谈数学变式教学在高中数学教学中的应用

谈数学变式教学在高中数学教学中的应用谈数学变式教学在高中数学教学中的应用 陇东中学陇东中学 贾恒旺贾恒旺 随着高中新课改在全国范围内的全面实施 几乎所有数学教师 都有这样的感受 就是 时间紧 教学内容多 然而 部分教师为 了争取时间便满堂灌 致使学生的掌握情况非常不好 面对这样的 情形 变式教学在数学课堂中的应用就显得尤为重要 一 什么是数学变式教学 变式教学是运用不同的知识和方法 对有关数学概念 公式 定理 习题等进行不同角度 不同层次 不同背景的变化 有意识 的引导学生从 变 的现象中发现 不变 的本质 从 不变 中 探求规律 变式教学最终是为了通过变化让学生掌握变化中的不变 能从不同方面 不同角度和不同情况来说明某一事物 从而概括出 事物的一般属性 使学生能真正理解知识和方法的本质原理的教学 变式教学泛指知识形成过程中的问题设计变式 基本概念辨析型变 式 定理和公式的深化变式 例题和习题的一题多解 一法多用 一题多变 多题归一等 二 高中数学教学中应用变式教学的主要意义 一 利用变式教学创设教学情境 激发学生学习积极性 高中数学的大部分概念比较抽象 教师在教学中如果直接抛出 概念 学生很难接受 而如果根据概念类型 设计一系列变式 将 概念还原到客观实际 如实例 模型或已有经验 题组等 提出问 题 为学生创设生动形象的教学情境 就可以大大激发学生学习数 学的热情 和积极性 例如 在进行指数函数概念教学时 可以这样进行变式 教学 1 提出问题 我有一张白纸 把它撕成两半 将它们重叠后再撕一次 重叠后再 撕一次 那么撕扯 3 次后把所有的纸重叠放置有多少层 5 次呢 15 次呢 2 若一张纸厚 0 1 毫米 那么撕纸 15 次后把所有的纸重叠放置有 多高 有一人高吗 若撕掉 20 次呢 3 你能建立起 纸的张数 y 与撕纸的次数 x 之间的函数关系式吗 生活中就存在这样一类函数 从而给出指数函数的概念 通过这样一组由特殊到一般的变式题 可以帮助学生建立感性经验 和抽象概念之间的联系 激发学生的思维 引导学生积极探索 二 利用变式教学预设 陷阱 培养学生思维的严谨性 在概念 定理及公式的教学过程中 通过对有关数学概念 定 理 公式等进行不同角度 不同层次 不同背景的变化 有意识的 引导学生发现变化中的不变 明确并凸显出概念 定理及公式的条 件 结论和适用范围 注意事项等关键之处 让学生深入理解概念 定理及公式的本质 从而培养学生严密的逻辑推理能力 例如 在引入奇偶函数定义之后 为了让学生透彻理解该定义 掌 握定义的内涵和外延 特别是搞清楚 定义域关于原点对称 等有 关问题 可利用辨析型变式设计下列变式题组织学生讨论 判断下列函数的奇偶性 并说明理由 1 2 0 x0 或的解释 在 0 21 21 xfxf xx 形成概念后 不应急于应用概念去解决问题 而应对概念作进一步 的探讨 通过辨析型变式和等价深化变式 使学生对概念有更加深 刻的理解 让学生既知其然 又知其所以然 数学变式教学以一胜 多 举一反三的变式训练 给数学教学注入了生机和活力 提高了 学生的兴趣 调动了学生的积极性 使其学得轻松 并且避免 题 海 从而提高了课堂教学效率和教学质量 对学生掌握知识 促进 思维和培养能力等方面起着非常重要的作用 然而 变式教学不能 变成教师整节课的精彩演绎和拓展 决不能一时兴起就刹不住车 教师讲得神采飞扬 酣畅淋漓 学生听得头昏脑胀 应对不暇 教 师必需注意学生的感觉 控制变式的节奏 变式的维度及变式的深 度 变 与 不变 都要让学生去体验 教师的作用应该主要是 引导和点拨 使学生去思考和比较 发现变式问题中的 变 与 不变 三 数学变式教学在高中数学教学中的应用举例 例 1 如在新授定理 a b 2 其中 a b R 当且仅当ab a b 时取 号 的定理时 强调定理使用的条件是 一正二 定三相等 通过如下课本习题进行变式教学 