第4章-多自由度系统的振动题解

62 习 题 4 1 在题 3 10 中 设 m1 m2 m l1 l2 l k1 k2 0 求系统的固有频率和主振型 解 由题 3 10 的结果 2 2 1 21 111 l gm l gmm kk 2 2 21 l gm k 2 2 12 l gm k 2 2 222 l gm kk 代入 mmm 21 0 21 kklll 21 可求出刚度矩阵 K 和质量矩阵 M m m M 0 0 l mg l mg l mg l mg K 3 由频率方程 得0 2 MpK 0 3 2 2 mp l mg l mg l mg mp l mg B 0 24 2 22 2 2 42 l gm p l gm pm l g p 22 1 l g p 22 2 为求系统主振型 先求出 adjB 的第一列 l mg mp l mg adjB 2 分别将频率值代入 得系统的主振型矩阵为 21 pp 和 1 12 1 A 1 12 2 A 题 4 1 图 63 4 2 题 4 2 图所示的均匀刚性杆质量为 m1 求系统的频率方 程 解 设杆的转角和物块位移 x 为广义坐标 利用刚 度影响系数法求刚度矩阵 k 设 画出受力图 并施加物体力偶与力0 1 x 由平衡条件得到 2111 k k 2 2 2 111 akbkk akk 221 设 画出受力图 并施加物体力偶与力 由平衡条件得到 1 0 x 2212 k k 12 kak2 akk 222 得作用力方程为 0 0 0 0 3 1 22 2 2 2 2 1 2 2 1 xakak akakbk x m am 由频率方程 得0 2 MKp 0 3 1 2 222 2 22 1 2 2 2 1 pmakak akpamakbk 4 3 题 4 3 图所示的系统中 两根长度为 l 的均匀刚性杆的质量为 m1及 m2 求系 统的刚度矩阵和柔度矩阵 并求出当 m1 m2 m 和 k1 k2 k 时系统的固有频率 解 如图取为广义坐标 分别画受力图 21 由动量矩定理得到 llkllkI 4 3 4 3 4 3 4 3 211111 224 3 4 3 4 3 4 3 22211122 ll kllkllkI 整理得到 0 16 9 16 9 2 2 11 2 111 lklkI 题 4 3 图 题 4 2 图 64 0 416 9 16 9 2 2 2 2 11 2 122 l klklkI 则刚度矩阵和柔度矩阵分别得 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 1 16 9 16 9 16 9 16 9 klklkl klkl K 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 44 4 9 164 1 lklk lklklk adjK K K 系统的质量矩阵为 2 2 2 1 2 1 48 7 0 0 3 1 0 0 lm lm I I M 由频率方程 并代入已知条件得 0 2 MKp 0 48 7 16 13 16 9 16 9 3 1 16 9 2222 2222 pmlklkl klpmlkl 整理得到 求得 0324813112 2 2 24 m k m k pp m k p6505 0 1 m k p6145 2 2 用刚度影响系数法求解刚度矩阵 令 分别由两杆的受力图 列平衡方程0 1 21 为 2 1 2 111 16 9 4 3 lk l kk 2 121 16 9 lkk 同理 令得到0 1 21 2 1 222 1 2 222 16 9 416 9 2 lkl k lk l kk 2 12112 16 9 lkkk 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 16 9 16 9 16 9 16 9 lklklk lklk k 65 4 4 题 4 4 图所示 滑轮半径为 R 绕中心的转动惯量为 2mR2 不计轴承处摩擦 并忽略绕滑轮的绳子的弹性及质量 求系统的固有频率及相应 的主振型 解 如图选 x1 x2 x3为广义坐标 利用刚度影响系数法 求刚度矩阵 k 设 画出受力图 并施加物体 0 1 321 xxx 312111 kkk 由平衡条件得到 kk 11 0 21 kkRk 31 设 画出受力图 并施加物体 由平衡条件得到 0 1 312 xxx 322212 kkk 0 12 kkk 22 kRk 32 设 画出受力图 并施加物体 由平衡条件得到 0 1 213 xxx 332313 kkk kRk 13 kRk 23 2 33 2kRk 则刚度矩阵和质量矩阵分别得 2 2 0 0 kRkRkR kRk kRk K 2 200 00 00 mR m m M 由频率方程 