数学归纳法证明不等式.ppt

数学归纳法证明不等式及举例 思考 阅读课文 思考下列问题 1 数学归纳法定义 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 归纳奠基 证明当n取时命题成立 归纳递推 假设 第一个值n0 n0 N n k k n0 k N 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 2 数学归纳法适用范围 主要用于研究与正整数有关的数学问题 应用数学归纳法时特别注意 1 用数学归纳法证明的对象是与有关的命题 2 在用数学归纳法证明中 两个基本步骤缺一不可 正整数n 分析 按照数学归纳法的步骤证明 在由n k到n k 1的推证过程中应用了放缩技巧 使问题简单化 这是利用数学归纳法证明不等式的常用技巧之一 证明 1 当n 1时 a1 1 a 1 2 1 1 a2 a 1 命题显然成立 2 假设当n k k N 时 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 则当n k 1时 ak 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a 1 2 a 1 2k 1 a a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 由归纳假设知 上式能被a2 a 1整除 故当n k 1时命题也成立 由 1 2 知 对一切n N 命题都成立 例3 求证 an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 n N a R 例4 平面内有n个圆 其中每两个圆都交于两点 且无三个及以上的圆交于一点 求证 这n个圆将平面分成n2 n 2 n N 个区域 分析 本题关键是弄清第k 1个圆与前k个圆的交点个数 以及这些交点又将第k 1个圆分成了多少段弧 每一段弧又是怎样影响平面区域的划分的 证明 1 当n 1时 1个圆将平面分成2个区域 命题显然成立 2 假设当n k k N 时命题成立 即k个圆将平面分成k2 k 2个区域 则当n k 1时 第k 1个圆交前面k个圆于2k个点 这2k个点将第k 1个圆分成2k段弧 每段弧将各自所经过的区域一分为二 于是增加了2k个区域 所以这k 1个圆将平面分成k2 k 2 2k个区域 即 k 1 2 k 1 2个区域 故当n k 1时 命题也成立 由 1 2 可知 对一切n N 命题都成立 例5 是否存在常数a b c使等式1 n2 12 2 n2 22 n n2 n2 an4 bn2 c对一切正整数n成立 证明你的结论 分析 先取n 1 2 3探求a b c的值 然后用数学归纳法证明对一切的n N a b c所确定的等式都成立 例4 已知x 1 且x 0 n N n 2 求证 1 x n 1 nx 2 假设n k时 不等式成立 即 1 x k 1 kx当n k 1时 因为x 1 所以1 x 0 于是左边 1 x k 1 1 x k 1 x 1 x 1 kx 1 k 1 x kx2 右边 1 k 1 x 因为kx2 0 所以左边 右边 即 1 x k 1 1 k 1 x 这就是说 原不等式当n k 1时也成立 根据 1 和 2 原不等式对任何不小于2的自然数n都成立 证明 1 当n 2时 左 1 x 2 1 2x x2 x 0 1 2x x2 1 2x 右 n 1时不等式成立 1 用数学归纳法证明1 2 2n 1 n 1 2n 1 时 在验证n 1成立时 左边所得的代数式是 A 1B 1 3C 1 2 3D 1 2 3 4 解析 当n 1时 2n 1 2 1 1 3 所以左边为1 2 3 故应选C 练习 解析 当n 1时 n 3 4 所以等式左边为1 2 3 4 5 用数学归纳法证明某个命题时 左边为1 2 3 4 2 3 4 5 n n 1 n 2 n 3 从n k到n k 1左边需增加的代数式为 解析 当n k时 左边 1 2 3 4 2 3 4 5 k k 1 k 2 k 3 当n k 1时 左边 1 2 3 4 2 3 4 5 k k 1 k 2 k 3 k 1 k 2 k 3 k 4 所以从n k到n k 1左式应增加 k 1 k 2 k 3 k 4 2 数学归纳法证明整除问题 例1 用数学归纳法证明 当n为正偶数时 xn yn能被x y整除 证 1 当n 2时 x2 y2 x y x y 即能被x y整除 故命题成立 2 假设当n 2k时 命题成立 即x2k y2k能被x y整除 则当n 2k 2时 有 都能被x y整除 故x2k 2 y2k 2能被x y整除 即当n 2k 2时命题成立 由 1 2 知原命题对一切正偶数均成立 例2 用数学归纳法证明 能被8整除 证 1 当n 1时 A1 5 2 1 8 命题显然成立 2 假设当n k时 Ak能被8整除 即是8的倍数 那么 因为Ak是8的倍数 3k 1 1是偶数即4 3k 1 1 也是8的倍数 所以Ak 1也是8的倍数 即当n k 1时 命题成立 由 1 2 知对一切正整数n An能被8整除 例3 求证 x3n 1 x3n 2 1能被x2 x 1整除 证 1 当n 1时 x3n 1 x3n 2 1 x2 x 1 从而命题成立 2 假设当n k时命题成立 即x3k 1 x3k 2 1能被x2 x 1整除 则当n k 1时 x3 k 1 1 x3 k 1 2 1 x3k 2 x3k 1 1 x3 x3k 1 x3k 2 1 x3 1 x3 x3k 1 x3k 2 1 x 1 x2 x 1 因为x3k 1 x3k 2 1 x2 x 1都能被x2 x 1整除 所以上式右边能被x2 x 1整除 即当n k 1时 命题成立 根据 1 2 知 对一切正整数n 命题成立 例6 平面内有n n 2 条直线 任何两条都不平行 任何三条不过同一点 问交点的个数为多少 并证明 当n k 1时 第k 1条直线分别与前k条直线各交于一点 共增加k个点 由1 2 可知 对一切n N 原命题均成立 证明 1 n 2时 两条直线交点个数为1 而f 2 2 2 1 1 命题成立 k 1条直线交点个数 f k k k k 1 k k k 1 2 k k 1 k 1 k 1 1 f k 1 即当n k 1时命题仍成立 2 假设n k k N k 2 时 k条直线交点个数为f k k k 1 3 数学归纳法证明几何问题 练习1 凸n边形有f n 条对角线 则凸n 1边形的对角线的条数f n