沪科版八年级数学下知识点总结

沪科版八年级数学下册知识总结沪科版八年级数学下册知识总结 一元二次方程知识点 一元二次方程知识点 1 1 一元二次方程的一般形式 a 0 时 ax2 bx c 0 叫一元二次方程的一般形式 研究 一元二次方程的有关问题时 多数习题要先化为一般形式 目的是确定一般形式中的 a b c 其中 a b c 可能是具体数 也可能是含待定字母或特定式子的代 数式 2 一元二次方程的解法 一元二次方程的四种解法要求灵活运用 其中直接开平方法 虽然简单 但是适用范围较小 公式法虽然适用范围大 但计算较繁 易发生计算错 误 因式分解法适用范围较大 且计算简便 是首选方法 配方法使用较少 3 一元二次方程根的判别式 当 ax2 bx c 0 a 0 时 b2 4ac 叫一元二次方程根 的判别式 请注意以下等价命题 0 有两个不等的实根 0 有两个相等的实根 0 无实根 0 有两个实根 等或不等 4 一元二次方程的根系关系 当 ax2 bx c 0 a 0 时 如 0 有下列公式 a c xx a b xx 2 a2 ac4bb x 1 2121 2 2 1 5 5 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 1 直接开平方法直接开平方法 也可以使用因式分解法 解为 2 0 xa a xa 解为 2 0 xab b xab 解为 2 0 axbc c axbc 解为 22 axbcxdac axbcxd 2 因式分解法因式分解法 提公因式分 平方公式 平方差 十字相乘法 如 此类方程适合用提供因此 而且其中一个根 2 0 0 0axbxa bx axb 为 0 2 90 3 3 0 xxx 2 30 3 0 xxx x 3 21 5 21 0 35 21 0 xxxxx 22 694 3 4xxx 22 41290 23 0 xxx 2 4120 6 2 0 xxxx 2 25120 23 4 0 xxxx 3 3 配方法配方法 二次项的系数为 1 的时候 直接将一次项的系数除于 2 进行配方 如 下所示 222 0 0 22 PP xPxqxq 示例 222 33 310 10 22 xxx 二次项的系数不为 1 的时候 先提取二次项的系数 之后的方法同上 2222 0 0 0 0 22 bbb axbxcaa xxca xac aaa A 22 22 2 4 2424 bbbbac a xcx aaaa 示例 2222 1111 210 4 10 2 210 2222 xxxxx 4 公式法 公式法 一元二次方程 用配方法将其变形为 2 0 0 axbxca 2 2 2 4 24 bbac x aa 当时 右端是正数 因此 方程有两个不相等的实根 2 40bac 2 1 2 4 2 bbac x a 当时 右端是零 因此 方程有两个相等的实根 2 40bac 1 2 2 b x a 当时 右端是负数 因此 方程没有实根 2 40bac 备注 公式法解方程的步骤 备注 公式法解方程的步骤 把方程化成一般形式 一元二次方程的一般式 并确定出 2 0 0 axbxca a bc 求出 并判断方程解的情况 2 4bac 代公式 要注意符号 2 1 2 4 2 bbac x a 5 5 当 当 axax2 2 bx c 0 bx c 0 a 0 a 0 时 有以下等价命题 时 有以下等价命题 以下等价关系要求会用公式以下等价关系要求会用公式 b b2 2 4ac 4ac 分析 不要求背记分析 不要求背记 a c xx a b xx 2121 1 1 两根互为相反数 两根互为相反数 0 0 且且 0 0 b b 0 0 且且 0 0 a b 2 2 两根互为倒数 两根互为倒数 1 1 且且 0 0 a a c c 且且 0 0 a c 3 3 只有一个零根 只有一个零根 0 0 且且 0 0 c c 0 0 且且 b 0b 0 a c a b 4 4 有两个零根 有两个零根 0 0 且且 0 0 c c 0 0 且且 b 0b 0 a c a b 5 5 至少有一个零根 至少有一个零根 0 0 c 0c 0 a c 6 6 两根异号 两根异号 0 0 a a c c 异号 异号 a c 7 7 两根异号 正根绝对值大于负根绝对值 两根异号 正根绝对值大于负根绝对值 0 0 且且 0 0 a a c c 异号且异号且 a a b b 异异 a c a b 号 号 8 8 两根异号 负根绝对值大于正根绝对值 两根异号 负根绝对值大于正根绝对值 0 0 且且 0 0 a a c c 异号且异号且 a a b b 同同 a c a b 号 号 9 9 有两个正根 有两个正根 0 0 0 0 且且 0 0 a a c c 同号 同号 a a b b 异号且异号且 a c a b 0 0 1010 有两个负根 有两个负根 0 0 0 0 且且 0 0 a a c c 同号 同号 a a b b 同号且同号且 0 0 a c a b 6 6 求根法因式分解二次三项式公式 注意 当 求根法因式分解二次三项式公式 注意 当 0 0 时 二次三项式在实数范围内不时 二次三项式在实数范围内不 能分解能分解 axax2 2 bx c a x x bx c a x x1 1 x x x x2 