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第九章导热 第一节导热微分方程一 导热微分方程式微元六面体导热分析示意图 导热微分方程的基础 傅立叶导热定律能量守恒定律假设 1 物体是各向同性的连续介质2 c为已知常量3 具有内热源 1 按照能量守恒定律 微元体的热平衡式 导入微元体的总热流量 微元体中内热源生成的热量 微元体内能的增量 导出微元体的总热流量 a 根据傅里叶定律 通过x x y y z z三个表面导入微元体的热量可直接写出如下 b 2 通过x x dx y y dy z z dz三个表面导出微元体的热流量亦可写为 c d 设单位体积内热源的热能为Q 则 e 3 将式b c d e各式代入式 a 可获得导热微分方程式的一般形式 即 1 在稳态 无内热源条件下 导热微分方程式就简化成为 2 圆柱坐标下的导热微分方程为 4 球坐标下的导热微分方程为 无内热源的稳态导热微分方程式采用圆柱坐标和球坐标时表达形式分别是 柱坐标 球坐标 直角坐标系中 非稳态 有内热源的变热导率的导热微分方程式为 5 二 初始条件及边界条件 稳态导热 6 第二节一维稳态导热 一 单层平壁的导热单层平壁导热示意图 7 无内热源的一维稳态导热微分方程为 1 边界条件为 x 0时 T Tl x 时 T T2对 1 式连续两次积分 据边界条件可求出温度分布 温度分布的斜率为常量 将dT dx代入傅里叶定律式 得 8 可获得通过平壁的热流密度q f T1 T2 的具体关系式为 例一窑炉的耐火硅砖炉墙为厚度 250mm的硅砖 已知内壁面温度t1 1500 外壁面温度t2 400 试求每平方米炉墙的热损失 查附录4 平均导热系数 将平均导热系数代入公式 9 二 多层平壁的导热各种转移过程的共同规律性可归结为 过程中的转移量 过程的动力 过程的阻力在电学中 这种规律性就是众所周知的欧姆定律 在导热中 与之相对应的表达式可从通过平壁的热流密度q f T1 T2 的具体关系式改写得出为 热阻Rt是针对每单位面积而论的 有时需要讨论整个表面积A的热阻 这时总面积的热阻有以下定义式 10 例己知灰铸铁 空气及湿型砂的热导率分别为50 3W m 0 0321W m 及1 13W m 试比较1mm厚灰铸铁 空气及湿型砂的热阻 解 导热热阻Rt 故有理想接触条件在理想接触情况下 可以利用热阻概念来分析复合平板的导热问题 11 一个三层壁的示意图如下图所示三层壁导热示意图各层热阻表达式多层壁的总热阻 12 热流密度的计算公式 n层多层壁的计算公式是 解得热流密度后 层间分界面上未知温度T2和T3就可根据各层热阻公式求出 13 例窑炉炉墙由厚115mm的耐火粘土砖和厚125mm的B级硅藻土砖和外敷石棉板叠成 耐火粘土砖的 B级硅藻土砖的已知炉墙内表面温度为495 和硅藻土砖与石棉板间的温度为207 试求每平方米炉墙每秒的热损失q及耐火粘土砖与硅藻土砖分界面上的温度 耐火粘土砖 硅藻土砖 石棉板 14 三 圆筒壁和球壁的导热 一 圆筒壁的导热已知内 外半径分别为r1 r2的圆筒壁的内 外表面温度分别维持均匀恒定的温度Tl和T2 假设热导率 等于常数 如果圆筒壁的长度很长 沿轴向的导热就略去不计 而温度仅沿半径方向发生变化 若采用圆柱坐标 r 时 就成为一维导热问题 15 积分常数cl和c2由边界条件的定 温度分布为 将dT dr代入傅里叶定律即可求得通过圆筒壁的热流量 要注意在圆筒壁导热中不同r处的热流密度q在稳态下不是常量 所以有必要采用傅里叶定律的热流量表达式 16 对圆筒壁温度分布式求导数可得 代入热流量表达式 即得热流量计算公式 对于圆筒壁 其总面积热阻有下列表达式 与分析多层平壁一样 运用串联热阻叠加原则 可得如下图所示的通过多层圆简壁的热流量为 17 多层圆筒壁 18 多层圆筒壁热流量 计算隔热层平均温度 查附录4 隔热层的平均导热系数 19 根据单层圆筒壁热流量计算公式获得 工程制图中 常以mm为单位 20 二 球壁的导热球壁的导热如右图所示 已知球壁的内 外半径分别为r1 r2 内 外表面分别维持恒定的均匀湿度T1和T2 设热导率 常量 现在要求出通过球壁导热的热流量 的计算公式 其导热微分方程为 边界条件为 21 对微分方程两次积分得 由边界条件确定积分常数 球壁的温度分布表达式为 在 为常量时 球壁内的温度按双曲线规律变化 由于热流密度随r变化而总热流量由不变 因此求取导热量也有必要应用热流量表示的傅里叶定律 22 对球壁的温度分布表达式求导并代入上式导热量公式得 23 电阻丝功率即为放出的热量 注意球壁厚度 24 第三节接触热阻 接触界面热流线示意图接触热阻示意图a 两棒接触b 温度分布接触热阻Rt由下列几个热阻并联组成 