离散型随机变量的均值教案

1 关于关于 离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值 的说课稿的说课稿 银川二中 西校区 黄海霞银川二中 西校区 黄海霞 说课内容 普通高中人教 A 版 数学 选修 2 3 第二章第 3 节第一课时 离散型随机变量的均值 下面 我将分别从背景分析 教学目标设计 课堂结构设计 教学媒体设 计 教学过程设计及教学评价设计等六个方面对本节课的设计进行说明 一 背景分析 一 背景分析 1 学习任务分析 学习任务分析 离散型随机变量的均值 是 随机变量及其分布 第三节第一小节的内 容 本节课是第一课时 本节课主要的学习任务是从平均的角度引入离散型随 机变量均值的概念 引导学生通过实际问题建立取有限值的离散型随机变量均 值的概念 然后推导出离散型随机变量均值的线性性质 bXaEbaXE 取有限值的离散型随机变量的均值是在学生学习完离散型随机变量及其分 布列的概念基础上 进一步研究离散型随机变量取值特征的一个方面 学习本节 课的内容既是随机变量分布的内容的深化 又是后续内容离散型随机变量方差 的基础 所以学好本节课是进一步学习离散型随机变量取值特征的其它方面的 基础 离散型随机变量的均值是刻画离散型随机变量取值的平均水平的一个数字 特征 是从一个侧面刻画随机变量取值的特点 在实际问题中 离散型随机变量的均值具有广泛的应用性 因此我以为本节 课的重点是 取有限值的离散型随机变量均值的概念 2 学生情况分析 学生情况分析 本节课之前 学生已有平均值 概率 离散型随机变量及其分布列 二项 分布及其应用等基础知识 具备了学习本节知识的知识储备 本节课是一节概念 新授课 教材从学生熟悉的平均值出发 从身边的实际问题中抽象出了取有限 值的离散型随机变量均值的概念 这需要一定的概括和抽象能力 鉴于学生的概 括 抽象能力不是太强 因此学生对概念的形成和理解会有一定的困难 基于以上认识 我以为本节课的教学难点是 离散型随机变量均值概念的 形成和理解 2 二 教学目标设计 二 教学目标设计 依据 普通高中数学课程标准 实验 对本节课的要求 并考虑到学生的 实际和学习能力 特将本节课的教学目标设定为 1 通过实际问题 使学生体会离散型随机变量均值的概念 理解离散型随 机变量均值的线性性质 会计算简单的离散型随机变量的均值 并能解决一些 简单的实际问题 2 通过离散型随机变量均值概念的探究形成 经历建构数学概念这一过程 使学生学会概括 抽象数学问题的方法 通过简单的应用 培养学生的数学应 用意识 三 课堂结构设计 三 课堂结构设计 本节课从总体上讲是一节概念教学课 在教学活动中 学生是一个积极的探 索者 教师的作用是要创设一种学生能够主动探究的情境 帮助学生形成科学 的数学概念 基于这种考虑 结合本节课知识的逻辑关系 我设计了以下的学 习顺序 结合生活中的实际问题 提出问题 引出概念 结合生活中的实际问题 提出问题 引出概念 体验数学 形成离散型随机变量的均值的概念 体验数学 形成离散型随机变量的均值的概念 建立数学 进一步探索离散型随机变量均值的建立数学 进一步探索离散型随机变量均值的 线性组合性质 线性组合性质 应用数学 会计算简单的离散型随机变量的均值 应用数学 会计算简单的离散型随机变量的均值 提高认识提高认识 引入新课 引入新课 问题情境问题情境 组织探究组织探究 探索研究探索研究 概念应用概念应用 题 研 究总结反思总结反思 创设情景创设情景 布置作业布置作业巩固新知巩固新知 3 四 教学媒体设计 四 教学媒体设计 根据本节课的教学任务以及学生学习的需要 教学媒体的设计如下 1 1 多媒体辅助教学 多媒体辅助教学 考虑到本节课需要呈现的教学内容较多 为节约课时 增加课堂容量起见 计划采用多媒体辅助手段 2 2 