一元二次方程综合讲义

1 一元二次方程一元二次方程 专题讲练专题讲练 专题一 一元二方程的有关概念专题一 一元二方程的有关概念 1 考点分析 考点分析 中考对本节内容的考查重点是列出一元二次方程 对于一元二次方程的定义及一般形 式的考查多以填空 选择等题型出现 该节内容多与实数运算 代数式的变形 函数等内 容联系起来出题 方程知识是中考命题的热点 2 典例剖析 典例剖析 例例 1 1 下列方程中 关于的一元二次方程是 x 1213 2 xx02 11 2 xx 0 2 cbxax12 22 xxx 针对练习针对练习 1 1 方程是关于的一元二次方程 则 2 310 m mxmx x 2m 2m 2m 2m 2 2 关于的一元二次方程的一个根为 则的值为 x 22 1 10axxa 0a 或 11 11 2 1 例例 2 2 1 2009 年潍坊市 关于的一元二次方程的一个x 22 5250 xxpp 根为 1 则实数的值是 p A B 或C D 40211 2 2010 年株洲市 本小题 6 分 已知 x 1 是一元二次方程的 2 400axbx 一个解 且 求的值 ab 22 22 ab ab 专练一 专练一 1 2011 年乐山市 已知是关于的方程的一个根 则1x x 22 20 xaxa a 2 2009 年眉山市 关于 x 的一元二次方程 x2 bx c 0 的两个实数根分别为 1 和 2 则 b c 3 2011 年成都市 已知是一元二次方程的实数根 那么代数式x 2 310 xx 的值为 2 35 2 362 x x xxx 2 专题二 一元二方程的有关解法专题二 一元二方程的有关解法 1 考点分析 考点分析 本部分重点考查一元二次方程的四种基本解法 其中的配方法 因式分解法也是中学 数学中的重要思想方法 今后在学习二次函数时还有很多用处 直接开平方法单独出题较 少 公式法是解一元二次方程的最一般的方法 这四种方法单独考查以填空题 选择题为 主 综合考查多以公式法解方程与列方程解应用题 函数等知识为背景进行考查 2 典例剖析 典例剖析 例例 1 2010 年湖州市 方程的解是 2 250 x 12 5xx 12 25xx 1 5x 2 5x 1 25x 2 25x 例例 2 2009 年武汉市 解方程 1 x2 4x 32 0 2 2 2x 3 2 3 2x 3 0 点评 以上两例重点考查学生对一元二方程的解法的理解和掌握 在一元二次方程的 四种方法中 优先选取顺序依次为 直接开平方法 分解因式法 公式法 配方法 例例 3 用配方法解下列方程 1 x2 5x 6 0 2 8x2 2 4x 例例 4 用配方法解方程 21 1210 2 xx 例例 5 已知一元二次方程 你可以用几种方法来解这个方程 22 225xx 专练二 专练二 1 2011 年温州市 方程的解是 2 20 xx 2 2011 年浙江省宁波市 方程 x2 2x 0 的解为 3 2010 年巴中市 三角形一边长为 另两边长是方程的两实根 则10 2 14480 xx 这是一个三角形 4 解方程 1 4 x 1 2 9 2 4x2 4x 1 0 3 x 2x 7 3 2x 7 4 x 1 x 3 15 5 y 1 2 2y y 1 0 6 2y 1 2 3 2y 1 2 0 7 4x 3 2 3x 4 2 8 mx2 m n x n 0 m 0 3 专题三 一元二次方程根与系数的关系专题三 一元二次方程根与系数的关系 1 考点分析 考点分析 反映了一元二次方程根与系数之间的关系 当 0 时 方程有 2 b4ac 2 b4ac 两个不相等的实数根 当 0 时 方程有两个相等的实数根 当 0 时 2 b4ac 2 b4ac 方程无实数根 补充 如果设 是方程 a 0 的两个实数根 那么 1 x 2 x 2 0axbxc 1 x 2 x 这部分内容以填空题 选择题为主 b a 1 x 2 x c a 2 典例剖析 典例剖析 例例 1 1 2011 年巴中市 一元二次方程的根的情况为 2 210 xx 有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根 只有一个实数根 没有实数根 例例 2 2009 年芜湖市 已知是一元二次方程的一个根 则方25 2 40 xxc 程的另一个根是 例例 3 3 关于的方程有两个不相等的实数根 求的取值范x0112 21 2 xkxkk 围 专练三 专练三 1 2009 年眉山市 一元二次方程 x2 x 2 0 的根的情况是 A 有两个不相等的正根 B 有两个不相等的负根 C 没有实数根 D 有两个相等的实数根 2 2011 年卢州市 若关于 x 