得0 2 MKp 0 22 0 0 222 2 2 pmRkRkRkR kRmpk kRmpk 展开为 解出频率为0 2 2 2222 Rkmppmpkm 0 1 p m k p 2 m k p 2 3 由特征矩阵的伴随矩阵的第一列 MKB 2 p 22 22 2 222222 222222 1 mpkkR pmRkRmpkRk RkpmRkRmpk adjB 并分别代入频率值 得系统的主振型矩阵为 题 4 4 图 66 RR 1 0 1 111 111 A 4 5 三个单摆用两个弹簧联结 如题 4 5 图所示 令 m1 m2 m3 m 及 k1 k2 k 试 用微小的角 和为坐标 以作用力方程方 1 2 3 法求系统的固有频率及主振型 解 如图选为广义坐标 利用刚度影 321 响系数法求刚度矩阵 K 设 画出受力图 并施加物0 1 321 体于 由平衡条件得到 312111 kkk mglkhk 2 11 2 21 khk 0 31 k 设 画出受力图 并施加物体 由平衡条件得到 0 1 312 322212 kkk 2 12 khk mglkhk 2 22 2 2 32 khk 设 画出受力图 并施加物体 由平衡条件得到 0 1 213 332313 kkk 0 13 k 2 23 khk mglkhk 2 33 题 4 5 图 67 则刚度矩阵和质量矩阵分别得 mglkhkh khmglkhkh khmglkh 22 222 22 0 2 0 K 2 2 2 00 00 00 ml ml ml M 特征矩阵 2222 22222 2222 0 2 0 lmpmglkhkh khlmpmglkhkh khlmpmglkh B 由频率方程 得0 0 2 MKp B 0 0 2 0 2222 22222 2222 pmlmglkhkh khpmlmglkhkh khpmlmglkh 展开为 03 2 22222222 2 2222 2 222222 222 2 2 2 2222222222 lmpmglkhlmpmgllmpmglkh khlmpmglkhlmpmglkhlmpmglkh lmpmglkhkh khlmpmglkhlmpmglkhlmpmglkh 0 4 4 4222222222 hkpmlmglkhpmlmglpmlmgl 解出频率为 l g p 1 2 2 2 ml kh l g p 2 2 3 3 ml kh l g p 由特征矩阵的伴随矩阵的第一列 MKB 2 p 68 42 2222 42222222 1 2 hk pmlmglkhkh hkpmlmglkhpmlmglkh adjB 并分别代入频率值 得系统的主振型矩阵为 111 201 111 A 4 6 题 4 6 图所示的简支梁的抗弯刚度为 EJ 本身质量不计 以微小的平动 x1 x2和 x3为坐标 用位移方程方法求出系统的固有频率及主振型 假设 m1 m2 m3 m 解 如图取广义坐标 用柔度影响系数 法求柔度矩阵 首先 仅在质量处施加竖直单位力 1 m F 1 其余各质量块处不受力 则产生的 1 m 静挠度是 处产生的静挠度是 处产生的静挠度是 则由材料力学知 11 2 m 21 3 m 31 识 得到 EJ l 768 9 3 11 EJ l 768 11 3 21 EJ l 768 7 3 31 同理可得到其它柔度矩阵的各列 最后得到柔度矩阵为 9117 111611 7119 768 3 EJ l 得到系统的位移方程为 3 2 13 3 2 1 00 00 00 9117 111611 7119 768 x x x m m m EJ l x x x 由系统的特征矩阵 得频率方程 即IML 2 1 p 0 L 0 9117 111611 7119 题 4 6 图 69 其中 展开频率方程为 2 3 1 768pEJ ml 0 1432 2 22 解出 444 0 2 556 31 321 由特征矩阵的伴随矩阵的第一列 分别代入特 16 7121 9 1177 121 9 16 2 2 2 Ladj 征值 得到主振型为 000 1 000 1 000 1 414 1 000 0 414 1 000 1 000 1 000 1 A 4 7 如题 4 7 图所示 用三个弹簧连接的四个质量块可以沿水平方向平动 假设 m1 m2 m3 m4 m 和 k1 k2 k3 k 试用作用力方程计算系统的固有频率及主振型 解 如图选择广义坐标 求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为 kk kkk kkk kk 00 20 02 00 K m m m m 000 000 000 000 M 由频率方程 得0 2 MKp 0 00 20 02 00 2 2 2 2 mpkk kmpkk kmpkk