数学史上的三次危机

数学史上的三次危机数学史上的三次危机 无理数的发现无理数的发现 第一次数学危机第一次数学危机 Di Di YiYi CiCi ShuShu XueXue WeiWei Ji b Ji b 大约公元前 世纪 不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论 大约公元前 世纪 不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论 当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究 把几何 算术 天当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究 把几何 算术 天 文 音乐称为文 音乐称为 四艺四艺 在其中追求宇宙的和谐规律性 他们认为 宇宙间一 在其中追求宇宙的和谐规律性 他们认为 宇宙间一 切事物都可归结为整数或整数之比 毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了切事物都可归结为整数或整数之比 毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了 勾股定理 但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比勾股定理 但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比 不可通约 的情形 如直角边长均为 的直角三角形就是如此 这一悖论直 不可通约 的情形 如直角边长均为 的直角三角形就是如此 这一悖论直 接触犯了毕氏学派的根本信条 导致了当时认识上的接触犯了毕氏学派的根本信条 导致了当时认识上的 危机危机 从而产生了第 从而产生了第 一次数学危机 一次数学危机 到了公元前到了公元前 370370 年 这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例年 这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例 下新定义的方法解决了 他的处理不可通约量的方法 出现在欧几里得下新定义的方法解决了 他的处理不可通约量的方法 出现在欧几里得 原本原本 第 卷中 欧多克斯和狄德金于第 卷中 欧多克斯和狄德金于 18721872 年给出的无理数的解释与现代解释基本一年给出的无理数的解释与现代解释基本一 致 今天中学几何课本中对相似三角形的处理 仍然反映出由不可通约量而带致 今天中学几何课本中对相似三角形的处理 仍然反映出由不可通约量而带 来的某些困难和微妙之处 来的某些困难和微妙之处 第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击 这表明 几何第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击 这表明 几何 学的某些真理与算术无关 几何量不能完全由整数及其比来表示 反之却可以学的某些真理与算术无关 几何量不能完全由整数及其比来表示 反之却可以 由几何量来表示出来 整数的权威地位开始动摇 而几何学的身份升高了 危由几何量来表示出来 整数的权威地位开始动摇 而几何学的身份升高了 危 机也表明 直觉和经验不一定靠得住 推理证明才是可靠的 从此希腊人开始机也表明 直觉和经验不一定靠得住 推理证明才是可靠的 从此希腊人开始 重视演译推理 并由此建立了几何公理体系 这不能不说是数学思想上的一次重视演译推理 并由此建立了几何公理体系 这不能不说是数学思想上的一次 巨大革命 巨大革命 无穷小是零吗 无穷小是零吗 第二次数学危机第二次数学危机 Di Di ReRe CiCi ShuShu XueXue WeiWei Ji Ji 1818 世纪 微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的世纪 微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的 应用 大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的 应用 大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的 17341734 年 英国哲学家 大主教贝克莱发表年 英国哲学家 大主教贝克莱发表 分析学家或者向一分析学家或者向一 个不信正教数学家的进言个不信正教数学家的进言 矛头指向微积分的基础 矛头指向微积分的基础 无穷小的问题 提出了无穷小的问题 提出了 所谓贝克莱悖论 他指出 