原题 已知 x 0 求 y的最小值 x x 1 变式 1 x R 函数 y有最小值吗 为什么 x x 1 变式 2 已知 x 0 求 y的最小值 x x 1 2 变式 3 x 3 函数 y的最小值为 2 吗 x x 1 均值不等式是高中阶段的一个重点 但学生在使用时 很容易 忘记定理使用的条件 一正二定三相等 因此在教学中由课后习题 出发 利用条件特殊化即将原题中一般条件 改为具有特定性的条 件 使题目具有特殊性 设计三个变式练习的解答 使学生加深了 对定理成立条件的理解与掌握 为定理的正确使用打下了较坚实的 基础 例 2 原题 在椭圆上求一点 P 使它与两个焦点的82 22 yx 连线互相垂直 变式 1 椭圆的两个焦点是 F1 F2 点 P 为它上面一82 22 yx 动点 当 F1PF2为钝角时 点 P 的横坐标的取值范围是 分析 受原题的启发 无论是钝角还是锐角 都是以直角为参 照 该题解法很多 但以几何法最为简洁 如图 以坐标原点 O 为 圆心 以 F1F2 为直径画圆与椭圆交于 A B C D 四点 由直径所 对的圆周角是直角可知 当点 P 位于 A B C D 四点时 F1PF2 为直角 当点 P 位于椭圆上弧 AB 或弧 CD 上时 F1PF2为钝角 锐 角的情况不言而喻 易求点 P 横坐标的取值范围 变式 2 F1 F2是椭圆 C 的两焦点 在 C 上满足 164 22 yx PF1 PF2的点 P 的个数为 分析 该题只将求点的坐标改为判断点的个数 但解法是相同 的 只是求以 F1F2 为直径的圆与椭圆的交点个数 变式 3 设椭圆的两个焦点是 F1 C 0 16 3 22 ymmx F2 C 0 C 0 且椭圆上存在点 P 使得 PF1与 PF2垂直 求实数 m 的取值范围 分析 显然该题在椭圆中引入参数 将求点的坐标改为 求参数的 取值范围 的热点问题 解法是相同的 要使椭圆上存在点使 PF1 PF2 只需以 F1F2为直径的圆与椭圆有交点 也就是椭圆的焦 距大于或等于椭圆的短轴长即得 评注 圆锥曲线是高中教学很重要的一部分内容 也是学生较 难掌握的 教师在复习的过程中将习题进行变式 不仅加深了学生 对椭圆概念的理解 而且通过分析以 F1F2为直径的圆与椭圆有交点 情况 培养了学生数形结合的思维能力 符合学生的认识规律 例 3 已知 x y 0 且 x y 1 求 x2 y2的取值范围 分析 由 x y 1 得 y 1 x 则 x2 y2 2x2 2x 1 因为 x 0 1 根据二次函数的图象与性质知 当 x 0 5 时 x2 y2取最小值 0 5 当 x 0 或 1 时 x2 y2取最大值 1 变式 已知 a b 为非负数 M a3 a2 ab a b 1 求 M 的最值 评注 函数思想是中学阶段基本的数学思想之一 揭示了一 种变量之间的联系 往往用函数观点来探求变量的最值 对于二元 或多元函数的最值问题 往往是通过变量替换转化为一元函数来解 决 同时解决函数的最值问题 我们已经有比较深的函数理论 如 单调性的运用 导数的运用等都可以求函数的最值 原题中利用函 数知识 代入法来解决 变式中利用导数可以求函数的最值 不但 复习了运用函数思想求变量的最值的常见方法 同时也有助于在教 学中引导学生对函数思想的形成 加强学生对函数概念及其性质的 理解 四 高中数学变式教学中应注意的问题 在教学实践中也发现 有些教师对变式教学的 度 把握不准 确 不能因材施教 在教学中单纯地为了练习而练习 给学生造成 了过重的学习和心理负担 使学生产生了逆反心理 高投入 低产 出 事倍而功半 同时 有的教师要注意教学要有梯度 循序渐进 切不可搞 一步到位 否则会使学生产生畏难情绪 影响问题的解 决 降低学习的效率 总之 数学变式教学要源于课本又要高于课本 要明确目的 遵循课标 要突出重点 以点带面 在教学的过程中要针对实际 因人而异 著名的数学教育家波利亚曾形