kmpk 因此可得到频率方程 264432223 61040pp mkp mk p mk m 解出 2 1 0 p 2 2 22 k p m 2 3 2k p m 2 4 22 k p m 题 4 7 图 70 解出频率为 0 1 p m k p 22 2 m k p 2 3 m k p 22 4 由特征矩阵 MKB 2 p 2 2 2 2 00 20 02 00 kp mk kkp mk B kkp mk kkp m 特征矩阵的伴随矩阵的第一列 3 22 322 222222 1 2 2 2 k mpkk kmpkmpkk mpkkmpkkmpkmpk adjB 3224263 32242 322 3 65 3 kk p mkp mp m kk p mkp m kk p m k 将 代入 即得 归一化 得 1 0p 3 3 1 3 3 k k k k A 1 1 1 1 1 A 将 代入 得 归一化 得 2 2 22 k p m 3 3 2 3 3 12 12 k k k k A 2 1 12 12 1 A 将代入 得 归一化 得 2 3 2k p m 3 k k k k A 3 1 1 1 1 A 将代入 得 归一化 得 4 22 k p m 4 12 12 k k k k A 4 1 12 12 1 A 得系统的主振型矩阵为 71 1111 211121 211211 1111 A 各阶主振型如下图所示 4 8 题 4 8 图表示一座带有刚性梁和弹性立柱的三层楼建筑 假设 m1 m2 m3 m h1 h2 h3 h EJ1 3EJ EJ2 2EJ EJ3 EJ 用微小的水平平动 x1 x2和 x3为坐标 用位移方程方法求出 系统的固有频率和正则振型矩阵 解 由材料力学知 当悬臂梁自由端无转角时 其梁的 等效刚度为 由此可将题 4 11 图等效为 a 图 其 3 12 l EJ k 中 3 1 1 1 12 2 h EJ k 3 2 2 2 12 2 h EJ k 3 3 3 3 12 2 h EJ k 广义坐标如图 a 示 利用柔度影响系数法求柔度矩阵 即 对图 a 中的 施加单位力 其余不受力 此时第一个弹簧变形为 第二和第三个弹簧变形为零 1 m 1 1 k 由此可得个坐标位移为 1 11 1 k 1 21 1 k 1 31 1 k 同理求出其余各列 最后得到柔度矩阵为 1152 552 222 144 3 EJ h 题 4 8 图 72 系统的质量矩阵为 m m m 00 00 00 M 得到系统的位移方程为 3 2 13 3 2 1 00 00 00 1152 552 222 144 x x x m m m EJ h x x x 由系统的特征矩阵 得频率方程 即IML 2 1 p 0 L 0 1152 552 222 其中 展开频率方程为 2 3 1 144pEJ mh 0365418 3223 解出 954 0 62 2 43 14 321 解出固有频率为 3 1 979 9 mh EJ p 3 2 07 55 mh EJ p 3 3 151 mh EJ p 由特征矩阵的伴随矩阵的第一列 分别代入特 5 210 11 210 251 11 5 2 2 2 Ladj 征值 得到主振型为 1220 0 037 1 929 3 645 0 377 1 295 2 000 1 000 1 000 1 A 主质量振型为 m m m T P 4303 1 00 09243 3 0 006508 21 MAAM 正则振型的第 i 列为 由此得到正则振型振型为 i i i N M AA 1 1017 0 5278 0 8432 0 5390 0 6848 0 4927 0 8361 0 5049 0 2149 0 1 m N A 73 柔度矩阵还可以这样解出 时 123 10FFF 3 1 11 1 24 h EJ 3 1 12 1 24 h EJ 3 1 13 1 24 h EJ 213 1 0FFF 时 33 12 22 12 2424 hh EJEJ 33 12 23 12 2424 hh EJEJ 时 312 10FF F 3 1 31 1 24 h EJ 33 12 32 12 2424 hh EJEJ 233 312 33 123 242424 hhh EJEJEJ 3 1 1 3 1 1 3 1 1 24 24 24 h EJ h EJ h EJ 3 1 1 33 12 12 33 12 12 24 2424 2424 h EJ hh EJEJ hh EJEJ 3 1 1 33 12 12 233 312 123 24 2424 242424 h EJ hh EJEJ hhh EJEJEJ 4 9 在题 4 9 图所示的系统中 各个质量只能沿铅垂方向运动 假设 m1 m2 m3 m k1 k2 k3 k4 k5 k6 k 