所谓贝克莱悖论 他指出 牛顿在求牛顿在求 xnxn 的导数时 采取了先给的导数时 采取了先给 x x 以增量 以增量 应用二项式 应用二项式 x 0 x 0 n n 从中减去 从中减去 xnxn 以求得增量 并除以 以求出以求得增量 并除以 以求出 xnxn 的增量与的增量与 x x 的增量之比 然后又让 消逝 这样得出增量的最终比 这里牛顿做了违反的增量之比 然后又让 消逝 这样得出增量的最终比 这里牛顿做了违反 矛盾律的手续矛盾律的手续 先设先设 x x 有增量 又令增量为零 也即假设有增量 又令增量为零 也即假设 x x 没有增量 没有增量 他他 认为无穷小认为无穷小 dxdx 既等于零又不等于零 召之即来 挥之即去 这是荒谬 既等于零又不等于零 召之即来 挥之即去 这是荒谬 dx dx 为逝去量的灵魂为逝去量的灵魂 无穷小量究竟是不是零 无穷小及其分析是否合理 由此 无穷小量究竟是不是零 无穷小及其分析是否合理 由此 而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论 导致了数学史上的第二次而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论 导致了数学史上的第二次 数学危机 数学危机 1818 世纪的数学思想的确是不严密的 直观的强调形式的计算而不世纪的数学思想的确是不严密的 直观的强调形式的计算而不 管基础的可靠 其中特别是 没有清楚的无穷小概念 从而导数 微分 积分管基础的可靠 其中特别是 没有清楚的无穷小概念 从而导数 微分 积分 等概念也不清楚 无穷大概念不清楚 以及发散级数求和的任意性 符号的不等概念也不清楚 无穷大概念不清楚 以及发散级数求和的任意性 符号的不 严格使用 不考虑连续就进行微分 不考虑导数及积分的存在性以及函数可否严格使用 不考虑连续就进行微分 不考虑导数及积分的存在性以及函数可否 展成幂级数等等 展成幂级数等等 直到直到 1919 世纪世纪 2020 年代 一些数学家才比较关注于微积分的严格基年代 一些数学家才比较关注于微积分的严格基 础 从波尔查诺 阿贝尔 柯西 狄里赫利等人的工作开始 到威尔斯特拉斯 础 从波尔查诺 阿贝尔 柯西 狄里赫利等人的工作开始 到威尔斯特拉斯 戴德金和康托的工作结束 中间经历了半个多世纪 基本上解决了矛盾 为数戴德金和康托的工作结束 中间经历了半个多世纪 基本上解决了矛盾 为数 学分析奠定了严格的基础 学分析奠定了严格的基础 悖论的产生悖论的产生 第三次数学危机第三次数学危机 Di Di SanSan CiCi ShuShu XueXue WeiWei Ji Ji 数学史上的第三次危机 是由数学史上的第三次危机 是由 18971897 年的突然冲击而出现的 到年的突然冲击而出现的 到 现在 从整体来看 还没有解决到令人满意的程度 这次危机是由于在康托的现在 从整体来看 还没有解决到令人满意的程度 这次危机是由于在康托的 一般集合理论的边缘发现悖论造成的 由于集合概念已经渗透到众多的数学分一般集合理论的边缘发现悖论造成的 由于集合概念已经渗透到众多的数学分 支 并且实际上集合论成了数学的基础 因此集合论中悖论的发现自然地引起支 并且实际上集合论成了数学的基础 因此集合论中悖论的发现自然地引起 了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑 了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑 18971897 年 福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论 两年后 康托年 福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论 两年后 康托 发现了很相似的悖论 发现了很相似的悖论 19021902 年 罗素又发现了一个悖论 它除了涉及集合概念年 罗素又发现了一个悖论 它除了涉及集合概念 本身外不涉及别的概念 罗素悖论曾被以多种形式通俗化 其中最著名的是罗本身外不涉及别的概念 罗素悖论曾被以多种形式通俗化 其中最著名的是罗 素于素于 19191919 年给出的 它涉及到某村理发师的困境 理发师宣布了这样一条原则 年给出的 它涉及到某村理发师的困境 理发师宣布了这样一条原则 他给所有不给自己刮脸的人刮脸 并且 只给村里这样的人刮脸 当人们试图他给所有不给自己刮脸的人刮脸 并且 只给村里这样的人刮脸 当人们试图 回答下列疑问时 就认识到了这种情况的悖论性质 回答下列疑问时 就认识到了这种情况的悖论性质 理发师是否自己给自己理发师是否自己给自己 刮脸 刮脸 如果他不给自己刮脸 那么他按原则就该为自己刮脸 如果他给自己如果他不给自己刮脸 