简支梁的相关计算

首页教学队伍教学内容教学方法实践教学教学效果教科研成果课程特色 第十章第十章 弯曲梁的设计弯曲梁的设计 第一节第一节 梁平面弯曲的概念和弯曲内力梁平面弯曲的概念和弯曲内力 一 弯曲的概念一 弯曲的概念 工程实际中 存在大量的受弯曲杆件 如火车轮轴 桥式起重机大梁 如图 10 1 1 图 10 1 2 所示 这类 杆件受力的共同特点是外力 横向力 与杆轴线相垂直 变形时杆轴线由直线变成曲线 这种变形称为弯 曲变形 以弯曲变形为主的杆件称为梁 图 10 1 1 火车轮轴 图 10 1 2 起重机大梁 工程中常见的梁 其横截面通常都有一个纵向对称轴 该对称轴与梁的轴线组成梁纵向对称面 如图 10 1 3 所示 图 10 1 3 梁的纵向对称 如果梁上所有的外力都作用于梁的纵向对称平面内 则变形后的轴线将在纵向对称平面内变成一条平 面曲线 这种弯曲称为平面弯曲 平面弯曲是弯曲问题中最基本 最常见的 所以 这里只讨论平面弯曲 问题 二 梁的计算简图及基本形式二 梁的计算简图及基本形式 梁上的荷载和支承情况比较复杂 为便与分析和计算 在保证足够精度的前提下 需要对梁进行力学 简化 一 梁的简化 为了绘图的方便 首先对梁本身进行简化 通常用梁的轴线来代替实际的梁 二 荷载分类 作用在梁上的载荷通常可以简化为以下三种类型 1 集中荷载 当载荷的作用范围和梁的长度相比较是很小时 可以简化为作用于一点的力 称为 集中荷载或集中力 如车刀所受的切削力便可视为集中力 P 如图 10 1 4 a 所示 其单位为牛 N 或 千牛 kN 2 集中力偶 当梁的某一小段内 其长度远远小于梁的长度 受到力偶的作用 可简化为作用在某一截面上的力偶 称为集中力偶 如图 10 1 4 b 所示 它的单位为牛 米 N m 或千牛 米 kN m 3 均布载荷 沿梁的长度均匀分布的载荷 称为均布载荷 分布载荷的大小用载荷集度 q 表示 均布集度 q 为常数 如图 10 1 4 c 所示 其单位为牛 米 N m 或千牛 米 k m 三 梁的基本形式 按照支座对梁的约束情况 通常将支座简化为以下三种形式 固定铰链支座 活动铰链支座和固定 端支座 这三种支座的约束情况和支反力已在静力学中讨论过 这里不再重复 根据梁的支承情况 一般 可把梁简化为以下三种基本形式 1 简支梁 梁的一端为固定铰链支座 另一端为活动饺链支座的梁称为简支梁 如图 10 1 5 a 2 外伸梁 外伸梁的支座与简支梁一样 不同点是梁的一端或两端伸出支座以外 所以称为外伸梁 如图 10 1 5 b 3 悬臂梁 一端固定 另一端自由的梁称为悬臂梁 如图 10 1 5 c 图 10 1 4 载荷类 图 10 1 5 梁的类 以上三种梁的未知约束反力最多只有三个 应用静力平衡条件就可以确定这三种形式梁的内力 三 三 梁弯曲时的内力梁弯曲时的内力 剪力和弯矩计算剪力和弯矩计算 作用于梁上的外力以及支承对梁的约束力都是梁的外载荷 支承对梁所产生的约束反力一般都由静力平衡 条件求得 在外载荷的作用下 梁要产生弯曲变形 梁的各横截面内就必定存在相应的内力 求解梁横截 面上内力的方法是截面法 图 10 1 6 截面法求梁的内 如图 10 1 6 所示的简支梁 受集中力 1 P 和 2 P 作用 为了求出距 A 端支座为 x 处横截面 m m 上的内力 首先按静力学中 的平衡方程求出支座反力RA RB 然后用截面法沿 m m 截面假想地把梁截开 并以左边部分为研究对象 图 10 1 6 b 因为原来梁处于平衡状态 故左段梁在外力及截面处内力的共同作用下也应保持平衡 截面 m m 上必有一个与截面相切的内力 Q 来代替右边部分对左边部分沿截面切线方向移动趋势所起的约束作用 又 因为RA与 P1对截面形心的力矩一般不能相互抵消 为保持这部分不发生转动 在横截面 m m 上必有一 个位于载荷平面的内力偶 其力矩为 M 来代替右边部分对左边部分转动趋势所起的约束作用 由此可见 梁弯曲时 横截面上一般存在两个内力因素 其中 Q 称为剪力 M 称为弯矩 剪力和弯矩的大小可由左段梁的平衡方程确定 由 Fy 0 得 0 1 QPRA 1 PRQ A 由 MC 0 得 0 1 axPxRM A 1 axpxRM A 式中 C 为横截面的形心 若取右段梁研究 根据作用力与反作用力定律 在 m m 截面上也必然有剪力 Q 和弯矩 M 并且 它们分别与 Q 和 M 数值相等 方向相反 剪力和弯矩的正负按梁的变形来确定 凡使所取梁段具有作顺时针转动趋势的剪力为正 反之为负 如图 10 1 7 所示 凡使梁段产生上凹下凸弯曲变形的弯矩为正 反之为负 如图 10 1 8 所示 图 10 1 7 剪力的符 图 10 1 8 弯矩的 综上所述 可得求剪力 弯矩大小和方向的规则 对于剪力 梁内任一横截面上的剪力等于该截面一侧梁上所有横向外力的代数和 正负号由 外力左 上右下 产生的剪力为正 确定 对于弯矩 梁内任一横截面上的弯矩等于该截面一侧梁上所有外力对截面形心力矩的代数和 正负号 由 外力矩左顺右逆 产生的弯矩为正 确定 利用上述规则 可以直接根据截面左侧或右侧梁上的外力求出指定截面的剪力和弯矩 例 10 1 1 简支梁受集中力 kNp1 力偶 mkNm 1 均布载荷 mkNq 4 如图 10 1 9 所示 试求 和 截面上的剪力和弯矩 图 10 1 9 简支 梁 