点作 x 轴的垂 线分别交 C1 C2于点 M N 证明 C1在点 M 处的切线与 C2在点 N 处的切线不平行 答案 证法 1 设点 P Q 的坐标分别是 x1 y1 x2 y2 0 x11 时 r t 0 所以 r t 在 1 上单调递增 故 r t r 1 0 则 lnt t t 1 1 2 这与 矛盾 假设不成立 故 C1在点 M 处的切线与 C2在点 N 处的切线不平行 证法 1 得 x2 x1 lnx2 lnx1 2 x2 x1 因为 x1 0 所以 1 1 2 x x ln 1 1 2 x x 令 t 1 2 x x 得 t 1 lnt 2 t 1 t 1 令 r t t 1 lnt 2 t 1 t 1 则 r t lnt t 1 1 因为 lnt t 1 22 11 t t t 所以 t 1 时 lnt t 1 0 故 lnt t 1 在 1 上单调递增 从而 lnt t 1 1 0 即 r1 t 0 于是 r t 在 1 上单调递增 故 r t r 1 0 即 t 1 lnt 2 t 1 与 矛盾 假设不成立 故 C1 在点 M 处的切与 C2 在点 N 处的线不平行 4 已知函数 f x 1 x 1 x 0 1 证明 0 a1 答案 由 f a f b 得 1 a 1 1 b 1 若 1 a 1 与 1 b 1 同号 可得 1 a 1 1 b 1 ba 这与 0 a b 矛盾 故 1 a 1 与 1 b 1 必异号 即 a 1 1 1 b 1 ba 11 2 1 1 22 abababbaab即故 2 点 P x0 y0 0 x0 1 求曲线 y f x 在点 P 处的线与 x 轴 y 轴的正方向所围成的三角 形面积表达式 用 x0表示 答案 0 x 1时 y f x 1 x 1 x 1 1 f x0 1 0 1 0 2 0 x x 曲线y f x 在点P x0 y0 处的切线方程为 y y0 2 0 1 x x x0 即y 2 0 0 2 0 x x x x 切线与x轴 y轴 正向的交点为 x0 2 a0 0 和 0 2 1 0 0 x x 故所求三角形面积表达式为 A x0 2 2 1 2 1 2 2 1 2 00 0 00 xx x xx 命题角度命题角度 3 3 8 导数的应用导数的应用 1 典型例题 已知函数 f x x3 3x2 9x a 1 求 f x 的单调递减区间 2 若 f x 在区间 2 2 上最大值为 20 求它在该区间上的最小值 考场错解 1 f x 3x2 6x 9 令 f x 0 解得 x3 函数 f x 的音调递减 区间为 1 3 2 令 f x 0 得 x 1 或 x 3 当 2 x 1 时 f x 0 当 1 x0 当 x 3 时 f x 0 x 1 是 f x 的极不值点 x 3 是极大值点 f 3 27 27 27 a 20 a 7 f x 的最小值为 f 1 1 3 9 a 14 专家把脉 在闭区间上求函数的最大值和最小值 应把极值点的函数值与两端点的函数值 进行比较大小才能产生最大 小 值点 而上面解答题直接用极大 小 值替代最大 小 值 这显然是错误的 对症下药 1 f x 3x2 6x 9 令 f x 0 解得 x3 2 因为 f 2 8 12 18 a 2 a f 2 8 12 18 a 22 a 所以 f x 在 1 2 因为在 1 3 上 f x 0 所以 f x 在 1 2 上单调递增 又由于 f x 在 2 1 上单调递减 因此 f 2 和 f 1 分别是 f x 在区间 2 2 上的最大值和最小值 于是 22 a 20 解得 a 2 故 f x x3 3x2 9x 2 因此 f 1 1 3 9 2 7 即函数 f x 在区间 2 2 上的最小值为 7 2 典型例题 已知函数 f x ax3 3x2 x 1 在 R 上是减函数 求 a 的取值范围 考场错解 f x 3ax2 6x 1 因为 f x 在 R 上是减函数 所以 f x 3ax2 6x 1 0 对任 何 x R 恒成立 01236 03 a a 解得 a0 时 f x 是减函数 但反之并不尽然 如 f x x3是减函数 f x 3x2并 不恒小于 0 x 0 时 f x 0 因此本题应该有 f x 在 R 上恒小于或等于 0 对症下药 函数 f x 的导数 f x 3x2 6x 1 当 f x 