由于导热接触面积减小引起热流线收缩而产生的热阻Rs 流体的导热热阻Rf和穿过界面间隙的辐射热阻Rr 于是有 25 界面接触热阻可表示为 第四节二维稳态导热半无限大平板内的温度分布如右图所示 半无限大平板是指该平板位于x一y平面内 x方向为有限尺寸L y方向一直延伸至y 的平板 因平板很簿 认为 可忽略不计 显然这是典型二维导热问题 对于半无限大平板来说 温度场是二维的 在稳态下它必须满足方程 26 A 其边界条件为 1 当x 0时 T 0 2 当x L时 T 0 3 当y 时 T 0 4 当y 0时 T T0 均匀 应用分离变量法求解时 首先需要求出下列形式的乘积解 X仅是x的函数 Y仅是y的函数 把上式代入 A 式得 将上式变量分离得 27 Y仅是y的函数 右端与x无关 左端亦与x无关 而必等于一常数 因此 两端等于一任意常数 设为 2 这个常数 2称为分离常数 于是 1 a 1 b 上两式为常系数齐次线性方程 其通解为 2 对于 1 b 式 b 其通解为 3 28 对于 2 式 为满足边界条件式 1 当x 0时 X必须为0 因此C1 0 同样 当满足边界条件 2 当x L是X必须为0 即上式要求 L 0 2 3 等 写成一般形式为 n n L 式中n 0 1 2 3等 根据已讨论的x的两个边界条件 可得 4 对于任何 n值 显然式 4 均能满足式 1 a sin L 0值之和也应满足式 1 a 因此 可写成 29 在利用边界条件 3 式时 则要求 3 式中的C3 0 则故乘积解为 5 结合边界条件 4 式上式可写为 6 为了确定所有的An值 可在上式两边向乘以sin m x L m为n的一个特定积分值 然后在x 0和x L之间积分 30 由定积分表可知 上式右边的所有积分 除n m外 对所有n值均为0 当n m时其值为An 2 左边的积分值为2 n n 1 3 5 最终解为 对于同样的半无限大平板 如果边界条件不同 则平板内的温度分布也不相同 上述的分离变量法 还可推广应用到三维导热的情况 其方法也是假设T X x Y y Z z 并将它代入适当的微分方程式中 当这三个变量进行分离后 可得到三个二次常微分方程式 在给定的边界条件下对其积分 即可得到其分析解 31 第五节一维非稳态导热 一 非稳态导热的基本概念表面温度跃升后的温度变化示意图a 半无限大物体的示意图b 半无限大物体内的温度场 32 非稳态导热过程的特征 1 物体内温度的变化 存在着部分物体不参与变化和整个物体参与变化的两个阶段 2 不同位置达到指定温度的时间不同 这是非稳态导热问题求解的重要任务 3 在热量传递的过程中 由于物体本身的温度变化要积蓄 或放出 热量 传热开始时这份热量较大 随着物体温度的变化 这份热量逐渐减小 在热平衡状态下降为零 二 第一类边界条件 表面温度为常数 33 一 温度场的求解常物性一维非稳态导热适用的微分方程为 1 非稳态导热过程开始以前 物体处于一定的环境温度T0 故初始条件为 t 0时 T T0 定值最简单的第一类边界条件为 过程开始时 壁表面温度瞬时升高并维持在恒定的温度Tw t 0 x 0处 T Tw 定值 微分方程式在上述初始及边界条件下的理论解为 2 3 34 时间t称为x点的惰性时间 4 二 表面的瞬时热流密度对式 3 求导得 代入傅里叶定律表达式 得 5 整段时间内消耗于加热每平方米半无限大物体的热量Qw为 6 35 上式中 材质不同的影响体现在物性的这种组合可表示成 b 蓄热系数 取决于材料的热物性 反映材料的蓄热能力瞬时热流密度qw和t时间内每平方米物体的蓄热量Qw用蓄热系数b表示有下列形式例一大型平壁状铸铁件在砂型中凝固冷却 设砂型内侧表面温度维持1200 不变 砂型初始温度为20 热扩散率 2 41 10 7m2 s 试求浇注后1 5h砂型中离内侧表面50mm处的温度 36 从附录中查得erf 0 694 0 6736 则三 第三类边界条件 己知周围介质温度和表面传热系数 37 半个平板厚度适用的微分方程式及定解条件可表示为 38 第六节二维及三维非稳态导热 有限长度的圆柱体 平行六面体等 这些物体可以看成是无限大平板和无限长圆柱体相交而成 有限长圆柱体 无限长棱形体 平行六面体 39 对于第三类边界条件和tw 常数的第一类边界条件的导热 已经在数学上证明 多维问题的解等于各个坐标下一维解叠乘的乘积 二维三维 4 23 4 24 40 例题4 4三边尺寸分别为2 1 0 5m 2 2 0 7m 2 3 1m的钢锭 初温t0 20 推入炉温为1200 的加热炉内加热 求4h后钢锭的最低温度与最高温度 已知钢锭的 40 5W m a 0 722 10 5 边界上传热系数h 348W m2 解 问题的解可有三块相应的无限大平板的解的乘积获得 最低温度位于