概率论与数理统计 第一章 第三节ppt课件.ppt

三 全概率公式与贝叶斯定理考虑乘法法则例1 书中p16 全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式设A1 A2 An是两两互不相容的事件 构成一个完备事件组 且P Ai 0 i 1 2 n 另有一事件B 它总是与A1 A2 An之一同时发生 则全概率公式为 若A1 A2 An是样本空间 的一个划分 那么 对于每次试验 事件A1 A2 An中必有一个且仅有一个发生 贝叶斯公式设A1 A2 An构成一个完备事件组 并且它们都具有正概率 则对于任何一个概率不为零的事件B 有 证明 根据条件概率定义及全概率公式求得 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率 它们实质上是加法定理和乘法定理的综合运用 贝叶斯公式例题1仍考虑从1 2 3个箱子中抽取红球的案例 现某人从任意一箱中任意摸出一球 发现是红球 求该球是取自1号箱的概率解 记Ai 球取自i号箱 i 1 2 3 B 取得红球 贝叶斯公式例题3某一地区患有癌症的人占0 005 P A 患者对一种试验反应是阳性的概率为0 95 P B A 正常人对这种试验反应是阳性的概率为0 04 现抽查了一个人 试验反应是阳性 问此人是癌症患者的概率有多大 P A B 解 设A 抽查的人患有癌症 抽查的人不患癌症 B 试验结果是阳性 已知带入贝叶斯公式得P A B 0 1066 结果的意义 1 该试验对于诊断一个人是否患有癌有无意义 如果不做试验 抽查一人 他是癌症患者的概率P A 0 005 患者阳性反应的概率是0 95 若试验后呈阳性反应 则根据试验得到的信息 此人是癌症患者的概率为P A B 0 1066 概率从0 005增加到0 1066 约增加了21倍 试验对于诊断一个人是否患癌症有意义 2 检出阳性是否一定患有癌症 试验结果为阳性 此人确患癌症的概率为P A B 0 1066 即使你检出阳性 也不必过早下结论你有癌症 这种可能性只有10 66 平均来说 1000个人中大约只有107人确患癌症 此时医生常要通过其他试验来确认 条件概率小节 1 4独立试验概型考察同一试验的两个事件 有时一件事情的发生与否会影响到另一事件发生的概率 但也有可能一件事情的发生于另一事件发生的概率毫无关系 例如 在投掷一枚硬币和一枚骰子组成的试验中 硬币是否出现正面不会影响骰子出现点数为1 或其他点 的概率 这样的两个事情称为独立事件 A 第二次掷出6点 B 第一次掷出6点 显然有 P A B P A 一 独立事件定义直观说法 对于两事件A B 若事件A发生的可能性不受事件B发生与否的影响 则称为事件A与事件B独立 P A B P A P AB P B P A P AB P A P B 扩展 若中任何一个事件发生的可能性都不受其它一个或者n个事件发生与否的影响 则称为相互独立 二 独立事件的性质 1 若事件A与B独立的充要条件 P AB P A P B A与B相互独立P AB P A P B 2 3 若事件A1 A2 An相互独立 则有 多个事件两两独立与相互独立定义 设A B C是三事件 如果具有等式P AB P A P B P BC P B P C P CA P C P A 称A B C两两独立定义 设A B C是三事件 如果具有等式P AB P A P B P BC P B P C P CA P C P A P ABC P A P B P C 称A B C为相互独立的事件 4 零概率事件与任何事件都是互相独立的 证明 设P A 0 B为任一事件因为AB A所以0 P AB P A 故P AB 0 0P B P A P B 5 概率为1的事件与任何事件都是互相独立的 证明 考虑P A B 1 注意 互斥与独立的区别1 互斥的概念是事件本身的属性 独立的概念是事件的概率属性 2 两事件互斥 即A与B不能同时发生 P AB 0P AB P A P B 即A与B不独立独立是指A与B的概率互不影响 P AB P A P B 3 若0 P A 1 0 P B 1 互斥一定不独立 独立一定不互斥 4 在用途上有区别 互斥通常用于概率的加法运算 独立通常用于概率的乘法运算 例1 甲 乙两个战士打靶 甲的命中率为0 9 乙的命中率为0 85 两人同时射击同一目标 各打一枪 求目标被击中的概率 解 设A 甲击中目标 B 乙击中目标 C 目标被击中 则 甲乙同时射击 结果互不影响 P C P A B P A P B P AB P A B P A P B P A P B 0 9 0 85 0 9 0 85 0 985 例2 P21 甲 乙 丙三部机床独立工作 由一个工人照管 某段时间内他们不需要工人照管的概率分别为0 9 0 8及0 85 求在这段时间内有机床需要工人照管的概率 机床因无人照管而停工的概率 解 设A 机床甲不需要工人照管 B 机床乙不需要工人照管 C 机床丙不需要工人照管 根据题意 A B C相互独立 并且P A 0 9P B 0 8P C 0 85理解 机床因无人照管而停工 等价于同时有两台机器需要照管 至少两台机器需要同时照管 例3 若例1中的3部机床性能相同 设P A P B P C 0 8 求这段时间内恰有一部机床需要照管的概率 恰有两部机床需要照管的概率 解 设Di 恰有i部机床需要照管 P D1 P D2 二 独立试验序列概型 在概率论中 把在相同条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序列概型 进行n次试验 若任何一次试验中各结果发生的可能性都不受其他各次试验结果发生情况的影响 称这n次试验是相互独立的 进行n次试验 如果这n次试验满足 每次试验的条件相同 每次试验的结果互不影响称这n次试验为 n次重复独立试验概型 特别的 当每次试验只有两种可能结果 即只有事件A与 且在每次试验中P A p P 1 p时 称为n重贝努里试验概型 例1 一批产品的废品率为0 1 每次抽取一个 观察后放回去 下次再取一个 共重复3次 3次中恰有两次取到废品的概率解 设B2 3次中恰有两次取到废品 Ai 第i次取到废品 i 1 2 3 贝努里定理设一次试验中事件A发生的概率为p 0 p 1 则n重贝努里试验中 事件A恰好发生k次的概率为 其中q 1 p 例2 P24 一条自动生产线上产品的一级品率为0 6 现检查了10件 求至少有两件一级品的概率 设B表示 至少