设计科学合理的板书 设计科学合理的板书 为使学生对本节课所学习的内容有一个整体的认识 并明了知识脉络 形 成知识网络 特设计板书如下 五 教学过程设计 五 教学过程设计 课标指出 数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程 是教师和 学生互动的过程 是师生共同发展的过程 为有序 有效地进行教学 本节课 我主要安排以下五个活动 活动一 创设情景 引入新课活动一 创设情景 引入新课 教师 教师 讲述 前面我们学习了离散型随机变量分布列的概念 研究了一些简单 离散型随机变量的分布 建立了二项分布 超几何分布等应用广泛的概率模型 离散型随机变量的分布列刻画了随机变量取值的概率规律 但往往还需进一步 了解离散型随机变量取值的特征 比如下面的问题 提出问题 某商场为满足市场需求要将单价分别为 18 元 kg 24 元 kg 36 元 kg 的 3 种糖果按 3 2 1 的 比例混合销售 其中混合糖果中每一颗糖果 的质量都相等 如何对每千克混合糖果定价才合理 学生经过合作讨论 可能会得到以下两种认识 学生经过合作讨论 可能会得到以下两种认识 一种认识 定价应为 26 26 元元 千克千克 182436 3 2 3 1 离散型随机变量的均值 1 离散型随机变量均值的定义 例 1 2 离散型随机变量均值的线性步骤 例 2 3 离散型随机变量均值的线性性质 例 3 4 另一种认识 定价应为 元元 千克千克 182436 2 6 321 3 下面 教师引导学生讨论 下面 教师引导学生讨论 以上两种认识 哪一种定价才是混合糖果的合理价格呢 在此基础上 师生共同分析 在此基础上 师生共同分析 设每份混合糖的质量为 m 千克 那么其中价格为 18 元 千克的糖果的质量 为 3m 千克 价格为 24 元 千克的糖果的质量为 2m 千克 价格为 36 元 千克的 糖果的质量为 m 千克 那么混合糖的总质量为 6m 千克 总价为 18 3m 24 2m 36 m 元 经过讨论后 使学生认识到 经过讨论后 使学生认识到 平均每千克混合糖果的价格应为 18 324 236 6 mmm m 182463132 6 元 千克 更为合理 111 18243623 236 接着 教师提出问题 接着 教师提出问题 上述算式中的分数 的意义是什么 1 2 1 3 1 6 在学生思考后 教师指出 在学生思考后 教师指出 讲述 上面的平均值实际是一种加权平均数 其中 表示一种权重系数 1 2 1 3 1 6 也称为权数 在计算平均数时 权数可以表示总体中的各种成分所占的比例 权 数越大的数据在总体中所占的比例越大 它对加权平均数的影响也越大 加权平 均数是不同比重数据的平均数 加权平均数就是把原始数据按照合理的比例 来计算 通过师生交流 使学生达成共识 通过师生交流 使学生达成共识 讲述 表示价格为 18 元 千克的糖果在混合糖果中所占比例 表示价格为 1 2 1 3 24 元 千克的糖果在混合糖果中所占比例 表示价格为 36 元 千克的糖果在 1 6 混合糖果中所占比例 接下来 教师进一步提出问题 接下来 教师进一步提出问题 讲述 在搅拌均匀的混合糖果中 如果每一颗糖果的质量都相等 那么在混合 糖果中任取一颗糖果 取到每颗糖果的可能性相等 这样在混合糖果中任取一 5 颗 取到的糖果恰好是价格为 18 元 千克的糖果的概率是多少 恰好是价格为 24 元 千克的糖果的概率是多少 恰好是价格为 36 元 千克的糖果的概率是多 少 经过讨论后 学生达成以下共识 经过讨论后 学生达成以下共识 在混合糖果中任取一颗 取到的糖果恰好是价格为 18 元 千克的概率是 1 2 恰好是价格为 24 元 千克的概率是 恰好是价格为 36 元 千克的概率是 1 3 1 6 教师给予肯定 