解 1 求支座反力 0 FMB 即 02505 01000750 qmRP A 可得 NRA250 0 y F 即 05 0 BA RqPR 可得 NRB2750 2 计算剪力和弯矩 应取简单的一侧为研究对象 NRQ A 250 1 mNRM A 502 0250200 1 kNRqQ B 5 175 24 044 0 2 mNqRM B 7802 04 01041040027502004 0400 33 2 例 10 1 2 图 10 1 10 a 是薄板轧机的示意图 下轧辊尺寸表示在图 10 1 10 b 中轧制力约为 kN 4 10 并假定均匀分布在轧辊的 CD 的范围内 试求轧辊中央截面上的弯矩及截面 C 的剪力 图 10 1 10 剪板机电 解 轧辊可简化为如图 10 1 10 c 所示形式 轧制力均匀分布于长度为 0 8m 的范围内 故轧制力的载 荷集度为 mkNmkNq 105 12 8 0 10 3 4 由于梁上的载荷与约束反力对跨度中点是对称的 所以容易求出两段的约束反力为 kNFF BA 3 4 105 2 10 以截面 C 左侧为研究对象 求得该截面上的剪力为 kNFF asc 3 4 105 2 10 在跨度中点截面左侧的外力为 A F 和一部分均布载荷 以中点截面左侧为研究对象 求得弯矩为 四 剪力图和弯矩图四 剪力图和弯矩图 在一般情况下 剪力和弯矩是随着截面的位置不同而变化的 如果取梁的轴线为 x 轴 以坐标 x 表示 横截面的位置 则剪力和弯矩可表示为 x 的函数 即 xQQ xMM 上述两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律 故分别称为梁的剪力方程和弯矩方程 为了能一目了然地看出梁各截面上的剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况 在设计计算中常把各截面上的 剪力和弯矩用图形表示 即取一平行于梁轴线的横坐标 x 来表示横截面的位置 以纵坐标表示各对应横截 面上的剪力和弯矩 画出剪力和弯矩与 x 的函数曲线 这样得出的图形叫做梁的剪力图和弯矩图 利用剪力图和弯矩图 很容易确定梁的最大剪力和最大弯矩 以及梁的危险截面的位置 所以画剪力 图和弯矩图往往是梁的强度和刚度计算中的重要步骤 剪力图和弯矩图的画法是首先求出梁的支座反力 然后以力和力偶的作用点为分界点 将梁分为几段 分段列出剪力和弯矩方程 取横坐标 x 表示截面的位置 纵坐标表示各截面的剪力和弯矩 按方程绘图 下面通过分析例题说明剪力图和弯矩图的绘制方法及步骤 例 10 1 3 如图 10 1 11 a 所示起重机横梁长l 起吊重量为 P 不计梁的自重 试绘制图示位 置横梁的剪力图和弯矩图 并指出最大剪力和最大弯矩所在的截面位置 mkNqFM A 3150 2 4 0 4 083 0 图 10 1 11 简支梁受集中力 解 1 绘制横梁的计算简图 根据横梁两端 A B 轮的实际支承情况 将其简化为简支梁 图 10 1 11 a 起吊重量为 P 可简化为作用于沿横梁行走的小车两轮中点所对应的梁的梁截面 C 处的集中 力 2 计算 A B 两端的支座的约束反力 根据静力平衡方程得 l Pb RA l Pa RB 3 建立剪力方程和弯矩方程 由于截面 C 有集中力 p 作用 梁 AC 端和 BC 段上任意截面左段研究 对象的平衡方程不同 故应分别建立两段的剪力方程和弯矩方程 设 AC 段和 BC 段的任一截面位置分别用 x 表示 图 10 1 11 a 并以左段为研究对象计算剪力和弯矩 则方程为 AC 段 l Pb RQ A 1 ax 0 x l Pbx xRM A 1 ax 0 BC 段 l Pa RQ B 2 lxa l xlPa xlRM B 2 lxa 4 绘制剪力图和弯矩图 由 AC 段和 BC 段剪力方程可知 两段的剪力分别为一正一负的常数 故 剪力图是分别位于 x 轴上方和下方的两条平行线 图 10 1 11 b 由两段的弯矩方程可知 弯矩图为两条斜直线 由边界条件可得出斜直线上两点的坐标值 AC 段 1 0 x 0 1 M 1 xa l Pab M 1 BC 段 2 xa l Pab M 2 2 xl 0 2 M 于是便得到如图 10 1 11 c 所示的横梁的弯矩图 5 确定剪力和弯矩的最大值 由图 10 1 11c 结合剪力方程 可以看出 当 ba 时 BC 段各截 面的剪力值最大 当 ba 时 AC 段各截面的剪力值最大 小车行驶时 力 P 作用点的坐标发生变化 最 大剪力值也随之发生变化 小车接近支座 B 点或 A 点时 剪力达到最大值 PPQ max 由图 10 1 11c 结合弯矩方程 可以分析得出 集中力 F 作用的 C 点所在截面处有最大弯矩 当小车 位于梁的中点时 即 2 l ba 处 因乘积 ab 最大 所以最大弯矩值也最大 为 4 max Pl M 例 10 1 4 如图 10 1 12 a 所示简支梁 在全梁上受集度 q 的均布载荷 试作此梁的剪力图和弯 矩图 解 1 求支座反力 由 0 A M 及 0 B M 得 2 ql FF ByAy 2 列剪力方程和弯矩方程 取 A 为坐标轴原点 并在截面 x 处切开取左段为研究对象 如图 10 1 12 b 所示 则 0 2 lxqx ql qxFF