解析几何题型小结

椭圆 与几何结合与几何结合 一 一 椭圆椭圆的的对对称性称性 1 已知椭圆 C 1 a b 0 的左焦点为 F C 与过原点的直线相交于 A B 两点 连接了 AF BF 若 AB 10 BF 8 cos ABF 则 C 的离心率为 A B C D 二二 设设角 利用三角函数角 利用三角函数 2 设 F1 F2分别为椭圆 1 的左 右焦点 c 若直线 x 上存在点 P 使线段 PF1的中垂线过点 F2 则椭圆离心率的取值范围是 A 0 B 0 C 1 D 1 3 2014 江西二模 已知两点 F1 1 0 及 F2 1 0 点 P 在以 F1 F2为焦点的椭圆 C 上 且 PF1 F1F2 PF2 构成等差数列 1 求椭圆 C 的方程 2 如图 动直线 l y kx m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点 点 M N 是直线 l 上的两点 且 F1M l F2N l 求四边形 F1MNF2面积 S 的最大值 三 三 长长度 面度 面积积关系关系转转化化 一 绕来绕去 一 绕来绕去 4 已知 P 为椭圆上一点 F1 F2为椭圆的左 右焦点 B 为椭圆右顶点 若 PF1F2平分线与 PF2B 的平分线交于点 Q 6 6 则 二 拆 补线段关系 二 拆 补线段关系 5 2014 重庆三模 已知圆 M x 2 y2 r2 r 0 若椭圆 C 1 a b 0 的右顶点 为圆 M 的圆心 离心率为 求椭圆 C 的方程 若存在直线 l y kx 使得直线 l 与椭圆 C 分别交于 A B 两点 与圆 M 分别交于 G H 两点 点 G 在线段 AB 上 且 AG BH 求圆 M 半径 r 的取值范围 6 2008 石景山区一模 如图 设 F 是椭圆 的左焦点 直线 l 为左准线 直 线 l 与 x 轴交于 P 点 MN 为椭圆的长轴 已知 且 求椭圆的标准方程 过点 P 作直线与椭圆交于 A B 两点 求 ABF 面积的 最大值 三 用坐标表示面积 三 用坐标表示面积 7 2014 合肥一模 已知 ABC 的三个顶点都在抛物线 y2 2px p 0 上 且抛物线的焦点 F 满足 若 BC 边上的中线所在直线 l 的方程为 mx ny m 0 m n 为常数且 m 0 求 p 的值 O 为抛物线的顶点 OFA OFB OFC 的面积分别记为 S1 S2 S3 求证 为定值 8 2014 四川 已知 F 为抛物线 y2 x 的焦点 点 A B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧 2 其 中 O 为坐标原点 则 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是 A 2B 3C D 9 已知曲线 C1 曲线 C2 曲线 C2的左顶点恰为曲 线 C1的左焦点 求 的值 设 P x0 y0 为曲线 C2上一点 过点 P 作直线交曲 线 C1于 A C 两点 直线 OP 交曲线 C1于 B D 两点 若 P 为 AC 中点 求证 直线 AC 的方程为 x0 x 2y0y 2 求四边形 ABCD 的面积 10 2014 金华模拟 已知抛物线 Q y2 2px p 0 的焦点与椭圆 1 的右焦点相同 求抛物线 Q 的方程 如图所示 设 A B C 是抛物线 Q 上任意不同的三点 且点 A 位 于 x 轴上方 B C 位于 x 轴下方 直线 AB AC 与 x 轴分别交于点 E F BF 与直线 OC EC 分别交于点 M N 记 OBM ENF MNC 的面积依次为 S1 S2 S3 求 证 S1 S2 S3 11 2013 湖北 如图 已知椭圆 C1与 C2的中心在坐标原点 O 长轴均为 MN 且在 x 轴上 短轴长分别 为 2m 2n m n 过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为 