3ax2 6x 1 0 对任何 x R 恒成立时 f x 在 R 上是减函数 对任何 x R 3ax2 6x 1 0 恒成立 a 0 且 36 12a 0 a 3 所以当 a 3 时 由 f x 3 时 f x 3ax2 6x 1 0 在 R 上至少可解得一个区间 所以当 a 3 时 f x 是在 R 上 的减函数 综上 所求 a 的取值范围是 3 3 典型例题 已知 a R 讨论函数 f x ex x2 ax a 1 的极值点的个数 考场错解 f x ex x2 ax a 1 ex 2x a ex x2 a 2 x 2a 1 9 令 f x 0 得 x2 a 2 x 2a 1 0 a 2 2 4 2a 1 a2 4a 当 a2 4a 0 即 a 4 或 a 0 时 方程 有两个不相等的实数根 x1 x2 因此函数 f x 有两个 极值点 当 a2 4a 即 a 或 a 0 时 方程 有两个相等实数根 x1 x2 因此函数 f x 有一个极值点 当 a2 4a 0 即 0 a0 即 a4 时 方程 x2 a 2 x 2a 1 0 有两个不同的实根 x1 x2 不妨设 x1 x2 于是 f x ex x x1 x x2 从而有下表 X x1 x1 x1 x2 x2 x2 F x 0 0 F x f x1 有极大值f x2 有极小值 即此时 f x 有两个极值点 2 当 0 即 a 0 或 a 4 时 方程 x2 a 2 x 2a 1 0 有两个相同的实根 x1 x2 于是 f x ex x1 x1 2 故当 x0 当 x x1时 f x 0 因此 f x 无极值 3 当 0 即 0 a0 f x ex x2 a 2 x 2a 1 0 故 f x 为增函数 此时 f x 无极值点 因此 当 a 4 或 a1 时 方程 f x 0 在 e m m e2m m 内有两个实根 考场错解 令 f x 0 x ln x m m ex x m 取小于或等于 ex x 的整数 专家把脉 上面解答对题意理解错误 原题 当 m 为何值时 f x 0 恒成立 并不是 对 x 的一定范围成立 因此 m ex x 这个结果显然是错误的 对症下药 1 函数 f x x ln x m x m 连续 且 f x 1 mx 1 令 f x 0 得 x 1 m 当 m x 1 m 时 f x 1 m 时 f x 0 f x 为增函数 根据函数极值判别方法 f 1 m 1 m 为极小值 而且对 x m 都有 f x f 1 m 1 m 故当 1 m f x min 0 即 m 1 时 f x 0 即 m 1 且 m Z 时 f x 0 10 2 证明 由 1 可知 当整数 m 1 时 f 1 m 1 m0 又 f x 为连续函数 且当 m 1 时 f e m m 与 f 1 m 异号 由所给定理知 存在唯一的 x1 e m m 1 m 使 f x1 0 而当 m 1 时 f e2m m e2m 3m 1 1 2m 3m 1 2m 2 12 2 mm 3m 0 m 1 2m 1 1 类似地 当整数 m 1 时 f x x ln x m 在 1 m e2m m 上为连续增函数 且 f 1 m 与 f e2m m 异号 由所给定理知 存在唯一的 x 1 m e2m m 使 f x2 0 故当整数 m 1 时 方程 f x 0 在 e m m e2m m 内有两个实根 5 典型例题 用长为 90cm 宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器 先在四角分 别截去一个小正形 然后把四边翻转 90 角 再焊接而成 如图 问该容器高为多少时 容器的容积最大 最大容积是多少 考场错解 设容器的高为 x 容器的容积为 V 则 V 90 2x 48 2x x 4x3 276x2 4320 x V 12x2 552x 4320 0 得 x1 10 x2 36 又 x 10 时 V 0 10 x0 x 36 时 V 0 当 x 36 时 V 有极大值 V 36 0 故 V 没有最大值 专家把脉 上面解答有两处错误 一是没有注明原函数定义域 二是验算 f x 的符号时 计算错误 x0 10 x 36 V 36 V 0 对症下药 设容器的高为 x 容器的容积为 V 则 V 90 2x 48 2x x 4x3 276x2 4320 