重庆大学-数学实验-微分方程

重重 庆庆 大大 学学 学学 生生 实实 验验 报报 告告 实验课程名称实验课程名称 数学实验数学实验 开课实验室开课实验室 DS1402 学学 院院 年级年级 专业班专业班 学学 生生 姓姓 名名 学学 号号 开开 课课 时时 间间 2014 至至 2015 学年第学年第 二二 学期学期 总总 成成 绩绩 教师签名教师签名 数数 学学 与与 统统 计计 学学 院院 制制 开课学院 实验室 开课学院 实验室 实验时间实验时间 年年 月月 日日 实验项目类型实验项目类型 课程课程 名称名称 数学实验数学实验 实验项目实验项目 名名 称称 微分方程求解微分方程求解 验证验证演示演示综合综合设计设计其他其他 指导指导 教师教师 龚劬龚劬成成 绩绩 实验目的 1 归纳和学习求解常微分方程 组 的基本原理和方法 2 掌握解析 数值解法 并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析 3 熟悉 MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令 4 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程 通过该实验的学习 使学生掌握微分方程 组 求解方法 解析法 欧拉法 梯度法 改进欧拉 法等 对常微分方程的数值解法有一个初步了解 同时学会使用 MATLAB 软件求解微分方程的基本命令 学会建立微分方程方面的数学模型 这对于学生深入理解微分 积分的数学概念 掌握数学的分析思维 方法 熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的 基础实验 1 微分方程及方程组的解析求解法 2 微分方程及方程组的数值求解法 欧拉 欧拉改进算法 3 直接使用 MATLAB 命令对微分方程 组 进行求解 包括解析解 数值解 4 利用图形对解的特征作定性分析 5 建立微分方程方面的数学模型 并了解建立数学模型的全过程 实验过程 1 求微分方程的解析解 并画出它们的图形 1 y y 2x y 0 1 0 x 1 2 y ycos x 0 y 0 1 y 0 0 解 1 M 文件 k dsolve Dy y 2 x y 0 1 x ezplot k 0 1 运行结果 k 2 x 2 3 exp x 2 M 文件 x dsolve D2y y cos x 0 y 0 1 Dy 0 0 ezplot x 运行结果 x cos cos x 1 2 t 2 用向前欧拉公式和改进的欧拉公式求方程y y 2x y y 0 1 0 x 1 h 0 1 的数值解 要求编写程序 并比较两种方法的计算结果 说明了什么问题 解 向前欧拉公式的M文件 x 1 0 y 1 1 h 0 1 for i 1 10 x i 1 x i h y i 1 y i h y i 2 x i y i double y i 1 disp y i 1 end 运行结果 1 1000 1 1918 1 2774 1 3582 1 4351 1 5090 1 5803 1 6498 1 7178 1 7848 改进欧拉公式的M文件 x 1 0 y 1 1 h 0 1 for i 1 10 x i 1 x i h k1 y i 2 x i y i k2 y i h k1 2 x i 1 y i h k1 y i 1 y i 0 5 h k1 k2 double y i 1 disp y i 1 end 运行结果 1 1000 1 1918 1 2774 1 3582 1 4351 1 5090 1 5803 1 6498 1 7178 1 7848 1 0959 1 1841 1 2662 1 3434 1 4164 1 4860 1 5525 1 6165 1 6782 1 7379 解析求解 k dsolve Dy y 2 x y y 0 1 x ezplot k 0 1 运行结果 k 2 x 1 1 2 当 x 1 时 y 1 7320 通过比较结果 说明改进型的欧拉方法比向前欧拉方法的结果精确 3 Rossler 微分方程组 当固定参数 b 2 c 4 时 试讨论随参数a由小到大变化 如a 0 0 65 