变载荷作用下柔顺关节变宽度片弹簧的变形分析

图 2中 点 D 和 点 A 分 别 为 等 效 悬 臂 梁 的 固 定 端 和 自 由 端 为 自 由 端 变 形 倾 角 为 气 缸 对 头 座 的 推 力 由于 关 节 结 构 对 称 两 端 均 为 铰 链 安 装 的 气 缸 可 以 简 化 为 一 个 可 以伸 长 的 二 力 杆 无 论 是 指 根 节 还 是 指 尖 节 作 为 悬 臂 梁 的 固定 端 本 文 以 指 根 节 固 定 进 行 分 析 在 相 同 气 压 下 气 缸 活 塞 的 伸 长 量 和 气 缸 角 位 移 必 定 相 同 所 以 气 缸 角 位 移 即气 缸 推 力 与 水 平 线 夹 角 和 片 弹 簧 中 点 处 截 面 转 角 为 0 A 2 在 悬 臂 自 由端 A 处 设 头 座 对 片 弹 簧 的 作 用 力 和 力 偶 分 别 为 和 Me 贝 U 有 T AC O S 争 c s 争 1 T Ay T A s in 争 孚 sin 争 2 Me T Ab a r a B c o s 3 式 中 d为 气 缸 内径 P 为 气 体 压 力 梁 上 任 一 位 置 的 弯 矩 一 y 4 式 中 9 g A y A和 y分 别 是 自 由 端 A 变 形 后 在 y 轴 方 向 的 坐 标 梁 上 任 一 位 置 的 曲 率 P 与 该 位 置 弯 矩 之 间 的 关 系 为 一1 盟 5 d p s E1 鲁 6 式 中 为 弹 性 模 量 为 主 惯 性 矩 C为 片 弹 簧 任 意 位 置 的 宽 度 h为 片 弹 簧 厚 度 s为 弧 长 即 片 弹 簧 弯 曲 变 形 时 任 意 位 置 的 弧 长 0为 任 意 位 置 变 形 倾 角 将 式 4 代 入 式 5 即 有 Me T y A y 圳 7 当 0 5 L 2时 对 称 双 梯 形 片 弹 簧 任 意 位 置 宽 度 表 示 为 任 意 位 置 长 度 的 函数 c B一 2 s c o t T 8 如 图 2所 示 B 为 片 弹 簧 最 大 宽 度 弹 簧 两 端 宽 度 T为 片 弹 簧 截 面 夹 角 将 式 1 式 2 式 3 式 8 合 并 到 式 7 并 整 理 得 0 A 0 A 0 A 0 A E B一 c 0 W 式 9 两 端 对 弧 长 s求 微 分 由 大 变 形 分 析 中 的 精 确 微 分 关 系 式 c o s 0 s i n 0 1 0 可 得 器 B 一 2 s c o tT 一 2 c o t3 s i 一 争 机械制造5 3 卷 第 6 1 1 期 当 L 2 s 时 对 称 双 梯 形 片 弹 簧 任 意 位 置 宽 度 表 示 为 任 意 位 置 长 度 的 函数 c B 2 L s c o t T 1 2 同 理 可 得 唑 b J 曰 一 2 一 5 c o t 面 E h 3 d 20 曰 一 2 L s c 2 c s i n 一 0 A 1 4 根 据 式 1 1 式 1 4 可 知 变 形 倾 斜 角 0是 片 弹 簧 弧 长 s的 二 阶 非 线 性 变 系 数 常 微 分 方 程 1 2模 型 的 数 学 计 算 1 2 1 变 形 倾 角 0 A的 微 分 计 算 方 法 本 文 采 用 配 置 法 1 2 借 助 MAT L AB 中 的 B VP 4 C 求 解 器 将 方 程 的 求 解 转 化 为 带 有 未 知 参 数 的 边 值 问 题 最 终 得 到 变 形 倾 角 和 坐 标 位 移 的数 值 解 求 解 边 值 型 问 题 除 了 正 确 定 义 方 程 外 最 重 要 的 是 选 取 合 适 的 边 界 条 件 首 先 将 式 1 1 式 1 4 降 阶 为 一 阶 方 程 组 然 后 确 定 边 界 条 件 在 悬 臂 梁 固定 端 己 知 当 s o时 