x 0 x 24 V 12x2 552x 4320 由 V 12x2 552x 4320 0 得 x1 10 x2 36 x0 10 x 36 时 V 36 时 V 0 所以 当 x 10 时 V 有最大值 V 10 1960cm3 又 V 0 0 V 24 0 所以当 x 10 时 V 有最大值 V 10 1960 所以该窗口的高为 10cm 容器的容积最大 最大容积是 1960cm3 专家会诊 1 证函数 f x 在 a b 上单调 可以用函数的单调性定义 也可用导数来证明 前者较 繁 后者较易 要注意若 f x 在 a b 内个别点上满足 f x 0 或不存在但连续 其余 点满足 f x 0 或 f x 0 则 f x 0 有两个不相等的实 x1和 x2 x10 时 函数 f x 在 上有极值 由 A 4m2 12m 16 0 得 m4 因此 当 m4 时 Q 是正确的 综上 使 P 正确且 Q 正确时 实数 m 的取值范围为 1 4 5 6 2 已知函数 f x x x 2 724 0 1 1 求 f x 的单调减区间和值域 X x0 X0 x0 F x 0 12 答案 对函数 F x 求导 得 f x 2 72 12 2 7164 2 2 x xx x xx 令 f x 0 解得 x 2 1 或 x 2 7 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 X0 0 2 1 2 1 2 1 1 1 F X 0 2 7 4 3 所以 当 x 0 2 1 时 f x 是减函数 当 x 2 1 1 时 f x 是增函数 当 x 0 1 时 f x 的值域为 4 3 2 设 a 1 函数 g x x3 3a2x 2a x 0 1 若对于任意 x1 0 1 总存在 x0 0 1 使 得 g x0 f x1 成立 求 a 的取值范围 答案 对函数 g x 求导 得 g x 3 x2 a2 因为 a 1 时 当 x 0 1 时 g x 3 1 a2 0 因此当 x 0 1 时 g x 为减函数 从而 求 x 0 1 时有 g x 1 2a 3a2 2a 任给 x1 0 1 f x1 4 3 存在 x0 0 1 使得 g x0 f x0 则 1 2a 3a2 2a 4 3 即 1 2 3 1 3 2 42321 a a aa 解得 3 已知函数 f x ln 1 x x g x xlnx 1 求函数 f x 的最大值 答案 函数的定义域为 1 f x x 1 1 1 令 f x 0 解得 x 0 当 1 x 0 当 x 0 时 f x 0 f 0 0 故当且仅当 a 0 时 f x 取得最大值 最大值为 0 2 设 0 a b 证明 0 g a g b 2g 2 ba b a 答案 g x xlnx g x lnx 1 设 F x g a g x 2g 2 xa 则 F x g x 2 g 2 xa lnx ln 当 0 x O F x a 时 F x 0 因此 F x 在 a 上为增函数 从而 x a 时 F x 有极小值 F a 因为 F a 0 b a 所以 F b 0 即 00 G x a 所以 G b 0 即 g a g b 2g 2 xa b a ln2 4 设函数 f x 2x3 3 a 1 x2 6ax 8 其中 a R 1 若 f x 在 x 3 处取得极值 求实数 a 的值 答案 f x 6x2 6 a 1 x 60 6 x aO x 1 因 f x 在 x 3 取得极值 所以 f 3 6 3 a 3 1 0 解 得 a 3 经检验当 a 3 时 x 3 为 f x 的极值点 2 若 f x 在 0 上为增函数 求 a 的取值范围 答案 令 f x 6 x a x 1 0 得 x1 a x2 1 当 a0 所以 f x 在 a 和 1 上为增函数 故当 0 o 1 时 f x 在 0 上为增函数 5 某企业有一条价值 a 万元的流水生产线 要提高该流水生产线的生产能力 提高产品的 增加值 就要对充水生产线进行技术改造 假设增加值 y 万元与技改把风入 x 万元之间的 关系满足 y 与 a x x2成正比例 当 x 2 a 时 y 2 3 a 0 2xa x t 其中 t 为常数且 t 0 2 1 设 y f x 求出 f x 的表达式 并求其定义域 答案 f x 