并指出每千克混合糖果的平均价格的算式中教师给予肯定 并指出每千克混合糖果的平均价格的算式中 的概率的概率 1 2 1 3 1 6 意义 意义 讲述 接下来 教师又进一步提出问题 接下来 教师又进一步提出问题 假如从这种混合糖果中随机选取一颗 记为这颗糖果的原来单价 元 X 千克 你能写出的分布列吗 X 学生经过讨论后 不难得出随机变量学生经过讨论后 不难得出随机变量的分布列为 的分布列为 X X182436 P 1 2 1 3 1 6 这时 教师在此提出问题 这时 教师在此提出问题 每千克混合糖果的平均价格用 X 的取值及其相应的概率如何表示呢 由于上面的铺垫 学生得出 由于上面的铺垫 学生得出 每千克混合糖果的平均价格恰为 元 千克 23 6 1 36 3 1 24 2 1 18 即 18 P X 18 24 P X 24 36 P X 36 23 元 千克 此时 教师指出 此时 教师指出 讲述 这里混合糖果的平均价格 其实就是随机变量 X 的取值与其相应概率乘积 之和 这就是本节课要研究的离散型随机变量的均值 教师板书课题 离散型离散型 随机变量的均值随机变量的均值 设计意图 设计意图 以学生熟悉的实际生活问题为背景 从求学生熟悉的样本平均 数为出发点 以问题串为主线 以师生互动为基本活动方式 采用小碎步 层 层递进 逐步深入的方法 最终得出 离散型随机变量 X 取值的平均值就是离 散型随机变量 X 的所有取值与其相应概率乘积之和 的结论 这样 既可使学生 6 感受数学与生活的联系 又可激发学生的学习兴趣和热情 同时更是考虑到 离 散型随机变量的均值 这一知识的最近发展区就是样本平均值与概率 有利于 学生进行知识的正向迁移 也为下一步学生通过概括 抽象得出科学定义做好 了铺垫 活动二 概括抽象 构建概念 活动二 概括抽象 构建概念 教师 提出问题 教师 提出问题 一般地 什么叫离散型随机变量的均值 先由学生尝试定义 教师修正 最后教师再给出形式化定义 先由学生尝试定义 教师修正 最后教师再给出形式化定义 一般地 若离散型随机变量 X 的概率分布为 则称为随机变量 X 的均值均值或数学 nnii pxpxpxpxpxXE 332211 期望 数学期望又简称为期望期望 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 设计意图 设计意图 这样设计可以使学生经历离散型随机变量均值概念的形成过程 体验从具体问题中概括 抽象 形成定义的思想方法 体会概括 抽象是一种 常用的数学逻辑方法 使学生学会科学定义的方法 活动三 例题分析 应用示范活动三 例题分析 应用示范 例题例题 1 1 在篮球比赛中 罚球命中 1 次得 1 分 不中得 0 分 如果某篮球运 动员罚球命中的概率为 0 7 那么他罚球 1 次的得分的均值是多少 幻灯片X 呈现 教师分析教师分析 求运动员罚球 1 次的得分的均值 根据离散型随机变量均值X 的定义 需先求出随机变量的分布列 然后可根据定义式算出 X 的均值 X 师生共同给出规范解答 师生共同给出规范解答 解 离散型随机变量 X 的分布列为 X10 P0 70 3 由此可根据随机变量均值的定义 利用公式得 X P 7 7 03 007 01 XE 设计意图 设计意图 例 1 的设计是为巩固并加深学生对本节数学概念的理解 同时 也是为了对解答简单应用题做好示范 以规范学生的解题过程 练习练习 1 1 离散型随机变量的概率分布列为 X 1 求可能取值的算术平均数 2 求的均值 XX 学生思考 独立完成 教师修正点评 解 1 100 150 5 2 X 21 0 01 100 0 9999 01E X 设计意图设计意图 设计练习 1 是为了让学生进一步理解离散型随机变量的均值是 反映随机变量在随机试验中取值的平均值 