试求系统的固有频率及振型矩阵 解 如图选择广义坐标 求质量矩阵及利用刚度影响系数 法求刚度矩阵为 m m m 00 00 00 M kkk kkk kkk 3 3 3 K 由频率方程 得0 2 MKp 0 3 3 3 2 2 2 mpkkk kmpkk kkmpk 解出频率为 题 4 9 图 74 m k p 1 m k p2 2 m k p2 3 由特征矩阵的伴随矩阵的第一列 MKB 2 p 3 3 3 22 22 222 1 mpkkk mpkkk kmpk adjB 将代入得系统的第一阶主振型为 m k p 1 T 111 1 A 满足如下关系 2 A 0 1 2 MAA T 0 2 2 2 AMKp 展开以上二式得 取 可得到 即0 2 3 2 2 2 1 AAA0 2 2 A1 2 1 A1 2 3 A 有 T 101 2 A 满足如下关系 3 A 0 3 1 MAA T 0 3 2 MAA T 0 3 2 3 AMKp 展开以上二式得 联立得 取0 3 3 3 2 3 1 AAA0 3 3 3 1 AA 3 3 3 1 AA 可得到 即得1 3 1 A1 3 3 A2 3 2 A T 121 3 A 主振型矩阵为 111 201 111 A 4 10 试计算题 4 5 的系统对初始条件和的响应 T 0 00 T 0 000 解 在习题 4 5 中已求得系统的主振型矩阵和质量矩阵分别为 75 111 201 111 A 2 2 2 00 00 00 ml ml ml M 主质量振型为 600 020 003 2 ml T P MAAM 正则振型的第 i 列为 由此得到正则振型振型为 1 i i i N M AA 132 202 132 6 1 2 ml N A 初始条件为 0 0 0 MAT NN 2 0 2 6 2 ml 0 0 MAT NN 正则坐标的响应为 tpl m N11 cos 3 0 2 N tpl m N33 cos 3 2 由 展开得到 1 1 NN A 2 2 NN A 3 3 NN A tptp 31 3 2 1 cos 1 2 1 3 cos 1 1 1 3 其中 l g p 1 2 2 2 ml kh l g p 2 2 3 3 ml kh l g p 4 11 试计算题 4 7 的系统对初始条件和 的响 T 0 0000 x T 0 00vvx 应 解 在习题 4 7 中已求得系统的主振型矩阵和质量矩阵分别为 题 4 5 图 题 4 7 图 76 1234 1 1 1 1 1 121 12 11 12 12 1 1 1 1 p AAAAA 1111 211121 211211 1111 A m m m m 000 000 000 000 M 主质量振型为 657 13000 0000 4 00 00414 0 0 000000 4 m T P MAAM 正则振型的第 i 列为 由此得到正则振型振型为 1 i i i N M AA 2706 0 5000 0 6533 0 5000 0 6533 0 5000 0 2706 0 5000 0 6533 0 5000 0 2706 0 5000 0 2706 0 5000 0 6573 0 5000 0 1 m N A 正则坐标初始条件为 0 0 50000 50000 50000 5000100000 0 65330 27060 27060 6533010000 0 0 50000 50000 50000 5000001000 0 27060 65330 65330 2706000100 T NN xA Mxm 0 0 50000 50000 50000 500010001 0 65330 27060 27060 6533010000 0 0 50000 50000 50000 5000001001 0 27060 65330 65330 270600010 T NN v xA Mxmmv v 0 0 0 MxAx T NN 0 0 xMAx T NN T vvm00 正则坐标的响应为 其中频率为vtmxN 1 0 2 N xtp p mv xN 3 3 3 sin 0 4 N x m k p 2 3 最终得到响应 由 展开得到 1 1 NN xAx 2 2 NN xA 3 3 NN xA 4 4 NN xA 77 tp p vvt x x x x 3 3 4 3 2 1 cos 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 3 3 3 31234 1234 3 3 3 3 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 NNNNNNNN v tp t p v tp t p xA xAxA xAx v tp t p v tp t