A B C D 记 BDM 和 ABN 的面积分别为 S1和 S2 当直线 l 与 y 轴重合时 若 S1 S2 求 的值 当 变化时 是否存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1 S2 并说明理由 四 四 线线段比例关系得出坐段比例关系得出坐标标关系关系 12 已知椭圆 C y2 1 的短轴的端点分别为 A B 如图 直线 AM BM 分别与椭圆 C 交于 E F 两 点 其中点 M m 满足 m 0 且 m 1 用 m 表示点 E F 的坐标 2 证明直线 EF 与 y 轴交点的位置与 m 无关 3 若 BME 面积是 AMF 面积的 5 倍 求 m 的值 第 3 问中 面积关系转化为线段长度关系 进而用点坐标表示长度 与韦达定理联系 13 如图 已知椭圆的中心在坐标原点 焦点在 x 轴上 它的 一个顶点为 A 0 且离心率等于 过点 M 0 2 的直线 l 与椭圆相交于 P Q 不同两点 点 N 在线 段 PQ 上 求椭圆的标准方程 设 试求 的取值范围 五 五 线线性性规规划思想划思想 14 已知椭圆 C 的中心在原点 焦点在 x 轴上 以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积 为 8 的正方形 记为 Q 求椭圆 C 的方程 设点 P 是椭圆 C 的左准线与 x 轴的交点 过点 P 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M N 两点 当线段 MN 的中点落在正方形 Q 内 包括边界 时 求直线 l 的斜率的取值范围 计算技巧计算技巧 一 利用多个曲一 利用多个曲线线方程方程联联立立 15 2014 江西模拟 若两曲线在交点 P 处的切线互相垂直 则称呼两曲线在点 P 处正交 设椭圆 1 0 b 2 与双曲线 y2 1 在交点处正交 则椭圆 1 的离心率为 A B C D 1 二 怎么二 怎么设设 一 直接求点 一 直接求点 16 已知曲线 C 上任意一点 P 到两定点 F1 1 0 与 F2 1 0 的距离之和为 4 求曲线 C 的方程 设曲线 C 与 x 轴负半轴交点为 A 过点 M 4 0 作斜率为 k 的直线 l 交曲线 C 于 B C 两点 B 在 M C 之间 N 为 BC 中点 证明 k kON为定值 是否存在实数 k 使得 F1N AC 如果存在 求直线 l 的方程 如果不存在 请说明理由 本题由于 问中已经得出了 N 点坐标 F1 N A C 点中仅 A 点坐标未知 若再设直线会更加麻 烦 那么求出 N 点坐标 将 A 代入 利用椭圆的范围可以进行求解 17 已知 A B 是抛物线 W y x2上的两个点 点 A 的坐标为 1 1 直线 AB 的斜率为 k O 为坐标原 点 若抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方 求 k 的取值范围 设 C 为 W 上一点 且 AB AC 过 B C 两点分别作 W 的切线 记两切线的交点为 D 求 OD 的 最小值 第二小问中设出切线方程直接求出交点坐标 不失为一种直接的方法 18 已知抛物线 C x2 2py p 0 的焦点为 F 抛物线上一点 A 的横坐标为 x1 x1 0 过点 A 作抛物线 C 的切线 l1交 x 轴于点 D 交 y 轴于点 Q 交直线 l y 于点 M 当 FD 2 时 AFD 60 求证 AFQ 为等腰三角形 并求抛物线 C 的方程 若 B 位于 y 轴左侧的抛物线 C 上 过点 B 作抛物线 C 的切线 l2交直线 l1于点 P 交直线 l 于点 N 求 PMN 面积的最小值 并求取到最小值时的 x1值 19 2014 潍坊模拟 如图 椭圆 C1 的离 心率为 x 轴被曲线 C2 y x2 b 截得的线段长等于椭圆 