AyS 10 1 1 图 10 1 12 简支梁受均布 0 222 22 lx qxqlxqx xFM Ay 10 1 2 3 画剪力图 式 10 1 1 表明 剪力 FS是 x 的一次函数 所以剪力图是一条斜直线 2 0 ql Fx S 2 ql Flx S 4 画弯矩图 式 10 1 2 表明 弯矩 M 是 x 的二次函数 弯矩图是一条抛物线 由方程 8 2 2 222 2 22 2 qll x q xlx qqxqlx xM 既曲线顶点为 8 2 2 qll 开口向下 可按下列对应值确定几点 x0 4 l 2 l 4 3ll M0 32 3 2 ql 8 2 ql 32 3 2 ql 0 剪力图与弯矩图分别如图 10 1 12 c d 所示 由图可知 剪力最大值 在两支座 A B 内侧的 横截面上 2 max ql FS 弯矩的最大值在梁的中点 8 2 max ql M 例 10 1 5 如图 10 1 13 a 所示简支梁 在 C 点处受大小为 Me 的集中力偶作用 试作其剪力图和弯矩 图 解 1 求支反力 0 0 eAyB MlFM 得 l M F e Ay 图 10 1 13 简支梁受集中力偶 00 AyByy FFF l M FF e AyBy 2 列出剪力方程和弯矩方程 0 lx l M FxF e AyS 因 C 点处有集中力偶 故弯矩需分段考虑 AC 段 0 axx l M xFxM e Ay BC 段 0 lxxl l M xlFxM e By 3 画剪力图 由剪力方程知 剪力为常数 故是一水平直线 如图 10 1 13 b 所示 4 画弯矩图 由弯矩方程知 C 截面左右段均为斜直线 AC 段 l aM MaxMx e 0 0 BC 段 0 Mlx l bM Max e 弯矩图如图 10 1 13 c 所示 如 ab 则最大弯矩发生在集中力偶作用处右侧横截面上 l bM M e max 分析以上几例即可得出剪力图和弯矩图规律 1 梁上没有分布载荷时 剪力图为一水平线 弯矩图为一斜直线 斜率为对应的剪力图的值 剪力 为正时 弯矩图向上倾斜 剪力为负时 弯矩图向下倾斜 2 集中力 F 作用的截平面上 剪力图发生突变 突变的方向与集中力的作用方向一致 突变幅度等 于外力大小 弯矩图在此面上出现一个尖角 3 梁上有均布载荷作用时 其对应区间的剪力图为斜直线 均布载荷向下时 直线由左上向右下倾 斜 斜线的斜率等于均布载荷的载荷集度 q 对应的弯矩图为抛物线 剪力图下斜 弯矩图上凸 反之则相反 剪力图 0 Q 的点其弯矩值最大 抛物线部分的最大值等于抛物线起点至最大值点 对应的剪力图形的面积 如图 10 1 12 d 所示 2 1 22 8 2 max lql qlM 4 集中力偶 Me 作用的截面上 剪力图不变 弯矩图出现突变 Me 逆时针时 弯矩图由上向下突变 Me 顺时针时 弯矩图由下向上突变 前面总结了集中力 集中力偶和均布力作用时 剪力图和弯矩图的做图规律 下面我们根据这些规律 快速而准确地做出梁的剪力图和弯矩图 例 10 1 6 简支梁受 kNPkNP1 3 21 的集中力作用 图 10 1 14 a 已知约束反力 5 1 5 2kNRkNR BA 其他尺寸如图所示 试绘出该梁的剪力图和弯矩图 图 10 1 14 解 1 绘剪力图 剪力图从零开始 一般自左向右 逐段画出 根据规律可知 因 A 点有集中力 A R 故在 A 点剪力图突变 由零向上突变 2 5kN 从 A 点右侧到 C 点左侧 两点之间无力作用 故剪力图 平行与x轴的直线 因 C 点有集中力 1 P 故在 C 点剪力图由 2 5kN 向下突变 3kN C 点左侧的剪力值为 2 5kN C 点右侧的剪力值为 kN5 0 同样的道理 依次 可完成其剪力图 图 10 1 14 b 需要说 明 剪力图最后应回到零 图中虚线箭头只表示画图走向和突变方向 2 绘弯矩图 弯矩图也是从零开始 自左向右边 逐段画出 A 点因无力偶作用 故无突变 因 AC 段剪力图为x轴的上平行线 故其弯矩图为一条从零开始的上斜线 其斜率为 2 5 图 10 1 14 c 中斜率仅为绘图方便而标注 C 点的弯矩值为 5 215 2mkN CD 段的弯矩图为一条从 mkN 5 2 开始的下斜线 斜率为 0 5 故 D 点的弯矩值为 5 125 05 2mkN 同样的道理可画出 DB 段弯矩图 最后回到零 图 10 1 14 c 例 10 1 7 外伸梁受力如图 10 1 15 a 所示 mkNM 4 kNP10 kNRA6 kNRB16 其它尺寸如图所示 试绘出梁的剪力图和弯矩图 图 10 1 15 解 1 绘剪力图 根据规律画剪力图时可不考虑力偶的影响 因此 绘其剪力图时 从 A 点零开始 向下突变 6 从 6 开始画 X 轴平行线至 B 点 向上突变 16 在画 X 轴平行线 最后连 D 点向下突变 10 而 回到零 图 10 1 15 b 2 绘弯矩图从 A 点零开始 画斜率为 6 的下斜线至 C 点 因 C 点有力偶作用 故弯矩图有突变 根据 顺上逆下 故向上突变 4 在画斜率为 6 的下斜线至 B 点 在 B 点转折 作斜率为 10 的上斜线至 D 点而回到零 图 10 1 15 c 例 10 1 8 外伸梁受力如图 10 1 16 a 所示 已知 mKNM 16 mkNq 2 KNp2 约 束反力 