而方程解的变化情况 并且 画出空间曲线图形 观察空间曲线是否形成混沌状 首先建立如下 M 文件 function xdot fish t x b 2 c 4 global a xdot x 2 x 3 x 1 a x 2 b x 3 x 1 c end 再建立 M 文件 x0 0 0 0 global a for a 0 0 65 3 0 65 t x ode45 fish 0 200 x0 x1 x 1 x2 x 2 x3 x 3 subplot 1 2 1 plot t x1 r t x2 b t x3 m title x 红色 y 蓝色 z 紫色 随 t 的变化情况 xlabel t pause 1 subplot 1 2 2 plot3 x1 x2 x3 grid title 相图 xlabel x ylabel y zlabel z pause 20 end 运行结果 下面 4 图分别为 a 0 0 13 0 26 0 39 0 52 的图形 图 4 图 8 4 Apollo 卫星的运动轨迹的绘制 解 解 M M 文件 文件 首先建立首先建立 r1r1 函数函数 function y r1 x u 1 82 45 a x 1 b x 2 y a u 2 b 2 1 2 再建立再建立 r2r2 函数函数 function y r2 x u 1 82 45 u1 1 u a x 1 b x 2 y a u1 2 b 2 1 2 接着建立如下接着建立如下 M M 文件文件 function xdot star t x u 1 82 45 u1 1 u k x 1 l x 2 m x 3 n x 4 xx k m xdot l 2 n k u1 k u r1 xx 3 u k u1 r2 xx 3 n 2 l m u1 m r1 xx 3 u m r2 xx 3 最后调用如下最后调用如下 M M 文件文件 ts 0 20 x0 1 2 0 0 1 04935751 t x ode45 star ts x0 y1 x 1 y2 x 3 plot y1 y2 运行结果 11 33 12 1 33 12 1 2222 121 2 2 1 82 45 1 0 1 2 0 0 0 0 0 1 04935751 xx xyx rr yy yxy rr rxyrxy xxyy 应用实验应用实验 5 5 盐水的混合问题 盐水的混合问题 一个圆柱形的容器 内装 350 升的均匀混合的盐水溶液 如果纯水以每秒 14 升的速度从容器顶部流 入 同时 容器内的混合的盐水以每秒 10 5 升的速度从容器底部流出 开始时 容器内盐的含量为 7 千克 求经过时间t后容器内盐的含量 做出如下假设 做出如下假设 1 假设在不同浓度的水中的盐扩散速度都相同 2 假设任何时刻容器内的盐水都是均匀的 3 用 y t 表示容器内 t 时刻的盐的含量 用 W t 表示容器内 t 时刻的水的总量 用 O 表示盐水 流出的速度 用 I 代表纯水流入的速度 时间变化后容器内盐的含量为 y t 考虑在内流 t t t 出的盐水的为 O则其流出的盐为 t tO tW ty 通过以上假设可以得如下模型 通过以上假设可以得如下模型 tO tW ty tytty tOItW Odtty tydyty 0 化简可得 tOItW Oty dt dy o M M 文件 文件 k dsolve Dy y Y T t0 C Y t y 0 7 t 运行结果 运行结果 k 7 T t0 Y C Y C Y t T t0 Y C Y 由题目可知 W t0 350 O 10 5 I 14 从而 y t 7000000 t 100 3 总结与体会 通过该实验的学习 我掌握了微分方程 组 的求解方法 解析法 欧拉法 梯度法 改进欧拉法 等 对常微分方程的数值解法有了一个初步的了解 同时学会了使用 MATLAB 软件求解微分方程的基本 命令 学会了建立微分方程方面的数学模型 加深了我对微分 积分等数学概念的理解 同时使我掌握 了数学的分析思维方法 熟悉了处理大量的工程计算问题的方法 设计记录表格 包括碰到的问题汇总及解决情况 题号问题解决情况 1解微分方程并作图 2欧拉公式相关 3微分方程组 4卫星轨迹绘制 盐水的混合问题盐水的混合问题模型建立 数据处理 教师签名 年 月