C1的短轴 长 C2与 y 轴的交点为 M 过点 M 的两条互相垂直的直线 l1 l2分别交 抛物线于 A B 两点 交椭圆于 D E 两点 求 C1 C2的方程 记 MAB MDE 的面积分别为 S1 S2 若 求直线 AB 的方程 二 不 二 不设设点 点 设设直直线线 20 已知椭圆 1 a b 0 的右焦点为 F2 1 0 点 H 2 在椭圆上 1 求椭圆的方程 2 点 M 在圆 x2 y2 b2上 且 M 在第一象限 过 M 作圆 x2 y2 b2的切线交 椭圆于 P Q 两点 问 PF2Q 的周长是否为定值 如果是 求出定值 如 果不是 说明理由 三 不 三 不设设直直线线 设设点点 21 2014 南昌模拟 已知椭圆 C 的左 右焦点分 别为 F1 F2 O 为原点 如图 点 M 为椭圆 C 上的一点 N 是 MF1的中点 且 NF2丄 MF1 求点 M 到 y 轴的距离 如图 直线 l y kx m 与椭圆 C 上相交于 P Q 两点 若在椭圆 C 上存在点 R 使 OPRQ 为平行四边形 求 m 的取值 范围 22 2014 南通二模 在平面直角坐标系 xOy 中 设曲线 C1 1 a b 0 所围成的封闭图 形的面积为 4 曲线 C1上的点到原点 O 的最短距离为 以曲线 C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆 记为 C2 1 求椭圆 C2的标准方程 2 设 AB 是过椭圆 C2中心 O 的任意弦 l 是线段 AB 的垂直平分线 M 是 l 上的点 与 O 不重合 若 M 是 l 与椭圆 C2的交点 求 AMB 的面积的最小值 本题设出 A 坐标 引入参数表示 B 坐标 再由 AB 在椭圆上得到了关系式 省去了设直线的麻烦 23 2014 吉林二模 已知椭圆 1 a b 0 的右焦点为 F 1 0 离心率 e A B 是椭 圆上的动点 求椭圆标准方程 若直线 OA 与 OB 的斜率乘积 kOA kOB 动点 P 满足 其中实数 为常数 问 是否存在两个定点 F1 F2 使得 PF1 PF2 为定值 若存在 求 F1 F2的坐标 若不存在 说明理由 若点 A 在第一象限 且点 A B 关于原点对称 点 A 在 x 轴上的射影为 C 连接 BC 并延长交椭圆 于点 D 证明 AB AD 24 2013 北京 已知 A B C 是椭圆 W 上的三个点 O 是坐标原点 当点 B 是 W 的右顶点 且四边形 OABC 为菱形时 求此菱形的面积 当点 B 不是 W 的顶点时 判断四边形 OABC 是否可能为菱形 并说明理由 四 以一条直 四 以一条直线线代替其它直代替其它直线线 25 2014 马鞍山一模 已知中心在原点 O 焦点在 x 轴上 离心率为的椭圆过点 1 求椭圆的方程 2 设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P Q 两点 满足直线 OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列 求 OPQ 面积的取值范围 本题中 P Q 点由直线 PQ 而生 故设 PQ 斜率 表达 OP OQ 斜率 26 2014 杭州二模 设抛物线 C y2 2px p 0 A 为抛物线上一点 A 不同于原点 O 过焦点 F 作 直线平行于 OA 交抛物线 C 于点 P Q 两点 若过焦点 F 且垂直于 x 轴的直线交直线 OA 于 B 则 FP FQ OA OB 五 五 y kx m 不好解 再不好解 再试试一一试试 x my t 27 已知定点 F1 1 0 F2 1 0 动点 P x y 且满足 PF1 F1F2 PF2 成等差数列 求点 P 的轨迹 C1的方程 若曲线 C2的方程为 x t 2 y2 t2 2t 2 过点 A 2 0 的直线 l 与曲线 C2 相切 求直线 l 被曲线 C1截得的线段长的最小值 