那么他按原则就该为自己刮脸 如果他给自己 刮脸 那么他就不符合他的原则 刮脸 那么他就不符合他的原则 罗素悖论使整个数学大厦动摇了 无怪乎弗雷格在收到罗素的信罗素悖论使整个数学大厦动摇了 无怪乎弗雷格在收到罗素的信 之后 在他刚要出版的之后 在他刚要出版的 算术的基本法则算术的基本法则 第 卷末尾写道 第 卷末尾写道 一位科学家不一位科学家不 会碰到比这更难堪的事情了 即在工作完成之时 它的基础垮掉了 当本书等会碰到比这更难堪的事情了 即在工作完成之时 它的基础垮掉了 当本书等 待印出的时候 罗素先生的一封信把我置于这种境地待印出的时候 罗素先生的一封信把我置于这种境地 于是终结了近 于是终结了近 1212 年的年的 刻苦钻研 刻苦钻研 承认无穷集合 承认无穷基数 就好像一切灾难都出来了 这就承认无穷集合 承认无穷基数 就好像一切灾难都出来了 这就 是第三次数学危机的实质 尽管悖论可以消除 矛盾可以解决 然而数学的确是第三次数学危机的实质 尽管悖论可以消除 矛盾可以解决 然而数学的确 定性却在一步一步地丧失 现代公理集合论的大堆公理 简直难说孰真孰假 定性却在一步一步地丧失 现代公理集合论的大堆公理 简直难说孰真孰假 可是又不能把它们都消除掉 它们跟整个数学是血肉相连的 所以 第三次危可是又不能把它们都消除掉 它们跟整个数学是血肉相连的 所以 第三次危 机表面上解决了 实质上更深刻地以其它形式延续着 机表面上解决了 实质上更深刻地以其它形式延续着 数学经典问题数学经典问题 蜂窝猜想蜂窝猜想 加拿大科学记者德富林在加拿大科学记者德富林在 环球邮报环球邮报 上撰文称 经过上撰文称 经过 16001600 年努力 数学家终于证年努力 数学家终于证 明蜜蜂是世界上工作效率最高的建筑者 明蜜蜂是世界上工作效率最高的建筑者 四世纪古希腊数学家佩波斯提出 蜂窝的优美形状 是自然界最有效劳动的四世纪古希腊数学家佩波斯提出 蜂窝的优美形状 是自然界最有效劳动的 代表 他猜想 人们所见到的 截面呈六边形的蜂窝 是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的 代表 他猜想 人们所见到的 截面呈六边形的蜂窝 是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的 他的这一猜想称为他的这一猜想称为 蜂窝猜想蜂窝猜想 但这一猜想一直没有人能证明 但这一猜想一直没有人能证明 美密执安大学数学家黑尔宣称 他已破解这一猜想 蜂窝是一座十分精密的美密执安大学数学家黑尔宣称 他已破解这一猜想 蜂窝是一座十分精密的 建筑工程 蜜蜂建巢时 青壮年工蜂负责分泌片状新鲜蜂蜡 每片只有针头大校而另一些建筑工程 蜜蜂建巢时 青壮年工蜂负责分泌片状新鲜蜂蜡 每片只有针头大校而另一些 工蜂则负责将这些蜂蜡仔细摆放到一定的位置 以形成竖直六面柱体 每一面蜂蜡隔墙厚工蜂则负责将这些蜂蜡仔细摆放到一定的位置 以形成竖直六面柱体 每一面蜂蜡隔墙厚 度及误差都非常小 度及误差都非常小 6 6 面隔墙宽度完全相同 墙之间的角度正好面隔墙宽度完全相同 墙之间的角度正好 120120 度 形成一个完美的度 形成一个完美的 几何图形 人们一直疑问 蜜蜂为什么不让其巢室呈三角形 正方形或其他形状呢 隔墙几何图形 人们一直疑问 蜜蜂为什么不让其巢室呈三角形 正方形或其他形状呢 隔墙 为什么呈平面 而不是呈曲面呢 虽然蜂窝是一个三维体建筑 但每一个蜂巢都是六面柱为什么呈平面 而不是呈曲面呢 虽然蜂窝是一个三维体建筑 但每一个蜂巢都是六面柱 体 而蜂蜡墙的总面积仅与蜂巢的截面有关 由此引出一个数学问题 即寻找面积最大 体 而蜂蜡墙的总面积仅与蜂巢的截面有关 由此引出一个数学问题 即寻找面积最大 周长最小的平面图形 周长最小的平面图形 19431943 年 匈牙利数学家陶斯巧妙地证明 在所有首尾相连的正多边形中 正年 匈牙利数学家陶斯巧妙地证明 在所有首尾相连的正多边形中 正 多边形的周长是最小的 多边形的周长是最小的 19431943 年 匈牙利数学家陶斯巧妙地证明 在所有首尾相连的正多年 匈牙利数学家陶斯巧妙地证明 在所有首尾相连的正多 边形中 正多边形的周长是最小的 但如果多边形的边是曲线时 会发生什么情况呢 陶边形中 正多边形的周长是最小的 但如果多边形的边是曲线时 会发生什么情况呢 陶 斯认为 正六边形与其他任何形状的图形相比 它的周长最小 但他不能证明这一点 而斯认为 正六边形与其他任何形状的图形相比 它的周长最小 但他不能证明这一点 而 黑尔在考虑了周边是曲线时 无论是曲线向外突 还是向内凹 都证明了由许多正六边形黑尔在考虑了周边是曲线时 无论是曲线向外突 还是向内凹 都证明了由许多正六边形 组成的图形周长最校他已将组成的图形周长最校他已将 1919 页的证明过程放在因特网上 许多专家都已看到了这一证明 页的证明过程放在因特网上 