流体力学第二章作业答案

2 3 如图 用 U 型水银测压计测量水容器中某点压强 已知 H1 6cm H2 4cm 求 A 点的压强 解 选择水和水银的分界面作为等压面得 11222 aA pHHpH 故 A 点压强为 5 11212 1 14 10 Pa Aa ppHH 2 5 水压机是由两个尺寸不同而彼此连通的 以及置于缸筒内的一对活塞组成 缸内 充满水或油 如图示 已知大小活塞的面积分别为 A2 A1 若忽略两活塞的质量及其与圆 筒摩阻的影响 当小活塞加力 F1 时 求大活塞所产生的力 F2 帕帕斯斯卡卡定定律律 加加在在密密闭闭液液体体上上的的压压强强 能能够够大大小小不不变变地地由由液液体体向向各各个个方方向向传传递递 根根据据 静静压压力力基基本本方方程程 p p0 gh 盛盛放放在在密密闭闭容容器器内内的的液液体体 其其外外加加压压强强p0发发生生变变化化时时 只只要要液液体体仍仍保保持持其其原原来来的的静静止止状状态态不不变变 液液体体中中任任一一点点的的压压强强均均将将发发生生同同样样大大小小的的变变化化 这就是说 在密闭容器内 施加于静止液体上的压强将以等值同时传到各点 这就是 帕斯卡原理 或称静压传递原理 解 由 根据静压传递原理 1 1 1 F p A 2 2 2 F p A 12 pp 12 2 1 F A F A 2 6 如图示高 H 1m 的容器中 上半装油下半装水 油上部真空表读数 p1 4500Pa 水 下部压力表读数 p2 4500Pa 试求油的密度 解 由题意可得 abs1a1 ppp abs2a2 ppp abs1abs2 22 HH pgp 解得 abs2abs121 3 22 836 7kg m 22 aa HH pppppp gHgH 2 7 用两个水银测压计连接到水管中心线上 左边测压计中交界面在中心 A 点之下的 距离为 Z 其水银柱高度为 h 右边测压计中交界面在中心 A 点之下的距离为 Z Z 其水 银柱高为 h h 1 试求 h 与 Z 的关系 2 如果令水银的相对密度为 13 6 Z 136cm 时 求 h 是多少 解 1 分别取测压计中交界面为等压面得 a12A A2a1 phzp pzzphh 解得 h 与 Z 的关系为 hz 12 2 当 Z 136cm 时 cm10 1 2 z h 2 9 如图示一铅直矩形平板 AB 如图 2 所示 板宽为 1 5 米 板高 h 2 0 米 板顶水深 h1 1 米 求板所受的总压力的大小及力的作用点 解法一解法一 将坐标原点放在水面与直板延长线的交点 水平向右为 O x 轴 竖直向下为 O y 轴 建立直角坐标系 O xy 在 y 方向上 h 处取宽度为 dh 的矩形 作用力 dF 为 hhAhFd5 1dd 在 y 方向上积分得总压力 F 为 N1088 5 2 5 1 d5 1d 4 2 1 2 1 11 hhhhhFF hh h hh h 总压力的作用点为 1 2 1 5dd 2 167m h h h D hhh F y FF 解法二 直接运用公式 解法二 直接运用公式 1 总压力 F 为 34 1 2 9 8 10 1 1 5 25 88 10 22 cc h Fp Ah AhbhNN 2 总压力的作用点为 3 1 1 1 12 2 167m 2 2 c Dc c bh J h yyh h y A hbh 2 10 如图示为一侧有水的倾斜安装的均质矩形闸门 其宽度 b 2m 倾斜角 铰链 600 中心 O 位于水面以上 C 1m 水深 h 3m 求闸门开启时所需铅直向上的提升力 T 设闸门 重力 G 0 196 105N 要注意理解力矩平衡原理和合力矩定理 力矩平衡原理 力矩平衡原理 如果把把物体向逆时针方向转动的力矩规定为正力矩 使物体向顺时针 方向转动的力矩规定为负力矩 则有固定转动轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零 合力矩定理 合力矩定理 平面力系的合力对平面上任一点之矩 等于各分力对同一点之矩的代数和 解法一解法一 建立坐标系 O xy 原点在 O 点 Ox 垂直于闸门斜向下 Oy 沿闸门斜向下 如下图 1 浸在水中的闸门上的作用力 不计大气压力 为 C 2sin60 hbh Fh A 设压力中心为 D 到 ox 轴的距离为 则有 D y 1 2 3 0C DC C 2 12 sin60 sinsin602sin60sin603sin60 2sin60sin60 bh hJChCh yy hbh y A 当闸门转动时 F 与 G 产生的合力矩与提升力 T 产生的力矩相等 则有 2 2 tan602sin60sin603sin602tan60 T ChbhChhC G 则 T 大小为 225 5 2 39810 2 312 3 30 196 10 1 63 10 N sin22sin1201 32 bhChG T Ch 解法二解法二 建立坐标系 O xy 原点在液面与闸门的交点 Ox 垂直于闸门斜向下 Oy 沿 闸门斜向下 如上图 2 浸在水中的闸门上的作用力 不计大气压力 为 C 2sin60 hbh Fh A 设压力中心为 D 到 