28 若点 A 1 2 是抛物线 C y2 2px p 0 上一点 经过点 B 5 2 的直线 l 与抛物线 C 交于 P Q 两点 求证 为定值 若点 P Q 与点 A 不重合 问 APQ 的面积是否存在最大值 若存在 求出最大值 若不存在 请 说明理由 29 2013 浙江 如图 点 P 0 1 是椭圆 C1 1 a b 0 的一个顶点 C1的长轴是圆 C2 x2 y2 4 的直径 l1 l2是过点 P 且互相垂直的两条直线 其中 l1交圆 C2于 A B 两点 l2交椭圆 C1于另一点 D 1 求椭圆 C1的方程 2 求 ABD 面积的最大值时直线 l1的方程 三 二次方程思想的灵活使用三 二次方程思想的灵活使用 30 已知椭圆 1 a b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 离心率为 P 是椭圆上一点 且 PF1F2面积的最大值等于 2 求椭圆的方程 过点 M 0 2 作直线 l 与直线 MF2垂直 试判断直线 l 与椭圆的位置关系 直线 y 2 上是否存在点 Q 使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直 若存在 求点 Q 的坐标 若不存在 说明理由 31 2013 怀化二模 在直角坐标平面内 y 轴右侧的一动点 P 到点 0 的距离比它到 y 轴的距离大 求动点 P 的轨迹 C 的方程 设 Q 为曲线 C 上的一个动点 点 B C 在 y 轴上 若 QBC 为圆 x 1 2 y2 1 的外切三角形 求 QBC 面积的最小值 向量问题向量问题 一 一 圆圆上点 与上点 与圆圆心心结结合合 32 已知 P 是椭圆上任意一点 EF 是圆 M x2 y 2 2 1 的直径 则的最大值为 33 2014 武侯区模拟 已知椭圆 C 的两个焦点是 0 和 0 并且经过点 抛物线的顶点 E 在坐标原点 焦点恰好是椭圆 C 的右顶点 F 求椭圆 C 和抛物线 E 的标准方程 过点 F 作两条斜率都存在且互相垂直的直线 l1 l2 l1交抛物线 E 于点 A B l2交抛物线 E 于点 G H 求的最小值 这题推广了方法 除了与圆心联系外 还可以与焦点联系 二 利用向量关系二 利用向量关系转转化化为为数量关系 代入曲数量关系 代入曲线线方程方程 34 如图 已知椭圆 E 的中心是原点 O 其右焦点为 F 2 0 过 x 轴上一点 A 3 0 作直线 l 与椭圆 E 相交于 P Q 两点 且 PQ 的最大值为 2 求椭圆 E 的方程 设 1 过点 P 且平行于 y 轴的直线与椭圆 E 相交 于另一点 M 试问 M F Q 是否共线 若共线请证明 反之说明理 由 一些关系的处理方法一些关系的处理方法 35 2013 广州三模 如图 长为 m 1 m 0 的线段 AB 的两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动 点 M 是线段 AB 上一点 且 1 求点 M 的轨迹 的方程 并判断轨迹 为何种圆锥曲线 2 设过点 Q 0 且斜率不为 0 的直线交轨迹 于 C D 两点 试问在 x 轴上是否存在定点 P 使 PQ 平分 CPD 若存在 求点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 第二问中对于条件 PQ 平分 CPD 的处理方法是 PC PD 斜率互为相反数 36 已知椭圆 C 1 a b 0 的离心率 e 椭圆 C 的上 下顶点分别为 A1 A2 左 右顶 点分别为 B1 B2 左 右焦点分别为 F1 F2 原点到直线 A2B2的距离为 1 求椭圆 C 的方程 2 过原点且斜率为的直线 l 与椭圆交于 E F 点 试判断 EF2F 是锐角 直角还是钝角 并写出理由 3 P 是椭圆上异于 A1 A2的任一点 直线 PA1 PA2 分别交 x 轴于点 N M 