许多专家都已看到了这一证明 认为黑尔的证明是正确的 认为黑尔的证明是正确的 数学经典问题数学经典问题 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想 世界近代三大数学难题之一 哥德巴赫是德国一位中学教师 也是一位著世界近代三大数学难题之一 哥德巴赫是德国一位中学教师 也是一位著 名的数学家 生于名的数学家 生于 16901690 年 年 17251725 年当选为俄国彼得堡科学院院士 年当选为俄国彼得堡科学院院士 17421742 年 年 哥德巴赫在教学中发现 每个不小于哥德巴赫在教学中发现 每个不小于 6 6 的偶数都是两个素数 只能被和它本身的偶数都是两个素数 只能被和它本身 整除的数 之和 如整除的数 之和 如 6 6 3 3 3 3 1212 5 5 7 7 等等 等等 公元公元 17421742 年年 6 6 月月 7 7 日哥德巴赫日哥德巴赫 Goldbach Goldbach 写信给当时的大数写信给当时的大数 遗防遗防 Euler Euler 提出了以下的猜想 提出了以下的猜想 a a 任何一个任何一个 6 6 之偶数 都可以表示成两个奇质数之和 之偶数 都可以表示成两个奇质数之和 b b 任何一个任何一个 9 9 之奇数 都可以表示成三个奇质数之和 之奇数 都可以表示成三个奇质数之和 这就是着名的哥德巴赫猜想 欧拉在这就是着名的哥德巴赫猜想 欧拉在 6 6 月月 3030 日给他的回信中说 日给他的回信中说 他相信这个猜想是正确的 但他不能证明 叙述如此简单的问题 连欧拉这样他相信这个猜想是正确的 但他不能证明 叙述如此简单的问题 连欧拉这样 首屈一指的数学家都不能证明 这个猜想便引起了许多数学家的注意 从哥德首屈一指的数学家都不能证明 这个猜想便引起了许多数学家的注意 从哥德 巴赫提出这个猜想至今 许多数学家都不断努力想攻克它 但都没有成功 当巴赫提出这个猜想至今 许多数学家都不断努力想攻克它 但都没有成功 当 然曾经有人作了些具体的验证工作 例如然曾经有人作了些具体的验证工作 例如 6 6 3 3 3 3 8 8 3 3 5 5 1010 5 5 5 5 3 3 7 7 1212 5 5 7 7 1414 7 7 7 7 3 3 11 1611 16 5 5 11 11 1818 5 5 13 13 等等 有人对等等 有人对 33 10833 108 以内且大过以内且大过 6 6 之偶数一一进行验算 哥德巴赫猜想之偶数一一进行验算 哥德巴赫猜想 a a 都都 成立 但严格的数学证明尚待数学家的努力 成立 但严格的数学证明尚待数学家的努力 从此 这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意 从此 这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意 200200 年过去了 没有人证明它 哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不年过去了 没有人证明它 哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不 可及的可及的 明珠明珠 到了 到了 2020 世纪世纪 2020 年代 才有人开始向它靠近 年代 才有人开始向它靠近 19201920 年 挪威年 挪威 数学家布爵用一种古老的筛选法证明 得出了一个结论 每一个比大的偶数都数学家布爵用一种古老的筛选法证明 得出了一个结论 每一个比大的偶数都 可以表示为 可以表示为 9 9 9 9 这种缩小包围圈的办法很管用 科学家们于是从 这种缩小包围圈的办法很管用 科学家们于是从 9 9 9 9 开始 逐步减少每个数里所含质数因子的个数 直到最后使每个数里 开始 逐步减少每个数里所含质数因子的个数 直到最后使每个数里 都是一个质数为止 这样就证明了都是一个质数为止 这样就证明了 哥德巴赫哥德巴赫 目前最佳的结果是中国数学家陈景润於目前最佳的结果是中国数学家陈景润於 19661966 年证明的 称为陈年证明的 称为陈 氏定理 氏定理 Chen sChen s TheoremTheorem 任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然 数之和 而後者仅仅是两个质数的乘积 数之和 而後者仅仅是两个质数的乘积 通常都简称这个结果为大偶数可表通常都简称这个结果为大偶数可表 示为示为 1 1 2 2 的形式 的形式 在陈景润之前 关於偶数可表示为在陈景润之前 关於偶数可表示为 s s 个质数的乘积与个质数的乘积与 t t 个质数个质数 的乘积之和 简称的乘积之和 简称 s s t t 问题 之进展情况如下 问题 之进展情况如下 19201920 