2 或或 axax2 2 bx c bx c a2 ac4bb x a2 ac4bb xa 22 7 7 求一元二次方程的公式 求一元二次方程的公式 x x2 2 x x1 1 x x2 2 x x x x1 1x x2 2 0 0 注意 所求出方程的系数应化为整数注意 所求出方程的系数应化为整数 8 8 平均增长率问题 平均增长率问题 应用题的类型题之一应用题的类型题之一 设增长率为 设增长率为 x x 1 1 第一年为第一年为 a a 第二年为第二年为 a 1 x a 1 x 第三年为第三年为 a 1 x a 1 x 2 2 2 2 常利用以下相等关系列方程 常利用以下相等关系列方程 第三年第三年 第三年第三年 或或 第一年第一年 第二年第二年 第三第三 年年 总和总和 9 9 分式方程的解法 分式方程的解法 0 1 值 或原方程的每个分母验增根代入最简公分母 公分母 两边同乘最简 去分母法 0 2 分母 值验增根代入原方程每个 换元 凑元 设元 换元法 10 10 二元二次方程组的解法 二元二次方程组的解法 0 3 0 2 0 4 0 1 0 4 0 2 0 3 0 1 0 4 3 0 2 1 3 02 1 分组为应注意 的方程 中含有能分解为方程组 分解降次法 程中含有一个二元一次方方程组法 代入消元 11 11 几个常见转化 几个常见转化 或 xx xx4 xx xx xx xx4 xx xx xx2 x 1 x x 1 x 2 x 1 x x 1 xxx4 xx xx xx2 xx xx 1 2121 2 21 2 21 2121 2 21 2 21 21 2 2 2 2 2 2 21 2 21 2 2121 2 21 2 2 2 1 222 121212 2xxxxx x 12 1212 11xx xxx x 22 121212 4xxxxx x 2 121212 4xxxxx x 22 12121212 x xx xx xxx 等 2 21112 121212 22 212 4xxxxxxx x xxx xx x 4xx 2 2xx2xx 1 2xx 2 2 21 2121 21 两边平方为 和分类为 2 3 4 x x 3 4 x x 1 9 16 x x 3 4 x x 3 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 因为增加次数两边平方一般不用 和分类为 或 0 x 0 x 1xx BsinAcos 1AcosAsin 90BABsinx Asinx 4 21 2 2 2 1 22 21 注意隐含条件可推出 由公式时且如 0 x 0 x x x x x 5 2121 21 注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式 面积例如几何定理 相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长 k 6 辅助未知元 引入些线段的比 并且 可把它们转化为某比例式 等积式等条件角三角形 三角函数 如题目中给出特殊的直 7 知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值 少一个时 一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个 二次根式知识点 二次根式知识点 知识点一 知识点一 二次根式的概念二次根式的概念 形如 的式子叫做二次根式 注 在二次根式中 被开放数可以是数 也可以是单项式 多项式 分式等代数式 但 必须注意 因为负数没有平方根 所以是为二次根式的前提条件 如 等是二次根式 而 等都不是二次根式 知识点二 取值范围知识点二 取值范围 1 二次根式有意义的条件 由二次根式的意义可知 当 a 0 时 有意义 是二 次根式 所以要使二次根式有意义 只要使被开方数大于或等于零即可 2 二次根式无意义的条件 因负数没有算术平方根 所以当 a 0 时 没有意义 知识点三 二次根式知识点三 二次根式 的非负性 的非负性 表示 a 的算术平方根 也就是说 是一个非负数 即0 注 因为二次根式 表示 a 的算术平方根 而正数的算术平方根是正数 0 的 算术平方根是 0 所以非负数 的算术平方根是非负数 即0 这个 性质也就是非负数的算术平方根的性质 和绝对值 偶次方类似 这个性质在解答题目 时应用较多 如若 则 a 0 b 0 若 则 a 0 b 0 若 则 a 0 b 0 知识点四 二次根式 知识点四 二次根式 的性质的性质 文字语言叙述为 一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数 注 二次根式的性质公式 是逆用平方根的定义得出的结论 上面的公 式也可以反过来应用 若 则 如 知识点五 二次根式的性质知识点五 二次根式的性质 文字语言叙述为 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 注 1 化简时 一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数 若是正数或 0 则等 于 a 本身 即 若 a 是负数 则等于 a 的相反数 