高考数学（理科）一轮复习对数与对数函数学案带答案

1 / 19高考数学（理科）一轮复习对数与对数函数学案带答案本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 学案 8对数与对数函数导学目标：1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数yax 与对数函数 ylogax 互为反函数(a0，a1)，体会对数函数是一类重要的函数模型自主梳理1对数的定义如果_，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作_，其中_叫做对数的底数，_叫做真数2对数的性质与运算法则(1)对数的性质(a0 且 a1)_；_；_；_.(2)对数的重要公式2 / 19换底公式：logbN_(a，b 均大于零且不等于 1)；，推广_.(3)对数的运算法则如果 a0，那么loga(mN)_；logamN_；logamn_(nR)；nmlogam.3对数函数的图象与性质a1图象性质(1)定义域：_(2)值域：_(3)过点_，即 x_时，y_(4)当 x1 时，_当 01 时，_当01 时，_(6)是(0，)上的_函数(7)是(0，)上的3 / 19_函数4.反函数指数函数 yax 与对数函数_互为反函数，它们的图象关于直线_对称自我检测 1(XX四川)2log510的值为()A0B1c2D42(XX辽宁)设 2a5bm，且 1a1b2，则 m的值为()10c20D1003(XX辽宁)已知函数 f(x)满足：当 x4 时，f(x)12x；当 x4 时，f(x)f(x1)则 f(2log23)的值为()4(XX安庆模拟)定义在 R 上的偶函数 f(x)在0，)上递增，f(13)0，则满足0 的 x 的取值范围是()A(0，)B(0，12)(2，)c(0，18)(12，2)D(0，12)5(XX台州期末)已知0c，mlogac，nlogbc，则 m 与 n的大小关系是_.4 / 19探究点一对数式的化简与求值例 1计算：(1)；(2)12lg324943lg8lg245；(3)已知 2lgxy2lgxlgy，求.变式迁移 1计算：(1)log2748log21212log2421；(2)(lg2)2lg2lg50lg25.探究点二含对数式的大小比较例 2(1)比较下列各组数的大小log323 与 log565；与(2)已知 log12blog12c，比较 2b,2a,2c的大小关系变式迁移 2(1)(XX全国)设alog3，blog23，clog32，则()5 / 19Aabcba(2)设 a，b，c 均为正数，且 2a，(12)b，(12)clog2c，则()Aaa0ccc探究点三对数函数的图象与性质例 3已知 f(x)logax(a0 且 a1)，如果对于任意的 x13，2都有|f(x)|1 成立，试求 a 的取值范围变式迁移 3(XX全国)已知函数 f(x)|lgx|，若 0b，且 f(a)f(b)，则 a2b 的取值范围是()A(22，)B22，)c(3，)D3，)分类讨论思想的应用例(12 分)已知函数 f(x)loga(1ax)(a0，a1)(1)解关于 x 的不等式：loga(1ax)f(1)；6 / 19(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)是 f(x)图象上的两点，求证：直线 AB 的斜率小于 0.【答题模板】(1)解f(x)loga(1ax)，f(1)loga(1a)1a1.不等式可化为 loga(1ax)loga(1a)1ax1a.，即ax1.不等式的解集为(0,1)4 分(2)证明设 x1x2，则 f(x2)f(x1).1ax1.a1 时，f(x)的定义域为(，0)；6 分01 时，f(x)的定义域为(0，)当 0.0.f(x2)y1.同理可证，当 ay1.10 分综上：y2y1，即y2y10.直线 AB 的斜率小于 0.12 分【突破思维障碍】解决含参数的对数问题，不可忽视对底数 a 的分类讨论，7 / 19即 a1，其次要看定义域，如果将函数变换，务必保证等价性1求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤：(1)确定定义域；(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数 yf(u)，ug(x)；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则 yf(g(x)为增函数，若一增一减，则 yf(g(x)为减函数，即“同增异减” 2用对数函数的性质比较大小(1)同底数的两个对数值的大小比较例如，比较 logaf(x)与 logag(x)的大小，其中 a0 且 a1.若 af(x)0.若 0logag(x)g(x)(2)同真数的对数值大小关系如图：图象在 x 轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即0b.8 / 193常见对数方程式或对数不等式的解法(1)形如 logaf(x)logag(x)(a0 且 a1)等价于f(x)g(x)，但要注意验根对于 logaf(x)logag(x)等价于 01 时，(2)形如 F(logax)0、F(logax)0 或 F(logax)0，一般采用换元法求解(满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1(XX北京市丰台区高三一调)设 my|y(12)x，x0，)，Ny|ylog2x，x(0,1，则集合mN 等于()A(，0)1，)B0，)c(，1D(，0)(0,1)2(XX全国)设alog32，bln2，c512，则()Aaacca3(XX天津)若函数 f(x)log2x，x0，若 f(a)f(a)，则实数 a 的取值范围是()9 / 19A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)c(1,0)(1，)D(，1)(0,1)4(XX济南模拟)设函数 f(x)定义在实数集上，f(2x)f(x)，且当 x1 时，f(x)lnx，则有()Af(13)f(12)Bf(12)f(13)cf(12)f(2)Df(2)f(13)5(XX青岛模拟)已知函数 f(x)axlogax(a0，a1)在1,2上的最大值与最小值之和为 loga26，则 a 的值为()2D4题号 12345答案二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)62lg523lg8lg5lg20lg22_.7(XX湖南师大附中检测)已知函数 f(x)lgaxa2x 在区间1,2上是增函数，则实数 a 的取值范围是_8已知 f(3x)4xlog23233，则 f(2)f(4)f(8)f(28)_.