年 挪威的布朗年 挪威的布朗 Brun Brun 证明了证明了 9 9 9 9 19241924 年 德国的拉特马赫年 德国的拉特马赫 Rademacher Rademacher 证明了证明了 7 7 7 7 19321932 年 英国的埃斯特曼年 英国的埃斯特曼 Estermann Estermann 证明了证明了 6 6 6 6 19371937 年 意大利的蕾西年 意大利的蕾西 Ricci Ricci 先後证明了先後证明了 5 5 7 7 4 4 9 9 3 3 1515 和和 2 2 366366 19381938 年 苏联的布赫夕太勃 亦译布赫斯塔勃 证明了年 苏联的布赫夕太勃 亦译布赫斯塔勃 证明了 5 5 5 5 19401940 年 苏联的布赫夕太勃证明了年 苏联的布赫夕太勃证明了 4 4 4 4 19481948 年 匈牙利的瑞尼年 匈牙利的瑞尼 Renyi Renyi 证明了证明了 1 1 c c 其中 其中 c c 是一很大的自然是一很大的自然 数 数 19561956 年 中国的王元证明了年 中国的王元证明了 3 3 4 4 19571957 年 中国的王元先後证明了年 中国的王元先後证明了 3 3 3 3 和和 2 2 3 3 19621962 年 中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩年 中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩 BapoaH BapoaH 证明了证明了 1 1 5 5 中国 中国 的王元证明了的王元证明了 1 1 4 4 19651965 年 苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫年 苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫 BHHopappB BHHopappB 及意大利的 及意大利的 朋比利朋比利 Bombieri Bombieri 证明了证明了 1 1 3 3 19661966 年 中国的陈景润证明了年 中国的陈景润证明了 1 1 2 2 最终会由谁攻克最终会由谁攻克 1 1 1 1 这个难题呢 现在还没法预测 这个难题呢 现在还没法预测 数学经典问题 费马最后定理 被公认执世界报纸牛耳地位的纽约时报於被公认执世界报纸牛耳地位的纽约时报於 19931993 年年 6 6 月月 2424 日在其一版头题日在其一版头题 刊登了一则有关数学难题得以解决的消息 那则消息的标题是刊登了一则有关数学难题得以解决的消息 那则消息的标题是 在陈年数学困在陈年数学困 局中 终於有人呼叫局中 终於有人呼叫 我找到了我找到了 时报一版的开始文章中还附了一张留着 时报一版的开始文章中还附了一张留着 长发 穿着中古世纪欧洲学袍的男人照片 这个古意盎然的男人 就是法国的长发 穿着中古世纪欧洲学袍的男人照片 这个古意盎然的男人 就是法国的 数学家费马 数学家费马 PierrePierre dede FermatFermat 费马小传请参考附录 费马是十七世纪 费马小传请参考附录 费马是十七世纪 最卓越的数学家之一 他在数学许多领域中都有极大的贡献 因为他的本行是最卓越的数学家之一 他在数学许多领域中都有极大的贡献 因为他的本行是 专业的律师 为了表彰他的数学造诣 世人冠以专业的律师 为了表彰他的数学造诣 世人冠以 业余王子业余王子 之美称 在三百之美称 在三百 六十多年前的某一天 费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时 六十多年前的某一天 费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时 突然心血来潮在书页的空白处 写下一个看起来很简单的定理这个定理的内容突然心血来潮在书页的空白处 写下一个看起来很简单的定理这个定理的内容 是有关一个方程式是有关一个方程式 xnxn ynyn zn zn 的正整数解的问题 当的正整数解的问题 当 n 2n 2 时就是我们所熟知时就是我们所熟知 的毕氏定理 中国古代又称勾股弦定理 的毕氏定理 中国古代又称勾股弦定理 x2x2 y2y2 z2 z2 此处 此处 z z 表一直角形之表一直角形之 斜边而斜边而 x x y y 为其之两股 也就是一个直角三角形之斜边的平方等於它的两股的为其之两股 也就是一个直角三角形之斜边的平方等於它的两股的 平方和 这个方程式当然有整数解 其实有很多 例如 平方和 这个方程式当然有整数解 其实有很多 例如 x 3x 3 y 4y 4 z 5z 5 x 6x 6 y 8y 8 z 10z 10 x 5x 5 y 12y 12 z 13 z 13 等等 等等 