它是概率意义下的平均值 不同于 相应数值的算术平均数 思考 离散型随机变量的均值与样本平均值之间的联系和区别是什么 思考 离散型随机变量的均值与样本平均值之间的联系和区别是什么 结论 从定义可以看出 随机变量的均值是一个常数 而样本的均值是 一个随机变量 这是两个均值的根本区别 对于简单随机样本而言 随着样本容量的增加 样本的平均值越来越接 近于随机变量的均值 设计意图 设计意图 设计这样的问题意在使学生弄清离散型随机变量的均值与样本 平均值之间的联系和区别 有利于加深对离散型随机变量均值的理解和认识 活动四 从具体实例中发现归纳 得出离散型随机变量均值的线性性质活动四 从具体实例中发现归纳 得出离散型随机变量均值的线性性质 教师 教师 提出问题提出问题 某同学代表班级参加射击比赛 每连续射击 10 次 其中有 3 次中 10 环 5 次中 9 环 2 次中 8 环 1 求此同学射击一次中靶的环数的均值为多少 2 如果把该同学射击一次所得环数的 2 倍再加 5 记为该同学的射击成绩 Y 即 那么试求 Y 的均值 52 XY 学生 在教师的启发和引导下 解答问题学生 在教师的启发和引导下 解答问题 X1100 P0 010 99 8 教师 请生思考 教师 请生思考 当随机变量 X 和 Y 的具有线性关系时 它们的均值是否也具有线性关系呢 学生 思考 得出结论 学生 思考 得出结论 当随机变量 X 和 Y 的具有线性关系时 它们的均值也具有线性关系 另外 也可以引导学生通过类比平均数的线性性质 来发现离散型随机变另外 也可以引导学生通过类比平均数的线性性质 来发现离散型随机变 量均值的线性性质量均值的线性性质 由此 教师再引导学生对一般情况作出猜想 由此 教师再引导学生对一般情况作出猜想 学生 猜想 得出结论 学生 猜想 得出结论 若若为离散型随机变量 且为离散型随机变量 且 其中 其中 为常数 为常数 XYaxb ab 则则E aXbaE Xb 师生对此猜想给出证明 师生对此猜想给出证明 证明 设离散型随机变量 X 的概率分布为 1 2 3 ii P YaxbP Xxin 而 所以 Y 的分布列为 nn pbaxpbaxpbaxpbaxYE 332211 nnn ppppbpxpxpxpxa 321332211 bXaE 设计意图 设计意图 从具体实例出发 通过观察 思考 类比 从特殊例子中归纳从具体实例出发 通过观察 思考 类比 从特殊例子中归纳 猜想 得出离散型随机变量均值的线性性质的一般规律 意在使学生的思维遵猜想 得出离散型随机变量均值的线性性质的一般规律 意在使学生的思维遵 循学生认识问题的一般规律 也为培养学生善于观察思考 发现新问题 新知循学生认识问题的一般规律 也为培养学生善于观察思考 发现新问题 新知 识 勇于探索 追求真理的思维习惯和科学精神识 勇于探索 追求真理的思维习惯和科学精神 练习练习 2 2 4 若若E E 3 3 2 2则则E E X 1 X 2 X 3 X n X P 1 P 2 P 3 P n P Y 1 axb 2 axb 3 axb n axb P 9 根据离散型随机变量均值的线性性质 此练习由学生独立完成 教师请生口 答 练习练习 3 3 某篮球运动员 3 分球投篮命中的概率是 在某次三分远投比赛 3 2 中 共投篮 3 次 设是他投中的次数 1 求 E 2 若投中 1 次得 3 分 求他得分的均值 给生约 2 分钟的时间 由学生独立完成 教师点评 设计意图 设计意图 练习 2 和练习 3 是离散型随机变量均值的线性性质的直接运用 以加强对公式的理解 并提高自觉运用离散型随机变量均值的线性性质解决问 题的能力 活动五 归纳小结 布置作业活动五 归纳小结 布置作业 一 归纳小结 一 归纳小结 这节课我们学习了什么知识 这节课我们学习了什么知识 1