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2020 3 28 1 4 3正交矩阵及其性质 1 2020 3 28 2 定义6设A为n阶方阵 如果ATA I或AAT I 就称A为正交矩阵 A 1 AT 定理4A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A的列 行 向量组为Rn的一组标准正交基 证设 按列分块为 a1 a2 an 2 2020 3 28 3 于是 因此ATA I的充分必要条件是 此定理可作为判定正交矩阵的一种方法 3 2020 3 28 4 定理5设A B皆是n阶正交矩阵 则 i detA 1或 1 ii A 1 AT 充要条件 iii AT 即A 1 也是正交矩阵 iv AB也是正交矩阵 证 i det ATA det I 1 det A 2 所以成立 ii ATA I 当然就是A 1 AT iii AT TAT AAT AA 1 I 所以AT 即A 1 也是正交矩阵 从而A的行向量组也是Rn的一组标准正交基 iv 由 AB T AB BT ATA B BTB I 即得AB也是正交矩阵 4 2020 3 28 5 定理 方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列向量构成标准正交组 推论1 方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的行向量构成标准正交组 A是正交矩阵 方阵A的列向量构成标准正交组 方阵A的行向量构成标准正交组 是正交矩阵 5 2020 3 28 6 例 现有标准正交组 求三维向量 使得矩阵 为正交矩阵 解 是标准正交组 6 2020 3 28 7 或 定义若A为正交矩阵 则线性变换称为正交变换 定理正交变换不改变向量的内积 从而不改变向量的模 夹角和距离 7 2020 3 28 8 也就是说 若列向量X Y Rn在n阶正交矩阵A作用下变换为AX AY Rn 则向量的内积与长度及向量间的夹角都保持不变 即 AX AY X Y AX X AX AY X Y 证 AX AY AX T AY XT ATA Y XTY X Y 当Y X时
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