x 0 y 0 又 因 为 当 s L 2时 0 0 A 2即 片 弹 簧 关 于 中 点 横 截 面 成 对 称 弯 曲 根 据 对 称 弯 曲 可 以 得 到 关 系 式 t a n O A y A x 将 上 述 关 系 代 入 式 9 得 到 边 界 条 件 d O 在 悬 臂 梁 自 由端 已 知 当 s 时 A y y A 将 该 关 系 式 代 入 式 1 3 得 到 边 界 条 件 E h 3 B 将 边 界 条 件 式 1 5 式 1 6 代 人 式 1 1 式 1 4 中 把 看 成 未 知 参 数 任 意 给 定 未 知 参 数 初 值 循 环 求 解 即可 得 到 片 弹 簧 上 任 意 位 置 变 形 倾 角 的 数 值 解 1 2 2位 移 变 形 坐 标 微 分 计 算 方 法 在 0求 出 之 后 已 知 代 入 到 式 1 1 式 1 4 中 并 分 别 联 立 式 1 0 得 到 方 程 组 I面E h 3 d20 曰 一 c 一 2 c tT sin 争 s 争 一 c o s 1 7 I l L s i n J嚣 2 2 c ty sin 争 I 争 乱 j co s口 1 8 l s in 0 定 义 好 方 程 组 之 后 选 取 前 半 段 合 适 的 边 界 条 件 2 0 1 5 7 已知 边 界 条 件 s O 0 0 x O y O s L 1 9 二 将 式 1 7 作 降 阶 处 理 然 后 代 入 边 界 条 件 式 1 9 即 可 得 到 片 弹 簧 前 半 段 任 意 位 置 的 变 形 坐 标 位 移 数 值 解 这 时 片 弹 簧 中 点 位 置 坐 标 y 已 知 所 以 得 到 后 半 段 的 边 界 条 件 5 L M y yM s L O A 2 0 同理 将 式 1 8 作 降 阶 处 理 后 代 入 边 界 条 件 式 2 O 即 可 得 到 片 弹 簧 后 半 段 任 意 位 置 的变 形 坐 标 位 移 数 值 解 至 此 片 弹 簧 上 任 意 位 置 的 变 形 倾 角 和 变 形 坐 标 位 移 都 已 得 到求 解 接 下 来 将 通 过 在 ANS YS中 建 模 仿 真 和 实 物 测 量 两 种 方 式 来 验 证 数 值 微 分 方 法 的 正 确 性 2实例 与对 比 在 实 验 验 证 中 经 过 测 量 变 宽 度 片 弹 簧 骨 架 柔 性 关 节 的 结 构 尺 寸 气 缸 直 径 d l O mm 行 程 为 3 0 mm 初 始 状 态 气 缸 未 伸 出 时 其 连 接 销 中 心 的 距 离S 1 2 5 7 2 mm 选 用 6 0 S i 2 Mn A 弹 簧 钢 做 成 对 称 双 梯 形 截 面 的 片 弹 簧 宽 B I 1 9 0 mm 厚 度 h 1 0 4 mm 工 作 长 度 1 1 9 2 2 ml T l 梯 形 截 面 夹 角 3 8 8 弹 性 模 量 约 为 E 1 9 0 GP a o 3 2 5 mm b 2 9 3 5 mm 为 了 使 对 比更 具 有 说 服 力 选 取 同 样 尺 寸 的 等 宽 度 片 弹 簧 骨 架 柔 性 关 节 进 行 数 值 模 拟 以 证 明 新 关 节 的 优 越 性 在 给 定 的 压 力 P下 对 式 1 1 式 1 4 式 1 7 式 1 8 求 解 得 出 p O 1 MP a 0 2 MP a p 0 3 MP a p 0 4 MP a p 0 5 MP a p O 6 MP a时 变 宽 度 片 弹 簧 任 意 位 置 变 形 倾 角 和 坐 标 位 移 的 数 值 解 再 与 等 宽 度 片 弹 簧 变 形 参 数 作 对 比 对 比 曲线 如 图 3所 示 由 于 趋 势 相 表 1两种片弹簧的压力p与 A 点数值计算 D MP a 片弹簧种类 O