三、解答题(共 38 分)10 / 199(12 分)已知 f(x)2log3x，x1,9，求 yf(x)2f(x2)的最大值及 y 取最大值时 x 的值10(12 分)(XX北京东城 1 月检测)已知函数f(x)loga(x1)loga(1x)，a0 且 a1.(1)求 f(x)的定义域；(2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明；(3)若 a0 的 x 的解集11(14 分)(XX郑州模拟)已知函数 f(x)lg(axbx)(a0)(1)求 yf(x)的定义域；(2)在函数 yf(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于 x 轴；(3)当 a，b 满足什么条件时，f(x)在(1，)上恒取正值答案自主梳理1axN(a0，且 a1)xlogaNaN2.(1)11 / 19N0N1(2)logaNlogablogad(3)logamlogaNlogamlogaNnlogam3.(1)(0，)(2)R(3)(1,0)10(4)y0(5)y0(6)增(7)减logaxyx自我检测1c3A因为 34，故 f(2log23)f(2log231)f(3log23)又 3log234，故f(3log23)123log2312313124.4B由题意可得：f(x)f(x)f(|x|)，f(|log18x|)f(13)，f(x)在0，)上递增，于是|log18x|13，解得 x 的取值范围是(0，12)(2，)5mn解析mlogaa1，mn.课堂活动区例 1解题导引在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化12 / 19解(1)方法一利用对数定义求值：设x，则(23)x23123(23)1，x1.方法二利用对数的运算性质求解：1.(2)原式12(lg32lg49)43lg81212lg24512(5lg22lg7)4332lg212(2lg7lg5)52lg2lg72lg2lg712lg512lg212lg512lg(25)12lg1012.(3)由已知得 lg(xy2)2lgxy，(xy2)2xy，即 x26xyy20.(xy)26(xy)10.xy322.xy1，xy322，log(322)xylog(322)(322)log13221.变式迁移 1解(1)原式log2748log212log242log2213 / 19log271248422log2122log223232.(2)原式lg2(lg2lg50)lg2521g2lg25lg1002.例 2解题导引比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多，当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；若底数不同，真数相同，可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象，数形结合解得；若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较解(1)log323log310，而 log565log565.方法一0，0，由换底公式可得方法二作出 y与 y的图象，如图所示，两图象与 x相交可知(2)ylog12x 为减函数，且 log12bc.而 y2x 是增函数，2b2c.变式迁移 2(1)Aalog31，b12log23，则14 / 1912c.(2)Aa，b，c 均为正，log12a2a1，log12b(12)b(0,1)，log2c(12)c(0,1)02.故 ac.例 3解题导引本题属于函数恒成立问题，即对于x13，2时，|f(x)|恒小于等于 1，恒成立问题一般有两种思路：一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题由于本题底数 a 为参数，需对 a 分类讨论解f(x)logax，则 y|f(x)|的图象如右图由图示，可使 x13，2时恒有|f(x)|1，只需|f(13)|1，即1loga131，即 logaa1loga13logaa，亦当 a1 时，得 a113a，即 a3；当 0a13.综上所述，a 的取值范围是(0，133，)变式迁移 3c15 / 19画出函数 f(x)|lgx|的图象如图所示0b，f(a)f(b)，00.由 f(a)f(b)，lgalgb，ab1.b1a，a2ba2a，又 01，函数 ta2a 在(0,1)上是减函数，a2a3.课后练习区1cx0，y(12)x(0,1，m(0,1当 0x1 时，ylog2x(，0，即N(，0mN(，12c1alog23log2e.1a1.alog3212.bln212.c51215b.3c当 a0 时，f(a)log2a，f(a)，f(a)log21a，a1.当 a0 时，f(a)，f(a)log2(a)，16 / 19f(a)log2(a)，a0，由得11.4c由 f(2x)f(x)知 f(x)的图象关于直线x2xx21 对称，又当 x1 时，f(x)lnx，所以离对称轴 x1 距离大的 x 的函数值大，|21|121|，f(12)f(2)5c当 x0 时，函数 ax，logax 的单调性相同，因此函数 f(x)axlogax 是(0，)上的单调函数，f(x)在1,2上的最大值与最小值之和为 f(1)f(2)a2aloga2，由题意得 a2aloga26loga2.即a2a60，解得 a2 或 a3(舍去)637(1,2)解析因为 f(x)lgaa2x 在区间1,2上是增函数，所以 g(x)aa2x 在区间1,2上是增函数，且 g(1)2.8XX解析令 3xt，f(t)4log2t233，f(2)f(4)f(8)f(28)4(128)82334361864XX.17 / 199解f(x)2log3x，yf(x)2f(x2)(2log3x)22log3x2log23x6log3x6(log3x3)23.(4 分)函数 f(x)的定义域为1,9，要使函数 yf(x)2f(x2)有意义，必须1x29，1x9，1x3，0log3x1，(8 分)6(log3x3)2313.当 log3x1，即 x3 时，ymax13.当 x3 时，函数 yf(x)2f(x2)取最大值13.(12 分)10解(1)f(x)loga(x1)loga(1x)，则x11.故所求函数 f(x)的定义域为x|11(4 分)(2)由(1)知 f(x)的定义域为x|11，且 f(x)loga(x1)loga(1x)loga(x1)loga(1x)f(x)，故 f(x)为奇函数(8 分)18 / 19(3)因为当 a1内是增函数，所以 f(x)1.解得 00 的 x 的解集是x|01(