8a2x2 12x3 0 x t ta 21 2 2 1 t 2 2 求出增加值 y 的最大值 并求出此时的技改投入 x 值 答案 f x 16a2x 36x2 令 f x 0 得 x 3 2 a 当 2 1 t 1 时 f x 36 x2 9 4 a2 3 2 a f x 在 0 t ta 21 2 上是减数 当 x t ta 21 2 t 时 ymas f t ta 21 2 3 3 21 16 t ta 当 1 t 2 时 f x 36 x2 9 4 a2 t ta 21 2 3 2 a 0 x0 x a 3 2 时 f x 0 y 0 得 x x0 0 2 0 0 2 0 2 2 2 2 x x x x S 2 1 0 2 0 2 2 x x x20 2 x0 0 0 2 0 4 0 44 4 1 x xx S 4 1 3x20 4 2 0 4 x 令 S 0 得 x0 3 6 又 0 x0 3 6 时 S 0 3 6 0 当 x0 3 6 时 S 最小 把 x0 3 6 代入 得 l 的方程为 26x 3y 8 0 2 由原点 O 向三次曲线 y x3 3ax2 a 0 引切线 切于点 P1 x1 y1 O P1两点不重合 再由 P1引此曲线的切线 切于点 P2 x2 y2 P1 P2不重合 如此继续下去 得到点列 Pn xn yn 1 求 x1 2 求 xn与 xn 1满足的关系式 3 若 a 0 试判断 xn与 a 的大小关系并说明理由 解题思路 利用导数的几何意义写出切线方程 再通过切线方程找到 xn xn 1的递推关系 通过递推关系求出 xn 的通项公式 最后按 n 为奇数和偶数两种情况的讨论可得 xn与 a 的 大小关系 解答 1 由 y x3 3ax2 得 y 3x2 6ax 过曲线上点 P1 x1 y1 的切线 L1的斜率为 3x21 6ax1 L1的方程为 y x31 3ax21 3x21 6ax1 x x1 又 L1过原点 故有 x31 3ax21 x1 3x21 6ax1 2x31 3ax21 x1 2 3 a 2 过曲线上的点 Pn 1 xn 1 yn 1 的切线方程是 y x3n 1 3ax2n 1 3x2n 1 6axn 1 x xn 1 Ln 1 过曲线上点 Pn xn yn 故 x3n 3ax2n x3n 1 3ax2n 1 3x2n 1 6axn 1 xn xn 1 即 x3n x3n 1 3a x2n x2n 1 3x2n 1 6axn 1 xn xn 1 xn xn 1 0 x2n xnxn 1 x2n 1 3a xn xn 1 3x2n 1 6axn 1 x2n xnxn 1 2x2n 1 3a xn xn 1 0 xn xn 1 xn 2xn 1 3a 0 15 xn 2xn 1 3a 3 由 2 得 xn 1 axn 2 3 2 1 xn 1 a 2 1 xn a 故数列 xn a 是以 x1 a 2 1 a 为首数 公比为 2 1 的等比数列 xn a 2 a 2 1 n 1 当 n 为偶数时 xn a a 2 1 n 0 xn0 xn a 预测角度预测角度 2 2 利用导数探讨函数的单调性利用导数探讨函数的单调性 1 已知 m R 研究函数 f x x e mxmmx63 1 3 2 的单调区间 解题思路 先求 f x 再令 f x 0 和 f x 0 只需 g x 的正负即可 1 当 m 0 时 g x 3x 3 当 g x 0 时 x0 当 g x 1 f x 0 当 m 0 时 f x 的增区间为 1 减区间为 1 2 当 m 0 时 g x 有两个根 x1 m 3 x2 1 当 mx2 在区间 1 m 3 上 g x 0 即 f x 0 f x 在 1 m 3 上是增函数 在区间 1 m 3 上 g x 0 即 f x 0 f x 在 1 m 3 上是减函数 当 0 m 3 时 x1 x2 在区间 m 3 1 上 g x 0 即 f x 0 f x 0 f x 在 m 3 1 上是增函数 m 3 时 x1 x2 在区间 1 1 上 g x 0 f x 3 时 x1 x2 在区间 1 m 3 上 g x 0 f x 0 即 f x 0 f x 在 1 m 3 上是增函数 2 已知函数 f x axx a x bx 2 2 2 34 23 4 在 x 1 处取极值 且函数 