d r a d m m y m m 等宽度 0 1 2 3 2 1 1 8 9 2 0 l 7 3 3 3 5 0 1 变 宽 度 0 1 4 9 8 1 1 8 7 6 5 3 8 9 0 9 4 等 宽 度 0 2 3 4 0 1 l 8 1 4 3 6 1 3 8 8 8 6 0 2 变宽度 0 2 7 9 8 1 1 7 6 4 5 0 1 6 5 6 8 4 等宽度 0 3 3 3 7 1 1 7 0 4 6 4 1 9 7 1 4 1 0 3 变宽度 0 3 9 3 0 l 1 6 1 4 0 8 2 3 1 2 0 7 等宽度 0 4 2 3 5 1 1 5 7 4 5 4 2 4 8 7 9 5 0 4 变 宽度 0 4 9 1 9 1 1 4 4 4 1 4 2 8 7 3 0 5 等宽度 O 5 O 4 4 1 1 4 3 2 6 0 2 9 4 6 0 7 O 5 变宽度 0 5 7 8 9 1 1 2 6 6 4 4 3 3 5 5 3 5 等宽度 0 5 7 7 7 1 1 2 8 4 8 0 3 3 5 3 1 6 O 6 变宽度 0 6 5 5 9 1 l 0 8 8 2 9 3 7 7 2 4 8 2 0 1 5 7 同仅 数 值 不 同 因 此 只 给 出 p O 3 MP a的 曲 线 列 出 自 由端 A 点 的 详 细 数 值 见 表1 在 相 同 的 压 强 下 由 表1可 知 变 宽 度 片 弹 簧 较 之 于 等 宽 度 片 弹 簧 具 有 更 大 的 弯 曲 变 形 角 从 图 4可 以 看 出 在 相 同 的 压 强 下 变 宽 度 片 弹 簧 与 等 宽 度 片 弹 簧 相 比 变 形 角 的 变 化 率 更 大 即 相 同 长 度 的 弧 长 问 隔 前 者 的变 形 倾 角 变 化 更 大 说 明 对 称 双 梯 形 片 弹 簧 相 比 于 等 宽 度 片 弹 簧 有 着 较 好 的 弯 曲性 能 使 得 以 变 宽 度 片 弹 簧 骨 架 柔 性 关 节 组 成 的 机 械 手 比 由 等 宽 度 片 弹 簧 骨 架 柔 性 关 节 组 成 的 机 械 手 有 着 更 大 的 抓 持 范 围 和 更 节 省 能 源 的 优 点 3 AN S Y S仿真模拟 本 文 中 片 弹 簧 自由 端 由 于 所 受 的 载 荷 与 变 形 倾 角 耦 合 在 一 起 无 法 建 立 一 一 对 应 的 力 与 变 形 的 关 系 所 以无 法 直 接 在 ANS Y S中 建 模 计 算 本 文 先 采 用 数 值 微 分 法 计 算 出 不 同压 强 下 片 弹 簧 的 变 形 进 而 确 定 出 变 载 荷 的 大 小 与 方 向 然 后 加 载 到 ANS YS模 型 巾 最 后 与 理 论 计 算 值 对 比 分 析 误 差 来 验 证 数 值 微 分 法 的 正 确 性 图 4和 图 5分 别 给 出 P 0 6 MP a加 载 后 的 变 形 表 2 AN S Y S模拟结果与理论计算数值对比表 自由端 A点 p MP a 计算方法 0 d r a d m m mm 0 误差 Y A 误差 ANS YS O 1 51 6 1 l 8 7 6 9 8 8 63 0 1 1 2 3 0 5 2 BVP4 C 0 1 4 9 8 1 1 8 7 6 5 8 9 09 ANS YS 0 2 8 3 8 1 l 7 6 5 6 l 6 4 9 9 0 2 1 4 2 O 4 2 BVP4 C 0 2 7 9 8 l 1 7 6 4 5 1 6 5 6 8 ANS YS 0 3 9 9 1 l 1 6 1 5 6 2 3 0 43 0 3 1 5 5 0 3 4 BVP 4C 0 3 9 3 O 1 1 6 1 41 2 3 1 2 l ANS YS 0 5 01 1 1 1 4 4 4 3 2 8 6 9