ox 轴的距离为 则有 D y 3 C DC C 2 12 sin60 2sin603sin60 2sin60sin60 bh Jhh yy hbh y A 当闸门转动时 F 与 G 产生的合力矩与提升力 T 产生的力矩相等 则有 2 tan602sin60sin602tan60 D T ChbhChC yG 则 T 大小为 225 5 2 39810 2 312 3 30 196 10 1 63 10 N sin22sin1201 32 bhChG T Ch 2 12 在水深 2m 的水池下部有一个宽为 1m 高为 H 1m 的正方形闸门 OA 其转轴在 O 点处 试问在 A点处需加多大的水平推力 F 才能封闭闸门 解法一 解法一 将 y 轴取在闸门上 竖直向下 原点为水面与闸门延长线的交汇点 液面下深度 h y 处微面积 dA 上的微液作用 dF 为 dFhdAhbdh 闸门上的总作用力为 22 3 dd 2 HH HH FFhb h 设压力中心为 D 到原点的距离为 则有 D y 0 2 2 01 D dd 1 56m 3 2 H hhh F y F 由得 2 D F HHyF 2 0 44 6474 6N 1 D HyFF F H 解法二 解法二 将 y 轴取在闸门上 竖直向下 原点为水面与闸门延长线的交汇点 设闸门上的总作用力为 F 3 1 1 1 1 22 2 c H Fh AHbH 设压力中心为 D 到原点的距离为 D y 3 1 12 1 56m 2 2 c Dc c bH J H yyH H y A HbH 由得 2 D F HHyF 2 0 44 6474 6N 1 D HyFF F H 2 13 如图示 a 和 b 是同样的圆柱形闸门 半径 R 2m 水深 h R 2m 不同的是图 a 中水在左侧 而图 b 中水在右侧 求作用在闸门 AB上的静水总压力 P 的大小和 方向 闸门长度 垂直于纸面 按 1m 计算 a b 解 在图 a 和图 b 中总压力 P 的大小是相同的 仅作用方向相反而已 由于 AB 是个圆弧面 所以面上各点的静水压强都沿半径方向通过圆心点 因而总压力 P 也 必通过圆心 1 先求总压力 P 的水平分力 铅垂投影面的面积 2 1 22 x Abhm 投影面形心点淹没深度 21 c hhm 则 1000 9 8 1 219600 xcx Pgh AN 的作用线位于深度 在图 a 和图 b 中的数值相同 但方向是相反的 x P 2 3 h x P 2 求总压力的垂直分力 在图 a 中压力体是实际水体的体积 即实压力体 但在图 b 中则应该是虚拟的水体 的体积 即虚压力体 它们的形状 体积是一样的 则 22 z R3 14 2 PV 1 1000 9 8130800N 44 gg 的作用线通过水体的重心 对于我们所研究的均匀液体 也即是通过压力体体积 z POAB 的形心 OAB 在图 a 中的方向向下 而在图 b 中的方向向上 3 求总压力及作用力的方向 22 22 xz PPP196003080036450N 30800 57 5 19600 z x P arctgarctg P 即总压力的作用线与水平线的夹角 57 5 2 14 如图示 为一储水设备 在 C点测得相对压强为 p 19600N m2 h 2m R 1m 求 半球曲面 AB 的垂直分力 解法一 解法一 由题意得 解得2 AB AB h pp pSFG 3 2 10257 33N 23 AB hR FpSGpS 解法二 解法二 C 点到测压管水面的距离 19600 2 1000 9 8 a pp Hmm g 半球曲面 AB 的垂直分力 23 2 10257 33 23 zz h FFVRHRN A 2 16 挡水弧形闸门如图示 闸前水深 H 18m 半径 R 8 5m 圆心角 450 门宽 b 5m 求作用在弧形门上总压力的大小和方向 18m R 解 1 水平分力 投影面如下图 02 5sin4530 X AbhRm sin8 52 1000 9 8 18 304410 24 xcXcXX R Fh Agh Ag HAKN 方向向右 2 铅直分力 压力体 虚压力体 如图 abcde zabcde VAb abcdeabcecde AAA 扇形面积 ode 三角形面积 ocd cde A 0 2002 0 451 sin45 cos4510 29 3602 cde ARRRm 002 22 sin45 cos45 188 5 8 58 5 30 22 abce AHRRRm 2 10 293040 29 abcde Am 方向向上 1000 9 8 40 29 51794 21 Zzabcde FgVgAbKN 3 总压力 22 4761 xz FFFKN 4 作用力的方向 合力指向曲面 其作用线与水平方向的夹角 标注如下图所示 0 1794 21 tan tan 22 14 4410 Z X F arcarc F 压力作用点距液面为 21794 21 sintan 188 58 5 15 46m 24410 D zHRR 2 17 盛有水的开口圆桶形容器 以角速度 绕垂直轴 O 作等速旋转 当露出桶底时 应为若干 如图示中符号说