p 4 12 试确定题 4 8 中三层楼建筑框架由于作用于第三层楼水平方向的静载荷 P 忽 然去除所引起的响应 解 在习题 4 8 中已求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵 分别为 1017 0 5278 0 8432 0 5390 0 6848 0 4927 0 8361 0 5049 0 2149 0 1 m N A m m m 00 00 00 M 当作用于第三层楼水平方向的静载荷 P 忽然去除时 相当 于受到了初始条件的激励 即 11 5 2 144 3 0 EJ Ph x 0 0 0 0 x 正则坐标初始条件为 0 0 MxAx T NN 099 0 379 1 168 12 144 3 EJ mPh 0 0 xMAx T NN 0 0 0 正则坐标的响应为 tp tp tp EJ mPh N 3 2 1 3 cos099 0 cos379 1 cos168 12 144 x 由 展开得到 1 1 NN xAx 2 2 NN xA 3 3 NN xA 题 4 8 图 78 tptptp tptptp tptptp EJ Ph 321 321 321 3 cos010 0 cos727 0 cos258 10 cos053 0 cos938 0 cos999 5 cos083 0 cos702 0 cos616 2 144 x 其中 3 1 979 9 mh EJ p 3 2 07 55 mh EJ p 3 3 151 mh EJ p 4 13 假定一个水平向右作用的斜坡力施加与题 4 5 中中间摆的质量上 试确定系统的响应 t R 解 在习题 4 10 中已求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵分别为 132 202 132 6 1 2 ml N A 2 2 2 00 00 00 ml ml ml M 由题意 施加的作用力为 0 0 Rtlf 将作用力变换到正则坐标 6 2 0 3 1 lm Rt T NN fAq 由方程 2 28 得到对于斜坡力的卷积积分 第 i 个正则坐标的响应 sin 1 2 tp p t p q i ii Ni Ni 用正则坐标表示的位移矢量 N 2 3 3 3 2 1 1 1 1 sin 1 6 2 0 1 sin 1 3 1 p tp p t p tp p t m R 题 4 5 图 79 由 展开得到 NN A sin 1 1 sin 1 1 sin 1 2 sin 1 1 sin 1 1 sin 1 1 3 3 3 2 3 1 1 2 1 3 3 2 3 1 1 2 1 3 3 2 3 1 1 2 1 tp p t p tp p t p tp p t p tp p t p tp p t p tp p t p ml R 其中 l g p 1 2 2 2 ml kh l g p 2 2 3 3 ml kh l g p 4 14 试确定题 4 7 的系统对作用于质量 m1和质量 m4上的阶跃力 F1 F4 F 的响应 解 在习题 4 11 中已求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵分别为 2706 0 5000 0 6533 0 5000 0 6533 0 5000 0 2706 0 5000 0 6533 0 5000 0 2706 0 5000 0 2706 0 5000 0 6573 0 5000 0 1 m N A m m m m 000 000 000 000 M 由题意 施加的作用力为 F F 0 0 f 将作用力变换到正则坐标 0 1 0 1 m F T NN fAq 用正则坐标表示的位移矢量 题 4 7 图 80 N x 0 cos1 1 0 2 3 2 3 2 tp p t m F 由 展开得到 NNx Ax x cos1 2 1 4 cos1 2 1 4 cos1 2 1 4 cos1 2 1 4 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 tp p t tp p t tp p t tp p t m F 其中 m k p 2 3 4 15 在题 4 8 的三层楼建筑中 假定地面的水平运动加速度 试求各层楼板相taxs sin 对于地面的稳态水平强迫振动 解 在习题 4 12 中已求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵 分别为 1017 0 5278 0 8432 0 5390 0 6848 0 4927 0 8361 0 5049 0 2149 0 1 m N A m m m 00 00 00 M 由题意 施加的作用力为 tma