若直线 OT 与过点 M N 的圆 G 相切 切点为 T 证明 线段 OT 的长为定值 并求出该定值 切割线定理的使用会使第三问非常简单 37 已知椭圆 C 的中心在原点 焦点在 x 轴上 离心率等于 它 的一个顶点恰好是抛物线 y2 的焦点 PQ 过椭圆焦点且 PQ x 轴 A B 是椭圆位于直线 PQ 两侧的两动点 1 求椭圆 C 的方程 3 当 A B 运动时 满足 APQ BPQ 试问直线 AB 的斜率是 否为定值 请说明理由 这里第三问求 k 不是像通常一样求出 A B 坐标 而是得出 A P BP 横坐标的关系 即 x1 2 x2 2 k 的 表达式中的 y2 y1 则用 x 来代替 求范围问题的处理方法 求范围问题的处理方法 一 一 设设出未知量 利用点在直出未知量 利用点在直线线 曲 曲线线上消元 只剩一个未知量上消元 只剩一个未知量 38 2014 北京 已知椭圆 C x2 2y2 4 1 求椭圆 C 的离心率 2 设 O 为原点 若点 A 在椭圆 C 上 点 B 在直线 y 2 上 且 OA OB 求直线 AB 长度的最小值 39 2014 齐齐哈尔一模 已知椭圆 C1 1 a b 0 的离心率为 e 直线 l y x 2 与以 原点为圆心 以椭圆 C1的短半轴长为半径的圆 O 相切 1 求椭圆 C1的方程 2 抛物线 C2 y2 2px p 0 与椭圆 C1有公共焦点 设 C2与 x 轴交于点 Q 不同的两点 R S 在 C2 上 R S 与 Q 不重合 且满足 0 求 的取值范围 二 求出含参数的曲二 求出含参数的曲线线上点的坐上点的坐标标表达式 利用二次曲表达式 利用二次曲线线曲曲线线范范围围求参数范求参数范围围 40 设 A B 分别是直线和上的两个动点 并且 动点 P 满足 记动点 P 的轨迹为 C 1 求曲线 C 的方程 2 若点 D 的坐标为 0 16 M N 是曲线 C 上的两个动点 并且 求实数 的取值范围 3 M N 是曲线 C 上的任意两点 并且直线 MN 不与 y 轴垂直 线段 MN 的中垂线 l 交 y 轴于点 E 0 y0 求 y0的取值范围 41 2014 山东模拟 已知 F1 F2分别为椭圆 C1 1 a b 0 的上下焦点 其 F1是抛物线 C2 x2 4y 的焦点 点 M 是 C1与 C2在第二象限的交点 且 MF1 1 试求椭圆 C1的方程 2 与圆 x2 y 1 2 1 相切的直线 l y k x t t 0 交椭圆于 A B 两点 若椭圆上一点 P 满足 求实数 的取值范围 此类题解题流程 先根据题中条件求出主元的取值 中 设出三点 用两点 直线交 二次曲线所得点 表示第三点 将第三点坐标代入椭圆方程 得到用主元表达的参数的表达式 求参数范 围 点共线条件的灵活使用点共线条件的灵活使用 42 2014 郑州二模 已知平面上的动点 R x y 及两定点 A 2 0 B 2 0 直线 RA RB 斜率 分别为 k1 k2 且 k1 k2 设动点 R 的轨迹为曲线 C 求曲线 C 的方程 四边形 MNPQ 的四个顶点均在曲线 C 上 且 MQ NP MQ x 轴 若直线 MN 和直线 QP 交于点 S 4 0 问 四边形 MNPQ 两条对角线的交点是否为定点 若是 求出定点坐标 若不是 请说明理 由 交曲线 C 于点 Q 求证 直线 NQ 过定点 并求出定点坐标 本题由椭圆对称性 得出了定点在 x 轴上的结论 且点共线关系的应用使我们省去了设直线方程的麻烦 43 2013 江西 如图 椭圆 C 经过点 P 1 离心率 e 直线 l 的 方程为 x 4 1 求椭圆 C 的方程 2 AB 是经过右焦点 F 的任一弦 不经过点 P 设直线 AB 与直 线 l 相交于点 M 记 PA PB PM 的斜率分别为 k1 k2 k3 问 是否存在常数 使得 k1 k2 k3 若存在 求 的值 若不存在 说明理由 本题还要注意点共线条件的使用 即用点坐标表示斜率 双曲线与抛物线 