g x axx a x bx 23 4 2 1 34 在区间 a 6 2a 3 内是减函数 求 a 的取值范围 解答 f x x3 bx2 2 a x 2a 由 f 1 0 得 b 1 a f x x3 1 a x2 2 a x 2a x 1 x 2 x a 若 a 1 时 f x x 1 2 x 2 x 2 1 f x 0 x 1 f x 0 x 1 不是极值点 a 1 又 b 1 a g x x3 1 a x2 a 1 x a x a x2 x 1 当 x a 时 g x 0 g x 在 a 上递减 a 6 2a 3 a a 6 2a 3 a 3 a 3 综合 得 a 的范围为 3 1 1 3 3 已知 f x ax3 bx2 cx d 是定义在 R 上的函数 其图像交 x 轴于 A B C 三点 若点 B 的坐标为 2 0 且 f x 在 1 0 和 4 5 上有相同的单调性 在 0 2 和 4 5 上有 相反的单调性 1 求 C 的值 2 在函数 f x 的图像上是否存在一点 M x0 y0 使得 f x 在点 M 处的切线斜率为 3b 若存在 求出点 M 的坐标 若不存在 说明理由 解题思路 根据题设条件作出 f x 的图像知 f x 有两个极值点 一个为 x 0 另一个极 值点在 2 4 之间 借助这个结论可判定在点 M 处的切线的斜率能否等于 3b 解答 1 由题意可知 f x 在 1 0 和 0 2 上具有相反的单调性 x 0 是 f x 的一 个极值点 故 f 0 0 即 3ax2 2bx c 0 有一个解为 x 0 c 0 17 2 f x 交 x 轴于点 B 2 0 8a 4b d 0 即 d 4 b 2a 令 f x 0 则 3ax2 2bx 0 x1 0 x2 a b 3 2 f x 在 0 2 和 4 5 上具有相反的单调 2 a b 3 2 4 6 a b 3 假设存在点 M x0 y0 使得 f x 在点 M 处的切线斜率为 3b 则 f x0 3b 即 3ax20 2bx0 3b 0 2b 2 4 3a 3b 4b2 36ab 4ab a b 9 又 6 a b 3 0 不存在点 M x0 y0 使得 f x 在点 M 处的切线斜率为 3b 4 已知函数 f x 3 3 1 x 2 1 b 1 x2 cx b c 为常数 1 若 f x 在 x x1 及 x x2 上单调递增 且在 x x1 x2 上单调递减 又 满足 0 x2 x1 1 求证 b2x1 试比较 t2 bt c 与 x1的大小 并加以证明 解题思路 由 f x 的单调性可知 x1 x2是 f x 0 的两根 x2 x1 1 可证明 1 2 可用作差比较法 解答 f x 在 x x1 及 x x2 上单调递增 且在 x x1 x2 上单调 递减 x x1或 x x2是函数 f x 的极值点 即 f x1 0 f x2 0 f x x2 b 1 x c x1 x2是方程 x2 b 1 x c 0 的两根 得 cxx bxx 21 21 1 又 0 x2 x1 1 x2 x1 2 1 即 x1 x2 2 4x1x2 1 1 b 2 4c 1 b2x1 x2 x10 x1 x1 10 t2 bt c x1 预测角度 3 利用导数求函数的极值和最值 1 已知函数 f x ax3 cx d a 0 是 R 上奇函数 当 x 1 时 f x 取得极值 2 1 求 f x 的单调区间 2 若对于 x1 x2 1 1 不等式 f x1 f x2 m 求 m 的最小值 解题思路 由题设条件易求得 a b c 的值 因此由 f x 0 和 f x 0 解得 x 1 或 x 1 f x 0 解得 1 x 1 试判断 f x 在 0 1 上的单调性 3 是否存在 a 使得当 x 0 1 时 f x 有最大值 6 解题思路 1 利用函数 f x 的奇偶性可求得 x 0 1 时 f x 的解析式 2 可 用导数法判断 3 分 a 1 和 a 1 两种情况讨论 f x 的最大值 解答 1 设 x 0 1 则 x 1 0 f x 2ax 2 1 x f x 是奇函数 f x 2ax 2 1 x x 0 1 2 f x 2a 3 2 x 2 a 3 1 x a 1 x 0 1 3 1 x 1 a 3 1 x 0 即 f x 0 f x 在 0 1 上是单调递增的 3 