a 即 2 中的 a 的取值范围可以是任意实数 即不论 a 取何值 一定有意义 3 化简时 先将它化成 再根据绝对值的意义来进行化简 知识点六 知识点六 与与的异同点的异同点 1 不同点 与表示的意义是不同的 表示一个正数 a 的算术平方根的平 方 而表示一个实数 a 的平方的算术平方根 在中 而中 a 可以是正 实数 0 负实数 但与都是非负数 即 因而它的运算的结 果是有差别的 而 2 相同点 当被开方数都是非负数 即时 时 无意义 而 知识点七 知识点七 二二次次根根式式的的性性质质和和最最简简二二次次根根式式 如 不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有 2 3 a a 0 x y 等 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有 4 9 a 2 x y 2 x 2 2xy y 2 等 3 最终结果分母不含根号 知知识识点点八八 二二次次根根式式的的乘乘法法和和除除法法 1 积的算数平方根的性质 ab a b a 0 b 0 2 乘法法则 a b ab a 0 b 0 二次根式的乘法运算法则 用语言叙述为 两个因式的算术平方根的积 等于这 两个因式积的算术平方根 3 除法法则 a b a b a 0 b 0 二次根式的除法运算法则 用语言叙述为 两个数的算数平方根的商 等于这两 个数商的算数平方根 4 有理化根式 如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式 那么这两个代数式叫做有理化根 式 也称有理化因式 知知识识点点九九 二二次次根根式式的的加加法法和和减减法法 1 同类二次根式 一般地 把几个二次根式化为最简二次根式后 如果它们的被开方数相同 就把 这几个二次根式叫做同类二次根式 2 合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式 3 二次根式加减时 可以先将二次根式化为最简二次根式 再将被开方数相同的 进行合并 知知识识点点十十 二二次次根根式式的的混混合合运运算算 1 确定运算顺序 2 灵活运用运算定律 3 正确使用乘法公式 4 大多数分母有理化要及时 5 在有些简便运算中也许可以约分 不要盲目有理化 知知识识点点十十一一 分分母母有有理理化化 分母有理化有两种方法 I 分母是单项式 如 a b a b b b ab b II 分母是多项式 要利用平方差公式 如 1 a b a b a b a b a b a b 如图 注意 1 根式中不能含有分母 2 分母中不能含有根式 勾股定理知识总结 勾股定理知识总结 一 基础知识点 一 基础知识点 1 1 勾股定理 勾股定理 直角三角形两直角边 a b 的平方和等于斜边 c 的平方 即 a2 b2 c2 要点诠释 要点诠释 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系 是直角三角形的重要性质之一 其主 要应用 1 已知直角三角形的两边求第三边 在中 则 ABC 90C 22 cab 22 bca 22 acb 2 已知直角三角形的一边与另两边的关系 求直角三角形的另两边 3 利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2 2 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a b c 则有关系 a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 要点诠释 要点诠释 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法 它通过 数转化为形 来确定三角形的可能形状 在运用这一定理时应注意 1 首先确定最大边 不妨设最长边长为 c 2 验证 c2与 a2 b2是否具有相等关系 若 c2 a2 b2 则 ABC 是以 C 为直角的 直角三角形 若 c2 a2 b2 则 ABC 是以 C 为钝角的钝角三角形 若 c2 a2 b2 则 ABC 为锐角 三角形 定理中 及只是一种表现形式 不可认为是唯一的 如若三角形三abc 222 abc 边长 满足 那么以 为三边的三角形是直角三角形 但是 为斜abc 222 acb abcb 边 3 3 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别 勾股定理是直角三角形的性质定理 而其逆定理是判定定理 联系 勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反 都与直角三角形有关 4 4 互逆命题的概念 互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设 这样的两个命题叫做 互逆命题 如果把其中一个叫做原命题 那么另一个叫做它的逆命题 5 5 勾股定理的证明 勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多 