费马声称当费马声称当 n 2n 2 时 就找不到满足时 就找不到满足 xnxn yn yn znzn 的整数解 例如 的整数解 例如 方程式方程式 x3x3 y3 z3 y3 z3 就无法找到整数解 就无法找到整数解 当时费马并没有说明原因 他只是留下这个叙述并且也说他已当时费马并没有说明原因 他只是留下这个叙述并且也说他已 经发现这个定理的证明妙法 只是书页的空白处不够无法写下 始作俑者的费经发现这个定理的证明妙法 只是书页的空白处不够无法写下 始作俑者的费 马也因此留下了千古的难题 三百多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题马也因此留下了千古的难题 三百多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题 却都徒劳无功 这个号称世纪难题的费马最後定理也就成了数学界的心头大患 却都徒劳无功 这个号称世纪难题的费马最後定理也就成了数学界的心头大患 极欲解之而后快 极欲解之而后快 十九世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在一八一五年和一八六 十九世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在一八一五年和一八六 年两度悬赏金质奖章和三百法郎给任何解决此一难题的人 可惜都没有人能够年两度悬赏金质奖章和三百法郎给任何解决此一难题的人 可惜都没有人能够 领到奖赏 德国的数学家佛尔夫斯克尔 领到奖赏 德国的数学家佛尔夫斯克尔 P P WolfskehlWolfskehl 在 在 19081908 年提供十万马年提供十万马 克 给能够证明费马最後定理是正确的人 有效期间为克 给能够证明费马最後定理是正确的人 有效期间为 100100 年 其间由於经济年 其间由於经济 大萧条的原因 此笔奖额已贬值至七千五百马克 虽然如此仍然吸引不少的大萧条的原因 此笔奖额已贬值至七千五百马克 虽然如此仍然吸引不少的 数学痴数学痴 二十世纪电脑发展以後 许多数学家用电脑计算可以证明这个定二十世纪电脑发展以後 许多数学家用电脑计算可以证明这个定 理当理当 n n 为很大时是成立的 为很大时是成立的 19831983 年电脑专家斯洛文斯基借助电脑运行年电脑专家斯洛文斯基借助电脑运行 57825782 秒秒 证明当证明当 n n 为为 286243 1286243 1 时费马定理是正确的 注时费马定理是正确的 注 286243 1286243 1 为一天文数字 大约为一天文数字 大约 为为 2596025960 位数 位数 虽然如此 数学家还没有找到一个普遍性的证明 不过这个三百虽然如此 数学家还没有找到一个普遍性的证明 不过这个三百 多年的数学悬案终於解决了 这个数学难题是由英国的数学家威利斯 多年的数学悬案终於解决了 这个数学难题是由英国的数学家威利斯 AndrewAndrew WilesWiles 所解决 其实威利斯是利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果 所解决 其实威利斯是利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果 加以证明 加以证明 五五 年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲线的猜想 年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲线的猜想 後来由另一位数学家志村五郎加以发扬光大 当时没有人认为这个猜想与费马後来由另一位数学家志村五郎加以发扬光大 当时没有人认为这个猜想与费马 定理有任何关联 在八定理有任何关联 在八 年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理扯在年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理扯在 一起 而威利斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确一起 而威利斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确 的 进而推出费马最後定理也是正确的 这个结论由威利斯在的 进而推出费马最後定理也是正确的 这个结论由威利斯在 19931993 年的年的 6 6 月月 2121 日於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表 这个报告马上震惊整日於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表 