KNRA2 7 KNRB 8 14 试绘出梁的剪力图和弯矩图 并求距 A 点 4m 处截面的剪力和弯矩 解 1 绘制剪力图 从 A 点零开始 向上突变 7 2 AC 段为 x 轴的平行线 CB 段 剪力图从 7 2 下斜至 B 点 斜率为 2 故 B 点左侧的剪力 值为 8 8 从 8 8 向上突变 14 8 即到 B 点右侧 BD 段剪力图仍为斜率 2 的下斜线至 D 点左侧 因 D 点有集中力 P 故 向下突变回到零 图 10 1 16 b 剪力图 中 Q 0 的点可由几何关系求得 如 6 3 2 2 7 m 2 绘弯矩图 AC 段弯矩图为一条从零开始的斜率为 7 2 的上斜线 因 C 点有力偶 故弯矩图在 C 点 图 10 1 16 向下突变 1 6 CB 段剪力图为一条下斜线 故对应的弯矩图为一条从 1 6 开始的上弯抛物线 最大值 点应对应于 Q 0 的点 其值可由对应的三角形面积求得 36 116 1 2 6 3 2 7 B 点的值也可由对应的三角形面积求得 836 11 2 6 38 8 8 也可暂不求此值 继续绘图 因 B D 点无力偶 故弯矩图直接转折上弯至零 最后利用对应的剪力 图梯形面积计算该值 8 2 2 26 需要注意 图 10 1 16 b 中 CB 段剪力图能否下斜而过 x 轴 图 10 1 16 c 中的 CB 段弯矩图能 否上弯而过 x 轴 都可根据图形几何关系预先测算而定 3 求距 A 点 4m 处截面的剪力和弯矩 该截面剪力和弯矩可由图中几何关系直接求得 由图 10 1 16 b 可知 该截面的剪力 2 36 12KNQ 由图 10 1 16 c 可知 该截面的弯矩 8 8 2 2 36 1 36 11mKNM 由上述各例可以看出 绘制剪力图和弯矩图的基本过程为 熟记规律 从左至右 从零开始 到点 即停 标值判定 是否突变 最终回零 第二节第二节 梁的弯曲强度计算梁的弯曲强度计算 一一 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力 前面对梁弯曲时横截面上的内力进行了分析讨论 为了进行梁的强度计算 还需要进一步研究横截 面上的应力情况 通常梁的横截面上既有弯矩又有剪力 这种弯曲称为剪切弯曲 若梁的横截面上只有弯 矩而无剪力 则梁的横截面上仅有正应力而无切应力 这种弯曲称为纯弯曲 梁纯弯曲的强度主要决定于 截面上的正应力 切应力居于次要地位 所以这里只讨论梁在纯弯曲时横截面上的正应力 要想分析正应力的分布规律并计算正应力 先是通过实验 观察其变形 提出假设 在这个基础上综 合应用几何变形 物理和静力学关系 找出变形及其应力的变化规律而推导出应力计算公式 一 实验观察 取一矩形截面直杆 实验前 在梁的侧面上 画上垂直于梁轴的横向线 1 ROMAN I 1 ROMAN I 和 2 ROMAN II 2 ROMAN II 及平行于梁轴的纵向线 ab 和 cd 然后在梁的纵向对称 平面内两端施加集中力偶 M 使梁产生纯弯曲 如图 10 2 1 所示 梁发生弯曲变形后 我们可以观察到 以下现象 1 横向线 ac 和 bd 仍是直线且仍与梁的轴线正交 只是相互倾斜了一个角度 2 纵向线 ab 和 cd 包括轴线 都变成了弧线 且 ab 变成 b a 后缩短了 cd 变成 d c 后伸长了 3 梁横截面的宽度发生了微小变形 在压缩区变宽了些 在拉伸区则变窄了些 图 10 2 1 梁的弯曲试验图 10 2 2 梁的中性层 根据上述现象 可对梁的变形提出如下假设 平面假设 梁弯曲变形时 其横截面仍保持平面 且绕某轴转过了一个微小的角度 单向受力假设 设梁由无数纵向纤维组成 则这些纤维处于单向受拉或单向受压状态 可以看出 梁下部的纵向纤维受拉伸长 上部的纵向纤维受压缩短 其间必有一层纤维既不伸长也不 缩短 这层纤维称为中性层 中性层和横截面的交线称为中性轴 如图 10 2 2 所示 二 变形的几何关系 由于纯弯曲时 各层纵向纤维受到轴向拉伸和压缩的作用 因此材料的应力和应变的关系应符合拉压 胡克定律 E 由上式可知 若搞清应力分布规律 必须搞清应变 的变化规律 为此 将变形后的梁中取一微段来进行研究 如图 10 2 3 所示 两截面 1 ROMAN I 1 ROMAN I 和 2 ROMAN II 2 ROMAN II 原来是平行的 现 在相互倾斜了一个微小角度 d 图中 O O 为中性层 设其曲率半径为 d c 到中性层的距离为 y 形后中性层纤维长 度仍为 X d 且 ddX 距中性层为 y 则纵向线cd的线应变为 y d yd d ddy cd cddc cd cd 即梁内任一纵向纤维的线应变 与它到中性层的距离 y 成正比 三 变形的物理关系 由单向受力假设 当正应力不超过材料的比例极限时 将虎克定律代入上式 得 y EE 10 2 1 上式表明了横截面上正应力的分布规律 即 横截面上任一点处的正应力与它到中性轴的距离成正比 与中性层距离相同的点 正应力相等 距离中性层越远 正应力越大 中性轴上各点的正应力为零 由此 可得横截面上各点的正应力分布情况 如图 10 2 4 所示 为了准确计算正应力值 必须确定中性轴的位 置与曲率半径 的大小 而这又需要通过应力与内力间的静力学关系来解决 四 静力学关系 图 10 2 3 弯曲变形 图 10 2 4 弯曲正应力的分布规律 