常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后 只要没有重叠 没有空隙 面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法 列出等式 推导出勾股定理 常见方法如下 方法一 化简可证 4 EFGH SSS 正方形正方形ABC D 22 1 4 2 abbac 方法二 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 22 1 42 2 Sabcabc 大正方形面积为 所以 222 2Sabaabb 222 abc 方法三 化简得证 1 2 Sabab 梯形 2 11 2S2 22 ADEABE SSabc 梯形 a b c c b a E D CB A 6 6 勾股数 勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数 即中 222 abc ab 为正整数时 称 为一组勾股数cabc 记住常见的勾股数可以提高解题速度 如 等3 4 56 8 105 12 137 24 25 用含字母的代数式表示 组勾股数 为正整数 n 22 1 2 1nn n 2 n n 为正整数 为正整数 22 21 22 221nnnnn n 2222 2 mnmn mn mn mn 二 规律方法指导规律方法指导 1 勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的 2 勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系 可以用于解决求解直角三角形边 边关系的题目 3 勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边 这是这个知识在应用过程中 易犯的主要错误 4 勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长 a b c 有下列关系 a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 该逆定理给出判定一个三角 形是否是直角三角形的判定方法 5 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要 是进行代数运算 通过学习加深对 数形结合 的理解 我们把题设 结论正好相反的两个命题叫做互逆命题 如果把其中一个叫做原命题 那 么另一个叫做它的逆命题 例 勾股定理与勾股定理逆定理 c b a H G F E D C BA b a c b a c c a b c a b 四边形知识点 四边形知识点 一 一 关系结构图 关系结构图 二 知识点讲解 二 知识点讲解 1 平行四边形的性质 重点 ABCD 是平行四边形 5 4 3 2 1 邻角互补 对角线互相平分 两组对角分别相等 两组对边分别相等 两组对边分别平行 2 平行四边形的判定 难点 3 3 矩形的性质 因为 ABCD 是矩形 3 2 1 对角线相等 四个角都是直角 有通性 具有平行四边形的所 4 是轴对称图形 它有两条对称轴 A B D O C A B D O C A D B C A D B C O CD A BAB CD O 4 矩形的判定 矩形的判定方法 1 有一个角是直角的平行四边形 2 有三个角是直角的四边形 3 对角线相等的平行四边形 4 对角线相等且互相平分的四边形 四边形 ABCD 是矩形 5 菱形的性质 因为 ABCD 是菱形 3 2 1 角 对角线垂直且平分对 四个边都相等 有通性 具有平行四边形的所 6 菱形的判定 四边形四边形 ABCD 是菱形 边形 对角线垂直的平行四 四个边都相等 一组邻边等 平行四边形 3 2 1 7 正方形的性质 ABCD 是正方形 3 2 1 分对角 对角线相等垂直且平 角都是直角 四个边都相等 四个 有通性 具有平行四边形的所 8 正方形的判定 四边形 ABCD 是正方形 一组邻边等矩形 一个直角 菱形 一个直角一组邻边等 平行四边形 3 2 1 C D B A O C D B A O 名 称 定义性质判定面积 平 行 四 边 形 两组对 边分别 平行的 四边形 叫做平 行四边 形 对边平行 对边相等 对角相等 邻角互补 对角线互相平分 是中心对称图形 定义 两组对边分别相等的 四边形 一组对边平行且相等 的四边形 两组对角分别相等的 四边形 对角线互相平分的四 边形 S ah a 为一 边长 h 为这 条边上的高 矩 形 有一个 角是直 角的平 行四边 形叫做 矩形 除具有平行四边形的性质外 还有 四个角都是直角 对角线相等 既是中心对称图形又是轴 对称图形 有三个角是直角的四 边形是矩形 对角线相等的平行四 边形是矩形 定义 S ab a 为一 边长 b 为另 一边长 菱 形 有一组 邻边相 等的平 行四边 除具有平行四边形的性质外 还有 四边形相等 对角线互相垂直 且每一 四条边相等的四边形 是菱形 对角线垂直的平行四 边形是菱形 S ah a 为 一边长 h 为 这 条边上的高 形叫做 菱形 条对角线平分一组对角 既是中心对称图形又是轴 对称图形 定义 b c 为两 条对角线的 长 正 方 形 有一组 邻边相 等且有