一 一 设设点 直点 直线进线进行直接行直接计计算算 44 已知双曲线的左右焦点分别为 F1 F2 过 F1的直线分别交双曲线的 两条渐近线于点 P Q 若点 P 是线段 F1Q 的中点 且 QF1 QF2 则此双曲线的离心率等于 45 C 是以原点 O 为中心 焦点在 y 轴上的等轴双曲线在第一象限部分 曲线 C 在点 P 处的切线分别交该 双曲线的两条渐近线于 A B 两点 则 A OP AB B OP AB C AB OP AB D OP AB 46 2012 顺义区二模 已知 A B P 是双曲线上不同的三点 且 A B 两点关于原点 O 对称 若直线 PA PB 的斜率乘积 则该双曲线的离心率 e 47 2014 太原一模 过 x 轴上点 P a 0 的直线与抛物线 y2 8x 交于 A B 两点 若 为定值 则 a 的值为 A 1B 2C 3D 4 47 2011 江西模拟 已知抛物线 y2 2px p 0 与双曲线 1 a 0 b 0 有相同的焦点 F 点 A 是两曲线的一个交点 且 AF x 轴 若 l 为双曲线的一条渐近线 则 l 的倾斜角所在的区间可能 是 A B C D 48 2014 浙江 设直线 x 3y m 0 m 0 与双曲线 1 a 0 b 0 的两条渐近线分别交于 点 A B 若点 P m 0 满足 PA PB 则该双曲线的离心率是 49 已知 M x1 y1 是椭圆上任意一点 F 为椭圆的右焦点 1 若椭圆的离心率为 e 试用 e a x1表示 MF 并求 MF 的最值 2 已知直线 m 与圆 x2 y2 b2相切 并与椭圆交于 A B 两点 且直线 m 与圆的切点 Q 在 y 轴的右侧 若 a 2 b 1 求 ABF 的周长 50 2013 山东 抛物线 C1 的焦点与双曲线 C2 的右焦点的连线 交 C1于第一象限的点 M 若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线 则 p A B C D 51 2013 辽宁 已知椭圆 C 的左焦点 F C 与过原点的直线相交于 A B 两点 连结 AF BF 若 AB 10 AF 6 则 C 的离心率为 A B C D 二 与几何关系二 与几何关系联联系系 52 2014 湖北 设 a b 是关于 t 的方程 t2cos tsin 0 的两个不等实根 则过 A a a 2 B b b 2 两点的直线与双曲线 1 的公共点的个数为 A 0B 1C 2D 3 53 已知双曲线的左右焦点分别为 F1 F2 点 O 为坐标原点 点 P 在 双曲线右支上 PF1F2 内切圆的圆心为 Q 圆 Q 与 x 轴相切于点 A 过 F2 作直线 PQ 的垂线 垂足为 B 则 OA 与 OB 的长度依次为 A a aB a C D 54 已知双曲线的左焦点为 F1 左 右顶点为 A1 A2 P 为双曲线右支上任意一点 则分别 以线段 PF1 A1A2为直径的两个圆的位置关系为 本题应用了几何关系中常被忽略的一点 原点是焦距的中点 可用此作中线 55 如图 过抛物线 x2 2py p 0 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A B 两点 交其准线于点 C 若 BC BF 且 AF 4 2 则 p 56 2014 河南二模 已知椭圆的左焦点为 F 右顶点为 A 抛物线 y2 a c x 与椭圆交于 B C 两点 若四边形 ABFC 是菱形 则椭圆的离心率是 A B C D 57 2014 北京 已知椭圆 C x2 2y2 4 1 求椭圆 C 的离心率 2 设 O 为原点 若点 A 在椭圆 C 上 点 B 在直线 y 2 上 且 OA OB 求直线 AB 与圆 x2 y2 2 的位 置关系 并证明你的结论 三 弦三 弦为为直径成直径成圆圆 找 找圆圆心 作准心 作准线线垂垂线线 58 已知双曲线的方程为 x2 1 直线 