梁发生纯弯曲时 横截面上只有弯矩而无剪力 且弯曲变形时横截面绕中性轴 Z 转动 所以 横截面上 所有内力合成的结果只有一个对中性轴 Z 的弯矩 M 而沿梁轴线的分量和对横截面对称轴的弯矩均为零 通过对静力学和截面形心进行分析可得如下结论 纯弯曲时 横截面的中性轴必须通过截面的形心 纯弯曲时 中性轴的曲率半径的计算公式为 Z EI M 1 10 2 2 式中 Z EI 值越大 则梁弯曲的曲率半径 越大 中性轴的曲率就越小 也就是梁的弯曲变形越小 反之 Z EI 值越小 则梁的弯曲变形越大 因此 Z EI 值的大小反映了梁抵抗弯曲变形的能力 故 Z EI 称为梁的 弯曲刚度 将式 10 2 2 带入 10 2 1 中 得到纯弯曲梁横截面上任意一点正应力的计算公式为 Z I yM 10 2 3 M 为截面上的弯矩 y 为截面上所求应力点到中性轴的距离 Z I 为横截面对中性轴 Z 的惯性矩 Z I 是一个仅与横截面形状和尺寸有关的几何量 可以通过理论计算来求得 一般地 各种平面几何图 形的 Z I 都求出并列表备用 使用时直接查表即可 上式是梁纯弯曲时横截面上任一点的正应力计算公式 应用时M及 y 均可用绝对值代入 至于所求点 的正应力是拉应力还是压应力 可根据梁的变形情况 由纤维的伸缩来确定 即以中性轴为界 梁变形后 靠凸的一侧受拉应力 靠凹的一侧受压应力 也可根据弯矩的正负来判断 当弯矩为正时 中性轴以下部 分受拉应力 以上部分受压应力 弯矩为负时 则相反 由公式 10 2 2 可知 横截面上最大正应力发生 在距中性轴最远的各点处 即 maxmax y I M z 10 2 4 令 max y I W z z 则 Z W M max 10 2 5 Z W 称为抗弯截面模量 也是衡量截面抗弯强度的一个几何量 其值与横截面的形状和尺寸有关 式 10 2 2 和 10 2 3 是纯弯曲梁的两个重要公式 前者用于计算梁的变形 后者用于计算梁横 截面上的应力 弯曲正应力计算公式是梁在纯弯曲的情况下导出来的 对于一般的梁来说 横截面上除弯矩外还有 剪力存在 这样的弯曲称为剪切弯曲 在剪切弯曲时 横截面将发生翘曲 平截面假设不再成立 但较精 确的分析证明 对于跨度l与截面高度h之比 5 h l 的梁 计算其正应力所得结果误差很小 在工程上常 用的梁 其跨高比远大于 5 因此 计算式可足够精确地推广应用于剪切弯曲的情况 例 10 2 1 如图 10 2 5 a 所示矩形截面简支梁 已知 5 180 30 60 试分别求将截面竖放和横放时梁截面上的最大正应 力 图 10 2 5 简支梁受力 解 1 求支座反力 根据外力平衡条件列平衡方程 可解得支座反力为 KNFF ByAy 5 2 画出剪力图和弯矩图 如图 10 2 5 b c 所示 可见 在 CD 段横截面上剪力为零 故 CD 段为纯弯曲段 截面上弯矩值为 mNMM c 900 max 3 竖放时最大正应力 先由表 10 2 1 中查得矩形截面的截面弯曲系 Wz 的计算公式 代入式 Z W M max 即可求出竖放时横截面上的最大正应力为 MPaPa bh M W M Z 501050 6 06 003 0 900 6 6 22 max 同理可求得横放时横截面上的最大正应力为 MPaPa bh M M M y 10010100 6 03 0 06 0 900 6 6 22 max 由此例可知 矩形截面梁的横截面放置方位不同 其最大正应力值也不同 即梁的弯曲强度不同 矩 形截面梁的横截面竖放比横放时强度高 二二 梁的弯曲强度计算梁的弯曲强度计算 在进行梁的强度计算时 由于梁上的应力一般是随截面位置的不同而变化的 因此应首先找出最大应 力所在截面 即危险截面以及求出最大应力 max 一般情况下 对于等截面直梁 其危险点在弯矩最大的 截面上的上下边缘处 即最大正应力所在处 一 强度条件 为了使梁安全可靠的工作 危险点的最大工作应力不能超过梁所用材料的许用应力 强度条件为 Z W Mmax max 10 2 6 式中 max 为危险点的应力 max M Z W 分别为危险截面的弯矩和拉弯截面系数 为梁材料的许用应力 考虑到材料的力学性质和截面的几何性质 判定危险点的位置是建立强度条件的主要问题 二 关于危险点的讨论 1 对称截面 若截面对称于中性轴 则称为对称截面 否则称为非对称截面 对于塑性材料 其许用拉应力和许用 压应力相同 对称截面塑性材料的危险点可以选择距中性轴最远端的任一点计算 对于许用拉应力和许用压应力不同的脆性材料 由于脆性材料的许用压应力大于许用拉应力 所以只 需计算受拉边的最大应力值 ll max 2 非对称截面 对于塑性材料 危险点一定出现在距中性轴最远处 所以这种情况下只需计算一个危险点 maxmax y I M Z 对于脆性材料 需要结合弯矩的正负及截面形状分别计算 如果距中性轴最远处的是受拉边则只需计 算一个危险点 如果距中性轴最远处的是受压边则需要计算两个危险点 其强度条件为 ll z l y I M max max max yy z y y I M max max max 式中 maxl 和 maxy 分别为最大拉应力和最大压应力 l 和 y 分别为许用拉应力和许用压应力 maxl y 和 maxy y 分别是拉应力和压应力一侧最远点到中性轴的距离 三 强度条件三类问题 与拉压强度条件应用相似 