当 a 1 时 f x 在 0 1 单调递增 fmax x f 1 6 a 2 5 不合题意舍 去 当 a 1 令 f x 0 x a 1 3 19 当 x a 1 3 时 f x 0 x a 1 3 时 f x 0 x a 1 3 时 f x 有最大值 f a 1 3 令 f a 1 3 6 a 22 此时 x 2 2 0 1 存在 a 22 使 f x 在 0 1 上有最大值 6 3 已知 f x x3 ax 其中 a R g x 2 1 2 3 x 且 f x g x 在 0 1 上恒成立 求实数 a 的取值范围 解题思路 设 F x f x g x 由 f x g x 在 0 1 上恒成立 即 F x 0 在 0 1 上 恒成立 F x min 0 或用分离参数法 解答 设 F x f x g x x3 ax 2 1 2 3 x f x g x 在 0 1 上恒立 F x 0 在 0 1 上的最小值 a0 x 4 1 又 x 0 4 1 时 h x 0 x 4 1 时 h x 有最小值 h 4 1 16 3 a0 3 已知函数 f x x xalnln 在 1 上为减函数 则 a 的取值范围为 A 0 a e 1 B 01ln a e 恒成 立 x 1 ea a e a e 4 函数 y 2x3 3x2 12x 5 在 0 3 上的最大值 最小值分别是 A 5 15 B 5 4 C 4 15 D 5 16 答案 A 解析 f x 6x2 6x 12 令 f x 0 即 6x2 6 x 12 0 x2 x 2 0 x 2 或 x 1 舍 当 x 2 时 y 15 x 0 时 y 5 时 y 4 最大值为 5 最小值为 15 5 设 f x g x 分别是定义在 0 0 上的奇函数和偶函数 当 x 0 时 f x g x f x g x 0 且 g 3 0 则不等式 f x g x 0 的解集是 A 3 0 3 B 3 0 0 3 C 3 3 D 3 0 3 答案 D 解析 f x g x 是定义域上的奇函数 又 x0 g 3 0 f 3 g 3 0 又 f m g x 在定义域上单调递增 f x g x 0 的解集为 3 0 3 6 函数 f x x3 2x 3 的图像在 x 1 处的切线与圆 x2 y2 8 的位置关系是 A 相切 B 相交且过圆心 C 相交但不过圆心 D 相离 答案 C 解析 f x 3x2 2 f 1 1 切线方程为 y x 1 点 0 0 到切线距离 d 22 2 1 相交但不地圆心 7 函数 f x xlnx 则 f x 的单调递减区间是 答案 0 e 1 解析 令 f x lnx 10 f x 在 R 上为境函数 2 当 m 0 时 f x 开口向下 0 说明存在区间使 f x 0 m 0 时 f x 在 R 上不是增函数 当 0 m 9 时 f x 开口向上且 0 说明 f x 恒大于 0 0 m9 时 f x 开口向上且 0 说明存在砸锅间使 f x 0 0 m 9 f x 在 R 上不是增函数 综上怕述 所求 m 的取值范围是 0 9 10 求函数 f x 1ln 1 ln x x xx 在 2 1 3 上的最大值和最小值 答案 解 f x 2 1 ln 1 1 2 1 ln 1 1 ln 1 1 2 1 ln 1 ln x x xx xxxx x x xxxxx 令f x 0既 2 1 ln x x 0 x 1 当x 1时可得f x 0 当10 22 当x 1时可得f x 的极小值f 1 ln2 f 3 4 ln3ln 4 3 f 2 1 3 1 ln2 ln2 3 3 1 ln2 ln3 ln2 3 2 ln2 ln3 f 2 ln2 ln3 f 2 1 f 3 f x 的最大值为 f x 的最大值为 f 3 4 3 ln3 ln4 11 函数 f x 23 3 axx a x 1 在 x x1 及 x x2处有极值 且 1 2 1 x x 5 1 求 a 的取值范围 答案 由题设知f x ax2 2ax 1二根为x1 x2 且x1 x2 2 x1x2 a 1 10 x1 x2同为正数 由1 1 2 x x 5得x1 x2 5x1 又 x2 2 x1 x11 时 f t x 5 4 5 56 x恒成立 试 求 m 的最大值 答案 当a 5 9 时 f x 5 9 x2 5 18 x 1 f