的一元二次方程没有实数根 则实数m的取 2 20 xxm 值是 A B C D 1m 1m 1m 1m 3 2010 年芜湖市 已知关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 则 2 2xmx m 的取值范围是 A m 1 B m 2 C m 0 D m 0 4 2009 年资阳市 若 x 为任意实数时 二次三项式的值都不小于 0 则常数 c 2 6xxc 满足的条件是 A 0 B c 9 C c 0D c 9c 5 关于x的方程2kx2 8x 6 x2 0无实数根 求k的最小整数值 6 求证 不论m为任何实数 关于x的方程x2 2mx 6m 10 0总有两个不相等的实 数根 7 设a b c是 ABC的三边的长 且关于x的方程 c b x2 2 b a x a b 0有 4 两个相等的实数根 试判定 ABC的形状 不解一元二次方程 判断根的情况 不解一元二次方程 判断根的情况 例例 1 1 不解方程 判断下列方程的根的情况 1 2x2 3x 4 0 2 ax2 bx 0 a 0 根据方程根的情况 确定待定系数的取值范围 根据方程根的情况 确定待定系数的取值范围 例例 2 2 k的何值时 关于x的一元二次方程x2 4x k 5 0 1 有两个不相等的实数根 2 有两个相等的实数根 3 没有实数根 例例 3 3 2009 成都 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 则的x 2 210kxx k 取值范围是什么 证明字母系数方程有实数根或无实数根 证明字母系数方程有实数根或无实数根 例例 4 4 求证方程 m2 1 x2 2mx m2 4 0 没有实数根 应用根的判别式判断三角形的形状 应用根的判别式判断三角形的形状 例 5 2009 年黄石市 三角形两边的长是 3 和 4 第三边的长是方程 的根 则该三角形的周长为 2 12350 xx A 14B 12C 12 或 14D 以上都不对 例 6 重庆市江津区 已知 分别是 ABC 的三边 其中 1 4 且关于 x 的方程04 2 bxx有两个相等的实数根 试判断 ABC 的形状 例 7 已知 a b c为 ABC 的三边 当 m 0 时 关于x的方程c x2 m b x2 m 2ax 0 有两个相等的实数根 求证 ABC 为 Rt 判别式的综合应用判别式的综合应用 例 8 11 年潍坊 关于x的方程 2 6 860axx 有实数根 则整数a的最大值是 A 6B 7C 8D 9 例 9 一模东城 23 已知 关于的一元二次方程x 22 2 23 41480 xmxmm 1 若求证 方程有两个不相等的实数根 0 m 2 若 12 m 40 的整数 且方程有两个整数根 求的值 m 例 10 09 一模密云县 23 关于 x 的方程至少有一个整数解 2 2 3 2 0axaxa 5 且 a 是整数 求 a 的值 专题四 一元二方程的有关应用专题四 一元二方程的有关应用 一 增长率问题一 增长率问题 例 1 恒利商厦九月份的销售额为 200 万元 十月份的销售额下降了 20 商厦从十一月份起加强管理 改善经营 使销售额稳步上升 十二月份的销售额达到了 193 6 万元 求这两个月的平均增长率 二 利润问题二 利润问题 例 2 益群精品店以每件 21 元的价格购进一批商品 该商品可以自行定 价 若每件商品售价 a 元 则可卖出 350 10a 件 但物价局限定每件商品的利润不得 超过 20 商店计划要盈利 400 元 需要进货多少件 每件商品应定价多少 针对练习 针对练习 某商场销售一批名牌衬衫 平均每天可售出 20 件 每天盈利 40 元 为了扩大 销售 增加盈利 尽快减少库存 商场决定采取适当的降价措施 经调查发现 如果每件 衬衫每降价 1 元 商场平均每天可多售出 2 件 若商场平均每天要盈利 1200 元 每件衬衫 应降价多少元 三 等积变形三 等积变形 例 3 将一块长 18 米 宽 15 米的矩形荒地修建成一个花园 阴影部分 所占的面积为原来荒地面积的三分之二 精确到 0 1m 1 设计方案 1 如图 2 花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路 2 设计方案 2 如图 3 花园中每个角的扇形都相同 以上两种方案是否都能符合条件 若能 请计算出图 2 中的小路的宽和图 3 中扇形的半 径 若不能符合条件 请说明理由 四 动态几何问题四 动态几何问题 例 4 如图 4 所示 在 ABC 中 C 90 AC 6cm BC 8cm 点 P 从点 A 出发 沿边 AC 向点