弯曲强度条件同样可以用来解决以下三类问题 强度校核 验算梁的强度是否满足强度条件 判断梁在工作时是否安全 截面设计 根据梁的最大载荷和材料的许用应力 确定梁截面的尺寸和形状 或选用合适的标准型 钢 确定许用载荷 根据梁截面的形状和尺寸及许用应力 确定梁可承受的最大弯矩 再由弯矩和载 荷的关系确定梁的许用载荷 对于非对称截面 需按公式 例 10 2 2 图 10 2 6 a 所示 托架为一 T 形截面的铸铁梁 已知截面对中性轴 z 的惯性矩 47 1035 1 mmIZ kNP5 4 铸铁的弯曲许用应力 1 40MPa 2 80MPa 若略去梁的自重影响 使校核梁的强度 解 1 画其受力图 见图 10 2 6 b 2 绘制剪力图 见图 10 2 6 c 图 10 2 6 T 形铸铁梁 3 绘制弯矩图 见图 10 2 6 d 并求最大弯矩值 plM max 4 5 1 4 5 kN m 4 校核强度 2060 1035 1 105 4 7 6 max max maxll Z l MPay I M 50150 1035 1 105 4 7 6 max max maxy Z y MPay I M 所以此铸铁梁的强度足够 例 10 2 3 一矩形截面简支梁 见图 10 2 7 a mmb200 mmh300 ml4 10MPa 试求梁能承受的许可均布载荷 q 图 10 2 7 简支梁 解 1 求支座反力 2 ql RR BA 2 绘剪力图 10 2 7 b 3 绘弯矩图 10 2 7 c 并求最大弯矩 24 88 2 2 max mkNq qql M 4 确定许可载荷 max Z WM 因 103 6 300200 6 36 22 mm bh WZ 故 10103102 66 q mmNq 15 例 10 2 4 简易吊车梁如图 10 2 8 a 所示 已知起吊最大载荷 KNQ50 跨度 ml10 若梁材料的许 用应力 180MPa 不计梁的自重 试求 1 选择工字钢的型号 2 若选用矩形截面 其高度比 为 2 bh 时 确定截面尺寸 3 比较两种梁的重量 解 1 绘制梁的受力图 10 2 8 b 求约 束反力 2 QRR BA 2 绘制梁的剪力图 10 2 8 c 3 绘制梁的弯矩图 10 2 8 d 并求最 大弯矩 125 4 1050 4 max mkN Ql M 图 10 2 7 简支梁 4 选择工字钢型号 图 10 2 7 简支梁 687686813 182 10125 33 6 max cmmm M Wz 查表得 32a 号工字钢 WZ 692 687cm3 故可选用 32a 号工字钢 查得其截面面积为 67 156cm2 5 若采用矩形截面 687 3 2 6 3 32 cm bbh WZ 10 2 3687 3 cmb 202cmbh 200 2 cmbhA 6 比较两梁的重量 在材料和长度相同的条件下 梁的重量之比等于截面面积之比 98 2 156 67 200 工 矩 A A 即矩形截面的梁的重量是工字钢截面梁的 2 98 倍 第三节第三节 拉伸 压缩 与弯曲组合的强度计算拉伸 压缩 与弯曲组合的强度计算 前面讨论了杆件在拉伸 压缩 和弯曲变形时的强度和刚度计算 但在工程实际中 许多构件受到 外力作用时 将同时产生两种或两种以上的基本变形 例如建筑物的边柱 机械工程中的夹紧装置 皮带 轮传动轴等 我们把杆件在外力作用下同时产生两种或两种以上的基本变形称为组合变形 工程中许多受 拉 压 构件同时发生弯曲变形 称为拉 压 弯组合变形 处理组合变形问题的基本方法是叠加法 先 将组合变形分解为基本变形 再分别考虑在每一种基本变形情况下产生的应力和变形 最后再叠加起来 组合变形强度计算的步骤一般如下 1 外力分析 将外力分解或简化为几种基本变形的受力情况 2 内力分析 分别计算每种基本变形的内力 画出内力图 并确定危险截面的位置 3 应力分析 在危险截面上根据各种基本变形的应力分布规律 确定出危险点的位置及其应力状态 4 建立强度条件 将各基本变形情况下的应力叠加 然后建立强度条件进行计算 下面举例说明拉 压 弯组合变形的强度计算 例 10 3 1 悬臂吊车的计算简图如图 10 3 1a 所示 横梁 AC 用工字钢制成 已知最大吊重 P 15kN 30 梁的许用应力 100MPa 试选择工字钢型号 图 10 3 1 横梁 AC 的内力及应用 解 1 外力分析 取横梁 AB 为研究对象 受力分析如图10 3 1 b 所示 当小车移到点 C 时 梁处 于最不利的受力状态 此时由平衡条件知 由 0 A M 0sin ACAB PlTl 得 kN l Pl T AB AC 48 5 230sin 415 sin 由 0 X F 和 0 Y F 可解出 kNTHH BA 57 41cos kNPTPRR BA 9sin 将外力分解两组 分别产生两种基本功变形 一组由 HA HB产生的压缩变形 图10 3 1c 一组由 RA RB P 产生的弯曲变形 图10 3 1e 2 内力分析 分别绘制轴力图 图10 3 1d 和弯矩图 图10 3 1g 由内力图可知 B 截面为危险 截面 其上的内力值绝对值分别为 kNN57 41 mkNPM 25 2 5 1155 1 max 3 应力分析 B 截面由轴向力产生的压应力 和由弯矩产生的正应力 分布如图10 3 1f 所示 其 