m 的方程为 x 过双曲线的右焦点 F 的直线 l 与双曲线的右支 相交于点 P Q 两点 以 PQ 为直径的圆与直线 m 相交于 M N 记劣弧 MN 的长度为 n 则的值 为 59 2013 嘉兴模拟 己知抛物线 y2 4x 的焦点为 F 若点 A B 是该抛物线上的点 线段 AB 的中点 M 在抛物线的准线上的射影为 N 则的最大值为 四 线段比例关系得出坐标关系 60 2014 钟祥市模拟 已知双曲线 E 1 a 0 的中心为原点 O 左 右焦点分别为 F1 F2 离心率为 点 P 是直线 x 上任意一点 点 Q 在双曲线 E 上 且满足 0 1 求实数 a 的值 2 证明 直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值 3 若点 P 的纵坐标为 1 过点 P 作动直线 l 与双曲线右支交于不同两点 M N 在线段 MN 上取异于点 M N 的点 H 满足 证明点 H 恒在一条定直线上 注意第三问在得到坐标关系后对等式关系进行的特殊处理 五 抛物五 抛物线线性性质质 定 定义义 的 的应应用用 61 抛物线 y2 4x 的焦点为 F 准线为 l 点 M 4 4 是抛物线上一点 则经过点 F M 且与 l 相切的圆 共有 个 62 已知抛物线 C x2 4y 的焦点为 F P 是抛物线上异于原点的任意一点 直线 PF 与抛物线另一交点为点 Q 设 l 是过点 P 的抛物线的切线 l 与直线 y 1 和 x 轴的交点分别为 A B 1 求证 AF PQ 2 过 B 作 BC PQ 于 C 若 PC QF 求 PQ 六 求六 求圆圆恒恒过过定点定点问题问题 方法一 一般情况下 根据二次曲线对称性 定点在方法一 一般情况下 根据二次曲线对称性 定点在 x 轴上轴上 63 2014 韶关一模 设抛物线 y2 2px p 0 的焦点为 F 点 线段 FA 的中点在抛物 线上 设动直线 l y kx m 与抛物线相切于点 P 且与抛物线的准线相交于点 Q 以 PQ 为直径的圆记为 圆 C 1 求 p 的值 2 试判断圆 C 与 x 轴的位置关系 3 在坐标平面上是否存在定点 M 使得圆 C 恒过点 M 若存在 求出 M 的坐标 若不存在 说明理 由 方法二 求出直径端点坐标 得出圆直径方程 使该二次方程的系数为方法二 求出直径端点坐标 得出圆直径方程 使该二次方程的系数为 0 64 已知 F 1 0 直线 l x 1 P 为平面上的动点 过点 P 作 l 的垂线 垂足为点 Q 且 求动点 P 的轨迹曲线 C 的方程 设动直线 y kx m 与曲线 C 相切于点 M 且与直线 x 1 相交于点 N 试问 在 x 轴上是否存在一 个定点 E 使得以 MN 为直径的圆恒过此定点 E 若存在 求出定点 E 的坐标 若不存在 说明理由 方法三 看直线斜率不存在和为方法三 看直线斜率不存在和为 0 两种特殊情况 进行猜想 在为两种特殊情况 进行猜想 在为 K 的情况中进行证明的情况中进行证明 65 2014 凉州区二模 已知椭圆 C 1 a b 0 的离心率为 左右焦点分别为 F1 F2 抛物线 y2 4x 的焦点 F 恰好是该椭圆的一个顶点 求椭圆 C 的方程 已知圆 M x2 y2 的切线 l 与椭圆相交于 A B 两点 那么以 AB 为直径的圆是否经过定点 如 果是 求出定点的坐标 如果不是 请说明理由 曲线与方程曲线与方程 求点求点轨轨迹的形状或方程迹的形状或方程 66 2011 湖北模拟 已知定点 F1 2 0 F2 2 0 N 是圆 O x2 y2 1 上任意一点 点 F1关于点 N 的对称点为 M 线段 F1M 的中垂线与直线 F2M 相交于点 P 则点 P 的轨迹是 A 椭圆B 双曲线C 抛物线D 圆 67 双曲线 M 1 a 0 b 0 实轴的两个顶点为 A B 点 P 为双曲线 M 上除 A B 外的一个 动点 若 QA PA 且 QB PB 则动点