这个报告马上震惊整 个数学界 就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注 不过威利斯的证明个数学界 就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注 不过威利斯的证明 马上被检验出有少许的瑕疵 於是威利斯与他的学生又花了十四个月的时间再马上被检验出有少许的瑕疵 於是威利斯与他的学生又花了十四个月的时间再 加以修正 加以修正 19941994 年年 9 9 月月 1919 日他们终於交出完整无瑕的解答 数学界的梦魇终日他们终於交出完整无瑕的解答 数学界的梦魇终 於结束 於结束 19971997 年年 6 6 月 威利斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖 当年月 威利斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖 当年 的十万法克约为两百万美金 不过威利斯领到时 只值五万美金左右 但威利的十万法克约为两百万美金 不过威利斯领到时 只值五万美金左右 但威利 斯已经名列青史 永垂不朽了 斯已经名列青史 永垂不朽了 要证明费马最後定理是正确的要证明费马最後定理是正确的 即 即 xnxn ynyn znzn 对对 n 3n 3 均无正整数解 均无正整数解 只需证只需证 x4 x4 y4y4 z4z4 和和 xp xp ypyp zpzp p p 为奇质数 都没有为奇质数 都没有 整数解 整数解 附录 费马小传附录 费马小传 费马 费马 PierrePierre dede FermatFermat 是十七世纪最伟大的数学家之一 是十七世纪最伟大的数学家之一 16011601 年年 8 8 月月 2020 日生於法国南部土鲁士 日生於法国南部土鲁士 ToulousToulous 附近的一个小镇 父亲是一 附近的一个小镇 父亲是一 个皮革商 个皮革商 16651665 年年 1 1 月月 1212 日逝世 日逝世 费马在大学时专攻法律 学成後成为专业的律师 也曾经当过土费马在大学时专攻法律 学成後成为专业的律师 也曾经当过土 鲁士议会议员 鲁士议会议员 费马是一位博览群书见广多闻的谆谆学者 精通数国语言 对於费马是一位博览群书见广多闻的谆谆学者 精通数国语言 对於 数学及物理也有浓厚的兴趣 是一位多采多艺的人 虽然他在近三十岁才开始数学及物理也有浓厚的兴趣 是一位多采多艺的人 虽然他在近三十岁才开始 认真专研数学 但是他对数学的贡献使他赢得业余王子 认真专研数学 但是他对数学的贡献使他赢得业余王子 thethe princeprince ofof amateursamateurs 之美称 这个头衔正足以表彰他在数学领域的一级成就 他在笛卡 之美称 这个头衔正足以表彰他在数学领域的一级成就 他在笛卡 儿 儿 DescartesDescartes 之前引进解析几何 而且在微积分的发展上有重大的贡献 尤 之前引进解析几何 而且在微积分的发展上有重大的贡献 尤 其为人称道的是费马和巴斯卡其为人称道的是费马和巴斯卡 Pascal Pascal 被公认是机率论的先驱 然而人们所津被公认是机率论的先驱 然而人们所津 津乐道的则是他在数论上的一些杰作 例如费马定理 又称费马小定理 以别津乐道的则是他在数论上的一些杰作 例如费马定理 又称费马小定理 以别 於费马最後定理 於费马最後定理 apoapo a modp a modp 对任意整数 对任意整数 a a 及质数及质数 p p 均成立 这个定理第均成立 这个定理第 一次出现於一次出现於 16401640 年的一封信中 此定理的证明後来由欧拉 年的一封信中 此定理的证明後来由欧拉 EulerEuler 发表 费 发表 费 马为人非常谦虚 不尚名利 生前很少发表论文 他大部分的作品都见诸於与马为人非常谦虚 不尚名利 生前很少发表论文 他大部分的作品都见诸於与 友人之间的信件和私人的札记 但通常都未附证明 最有名的就是俗称的费马友人之间的信件和私人的札记 但通常都未附证明 最有名的就是俗称的费马 最后定理 费马天生的直觉实在是异常敏锐 他所断言的其他定理 後来都陆最后定理 费马天生的直觉实在是异常敏锐 他所断言的其他定理 後来都陆 续被人证出来 有先见之明的费马实在是数学史上的一大奇葩 续被人证出来 有先见之明的费马实在是数学史上的一大奇葩 数学经典问题数学经典问题 几何的三大问题几何的三大问题 平面几何作图限制只能用直尺 圆规 而这里所谓的直尺是指没有刻平面几何作图限制只能用直尺 圆规 而这里所谓的直尺是指没有刻 度只能画直线的尺 用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形 但有些图形如度只能画直线的尺