中 为叠加后的应力分布 可见 危险点在 B 截面的下边缘处 为压应力 最大压应力值为 ZZ WAW M A N2250041570 max max 4 选择工字钢型号 因为上式中的横截面面积 A 和抗弯截面模量 Wz 均为未知数 一般情况下需 先按弯曲正应力条件选择截面 再按组合变形进行校核 由弯曲条件得 336 6 3 max 22510225 10100 10 5 22 cmm M WZ 查型钢表选取 20a 工字钢 其 A 35 5 cm2 Wz 237 cm3 按组合变形校核强度 MPa 6 106 10237 22500 105 35 41570 64 max 在工程中 如果 max 不超过 的 5 一般是允许的 这里 6 6 max 偏于不安全 重新 选取 20b 号工字钢 其 A 39 5 cm2 Wz 250cm3 则 MPa 5 100 10250 22500 105 39 41570 64 max max 只超过 的 0 25 故选用 20b 号工字钢能满足梁的要求 例 10 3 2 小型压力机的铸铁框架如图10 3 210 3 2所示 已知材料的许用拉应力 MPa l 30 许用压 应力 MPa y 160 试按立柱的强度确定压力机的最大许可压力 P 立柱的截面尺寸如图 其中 O 为形心 z0 7 5cm Iy 5310cm3 面积 A 15 10 3 cm2 图图 10 3 210 3 2 立柱的受力分析及应力图立柱的受力分析及应力图 解 1 外力分析 由于外力 P 与床身立柱的轴线平行但不重合 故立柱受偏心拉伸作用 2 内力分析 如图10 3 210 3 2所示 由截面法可得 PN PPPzMy425 0 075 0 35 0 35 0 0 可见 立柱实质上承受轴向拉伸和弯曲组合变形 3 应力分析 如图10 3 210 3 2所示 由轴力 N 引起的正应力 沿横截面均匀分布 其值为 MPa PP A N 151015 10 3 3 由弯矩 My引起的正应力 沿 y 方向分布如图所示 其值分别为 PMPa P I ZM y y 6 0 105310 075 0 10425 0 8 3 0 max 拉 PMPa P I ZM y y 1 105310 125 0 10425 0 8 3 1 max 压 与 叠加后得到总应力 仍在截面内侧有最大拉应力 外侧有最大压应力 其值分别为 PMPaP P 667 0 6 0 15 maxmax 拉 MPaP P 933 0 15 max 压 4 由强度条件确定许可载荷 由抗拉强度条件 l max 得 kNP l 45 667 0 30 667 0 由抗压强度条件 y max 得 P kNP y 5 171 933 0 160 933 0 为使立柱同时满足抗拉和抗压强度条件 压力 P 不应超过 45kN 第四节第四节 梁的弯曲变形及刚度计算梁的弯曲变形及刚度计算 梁与其它受力杆件一样 除了要满足强度条件外 还要满足刚度条件 使其工作时变形不致过大 否 则会引起振动 影响机器的运转精度 甚至导致失效 例如图 10 4 1 所示 齿轮轴的弯曲变形过大 就 会影响齿轮的正常啮合 加速齿轮的磨损 并使轴与轴承配合不好 造成传动不稳定 减少寿命 另一方 面 弯曲变形也有可利用的一面 如车辆上的钢板弹簧 需要足够大变形以缓和车辆受到的冲击和震动 为了限制和利用梁的变形 就必须掌握梁的变形计算 图 10 4 1 齿轮轴 图 10 4 2 梁的挠曲线 一 弯曲变形的挠度与转角一 弯曲变形的挠度与转角 直梁在平面弯曲时 其轴线将在加载平面内弯成一条光滑的平面曲线 该曲线称为梁的挠曲线 如图 10 4 2 所示 梁任意横截面形心沿 y 轴方向的线位移 称为挠度 用 y 表示 通常规定 向上为正 向 下为负 由于弯曲变形属于小变形 梁横截面形心沿 x 轴方向的位移很小 可忽略不计 在弯曲过程中 梁任一横截面相对于原来位置所转过的角度 称为转角 用 表示 通常规定 逆 时针为正 顺时针为负 二 梁的挠曲线方程二 梁的挠曲线方程 为了表达梁的挠度与转角随着截面位置不同而变化的规律 取梁变形前的轴线为 x 轴 与 x 轴垂直向 上的轴为 y 轴 如图 10 4 2 所示 则挠曲线方程可表示为 xyy 10 4 1 在忽略剪力对变形影响的情况下 横截面在变形后仍垂直于挠曲线 这样 任一截面的转角 也等 于挠曲线在该截面处的切线与 X 轴的夹角 由于 很小 所以有 y dx dy tan 10 4 2 式 10 4 2 称为梁的转角方程 它反映了挠度和转角的关系 由上可知 如果知道了梁的挠曲线方程和转角方程 梁各截面的挠度和转角也就知道了 三 用叠加法求梁的变形三 用叠加法求梁的变形 在梁服从胡克定律的条件下 梁的挠曲线方程和转角方程均与载荷成线性关系 因此 梁在复杂载荷 作用下的变形 可将其看成是几种简单载荷分别作用下的叠加 用叠加法可计算复杂载荷作用下梁的变形 即先分别计算每一种载荷单独作用时引起的梁的挠度和转角 然后 再把同一截面的转角和挠度代数相加 就得到这些载荷共同作用下的该截面的挠度和转角 为简化计算 工程技术人员已经把梁在各种典型的简单载荷作用下的挠度和转角计算公式求出并列在 相应的计算表中 如表 10 4 1 实际应用时只需查表选用即可 图 10 4 3 例 10 4 1 等直梁 AB 已知分布载荷 q 集中力 