tma tma S sin sin sin f 将作用力变换到正则坐标 m S T NNS 1 fAq tma tma tma sin3988 0 sin6604 0 sin5510 1 用正则坐标表示的位移矢量 题 4 8 图 81 Nr x 2 3 3 2 2 2 2 1 1 3988 0 6604 0 5510 1 sin p p p m tma 由 展开得到 NrNr xAx r x 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 3 3 2 2 2 2 1 1 0407 0 3484 0 3080 1 2150 0 4511 0 7642 0 3334 0 3334 0 3335 0 sin ppp ppp ppp ta 其中 i 1 2 3 2 1 1 i i p 3 1 979 9 mh EJ p 3 2 07 55 mh EJ p 3 3 151 mh EJ p 4 16 质量为 m1的滑块用两个刚度分别为 k1及 k2的弹簧连接在基础上 滑块上有 质量为 m1 摆长为 l 的单摆 假设 m1 m2 m 及 k1 k2 k 基础作水平方向的简谐振动 其taxs sin 中 试求 1 单摆的最大摆角 2 系 m k max 统的共振频率 解 如图所示选择广义坐标 利用质量影响系数法求质量矩阵 设 画惯性力及 由平衡条件得到 0 1 x 2111 m m mm2 11 mlm 21 设 画惯性力及 由平衡条件得到 1 0 x 2212 m mmlm 12 2 22 mlm 利用刚度影响系数法求刚度矩阵 k 设 画出受力图 并施加物块力 列平衡方程 得到0 1 x 2111 k k kk2 11 0 21 k 设 画出受力图 并施加物块力 列平衡方程 得到1 0 x 2212 k k 题 4 16 图 82 0 12 kmglk 22 得作用力方程为 t kax mgl kx mlml mlm sin 0 2 0 022 2 令为稳态响应 代入上式得 t B Bx sin 2 1 0 22 0 02 2 1 2 2 ka B B mlml mlm mgl k 展开为 kaBmlBmk2 22 2 2 1 2 0 2 22 1 2 BmlmglBml 将代入可得到 稳态运动时有 则有 m k l a B 2 2 t l a t sin 2 l a2 max 由频率方程 得0 2 MKp 0 22 222 22 mlpmglmlp mlpmpk 展开为 解出频率为0 22 22222 mlppmlmglmpk 22 1 m k l g m k l g p 22 2 m k l g m k l g p 即为共振频率 4 17 题 4 17 图示的系统中 各个质量只能沿铅垂方向运动 假设在质量 4m 上作 用有铅垂力 试求 各个质量的强迫振动振幅 tP cos 0 系统的共振频率 解 如图选择广义坐标 利用刚度影响系数法求刚度 矩阵为 题 4 17 图 83 kk kk kkk 302 0 27 K 系统的质量矩阵为 m m m 200 00 004 M 由频率方程 得0 2 MKp 0 2302 0 247 2 2 2 mpkk mpkk kkmpk 解得 m k p590 0 1 m k p211 1 2 m k p449 2 3 由特征矩阵的伴随矩阵的第一列 MKB 2 p 2 23 23 2 2 22 1 mpkk mpkk mpkmpk adjB 并分别代入频率值 得系统的主振型矩阵为 087 1 462 3 104 1 690 0 742 4 439 2 000 1 000 1 000 1 A 主质量振型为 m m m T P 839 6 00 0452 500 00386 12 MAAM 正则振型的第 i 列为 由此得到正则振型振型为 1 i i i N M AA 415 0 488 0 314 0 264 0 669 0693 0 382 0141 0282 0 1 m N A 正则坐标表示的微分方程 NNN p p p qxx 2 3 2 2 2 1 00 00 00 84 由题意 施加的作用力为 t P cos 0 0 0 f 将作用力变换到正则坐标 t m P T NN cos 382 0 141 0 284 0 0 fAq 用正则坐标表示的位移矢量 N xt m P cos 382 0 141 0 284 0 31 21 11 0 其中 i 1 2 3 22 1 1 i i p 由 展开得到 NNx Ax xt m P cos 159 0 069 0 089 0 101 0 094 0 197 0 146 0 020 0 081 0 312111 312111 312111 0 可用直接方法求解 列出运动方程 011 22 33 40072 0000cos