P 长度l及抗弯刚度 Z EI 试求 C 点的挠度 解 用叠加法求 C 点的挠度 分别画出均布力 q 和集中力 P 单独作用时的计算简图 查表 10 4 1 当均布载荷 q 单独作用时 C 点的挠度为 Z c EI ql y 384 5 4 1 负号说明挠度向下 当 F 单独作用时 C 点的挠度为 Z c EI Pl y 48 3 2 根据叠加原理得 q 和 P 共同作用时的挠度 ZZ ccc EI Pl EI ql yyy 48384 5 34 21 四 梁的弯曲刚度条件四 梁的弯曲刚度条件 为了保证受弯梁能安全工作 必须限制梁上最大挠度和最大转角不超过许用值 即梁的刚度条件为 yy max max 10 4 3 式中 y 为许可挠度 为许可转角 有关数据可参考有关规范及手册来确定 y 值和 值 设计时 通常根据强度条件 结构要求 确定梁的截面尺寸 然后 校核其刚度 对于刚度要求高的 轴 其截面尺寸往往由刚度条件决定 例 10 4 2 如图 10 4 4 a 所示为一电动机轴 已知 kNF5 2 mkNq 4 跨度 ml5 0 mma4 0 材料弹性模量 GPaE200 许用应力 MPa80 C 截面的许用挠度 y 0 4mm 试设计 轴的直径 d 解 1 按强度条件设计轴径 先画出弯矩图 如图 10 4 4 b 所示 求得最大弯矩为 mNFaM 5002 0105 2 3 max 根据强度条件求得 max 3 max 32 Md W W M 计算得 mmm M d99 3 1099 3 1080 5003232 2 3 6 3 max 取 d 40mm 则有 图 10 4 4 434 44 106 125 64 40 64 mmmm d I 2 轴的刚度进行较核 如图 10 4 4 c d 所示 由叠加法求 C 截面的挠度得 ymm EI ql EI Fal yyy CqCFc 182 0 384 5 16 42 因此 轴径取 d 40mm 可同时满足强度 刚度要求 五 提高梁的承载能力五 提高梁的承载能力 由前面分析可知 梁的变形与跨度l的高次方成正比 与截面惯性矩I成反比 又由强度条件 式 10 2 6 可知 梁的弯曲强度与梁的最大弯矩 max M 和弯曲截面系数 Z W 有关 所以 降低最大弯矩 max M 或 增大抗弯截面模量 Z W 均能提高强度 由此可见 为提高梁的承载能力 除合理地施加载荷和安排支承 位置 以减小弯矩和变形外 主要应从增大I和W 以及减小跨度等方面采取措施 以使梁的设计经济合 理 工程上可采用以下几项措施 1 采用合理的截面形状 在截面面积即材料重量相同时 应采用I和W较大的截面形状 即截面积分布应尽量远离中性轴 因 离中性轴较远处正应力较大 而靠近中性轴处正应力很小 这部分材料没有被充分利用 若将靠近中性轴 处的材料移到离中性轴较远处 如将矩形改为工字形截面 则可提高惯性矩和抗弯截面模量 即提高抗弯 能力 同理 实心圆截面若改为面积相等的圆环形截面也可提高承载能力 此外 合理的截面形状应使截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到相应的许用应力值 对于抗拉 和抗压强度相等的塑性材料 宜采用中性轴是对称轴的截面 工字形 对于抗拉和抗压强度不相等的脆性 材料 宜采用中性轴不对称的截面 如 T 字形或槽形 2 采用变截面梁 除上述材料在梁的某一截面合理安排外 还有一个材料沿梁的轴线如何合理安排问题 等截面的截面尺寸是由最大弯矩决定的 故除最大弯矩所在截面外 其余部分材料未被充分利用 为 了节省材料和减轻重量 可采用变截面梁 即在弯矩较大的部位采用较大的截面 在弯矩较小的部位采用 较小的截面 3 减小跨度或增加支承 因梁的变形与梁的跨度 l 高次方成正比 故减小跨度是提高梁抗弯强度和抗弯刚度的有效措施 如在 车床车工件时在工件的自由端加装尾架顶针即为此目的 第五节第五节 疲劳破坏疲劳破坏 一 动载荷和交变应力一 动载荷和交变应力 一 动载荷的概念 在研究直杆的拉 压 梁的弯曲和圆轴的扭转等的变形和强度时 都是把外载荷的大小和方向看成 是不随时间变化来对待的 这种大小和方向不随时间而变化的载荷称为静载荷 然而在工程实际中 大多 数零件工作时所受到的载荷并不是静载荷 如互相啮合的齿轮 内燃机的连杆 高速旋转的砂轮等等 在 工作中所受的载荷明显要随时间而变化 或者是短时间内有突变 这种载荷称为动载荷 二 交变应力 工程中许多构件处于随时间作周期性变化的应力下工作 成周期性变化的应力称为交变应力 例如齿 轮的轮齿每啮合一次 齿根 A 点的弯曲应力就由零变化到某一最大值 然后再回到零 如图 10 5 1 齿轮连续转动时 A 点的应力即作周期变化 又如图 10 5 2 a 中的转轴 虽然所受载荷 F 的大小和方向 并不随时间变化 但由于轴的转动 截面 A 的弯曲应力 也随时间作周期变化 图 b 其变化规律如 图 c 所示 这种随时间作周期性变化的应力 称为交变应力 交变应力每重复变化一次称为一个应力循环 如图 10 5 3 所示 重复变化的次数称为循环次数 图中表示应力变化的曲线称为应力循环曲线 为了能 直观地反映交变应力的变化规律 便于分析受动载荷作用地轴及杆件的强度 就要分析交变应力循环的规 律和类型 1 交变应力的参数 图图 10 5 1 齿轮啮合齿轮啮合 图图