高考数学复习函数的综合问题

2 12 函数的综合问题 知识梳理 函数的综合应用主要体现在以下几方面 1 函数内容本身的相互综合 如函数概念 性质 图象等方面知识的综合 2 函数与其他数学知识点的综合 如方程 不等式 数列 解析几何等方面的内容与 函数的综合 这是高考主要考查的内容 3 函数与实际应用问题的综合 点击双基 1 已知函数 f x lg 2x b b 为常数 若 x 1 时 f x 0 恒成立 则 A b 1 B b 1 C b 1 D b 1 解析 当 x 1 时 f x 0 从而 2x b 1 即 b 2x 1 而 x 1 时 2x 1 单调增加 b 2 1 1 答案 A 2 2003 年郑州市质检题 若 f x 是 R 上的减函数 且 f x 的图象经过点 A 0 3 和 B 3 1 则不等式 f x 1 1 2 的解集是 解析 由 f x 1 1 2 得 2 f x 1 1 2 即 1 f x 1 3 又 f x 是 R 上的减函数 且 f x 的图象过点 A 0 3 B 3 1 f 3 f x 1 f 0 0 x 1 3 1 x 2 答案 1 2 典例剖析 例 1 取第一象限内的点 P1 x1 y1 P2 x2 y2 使 1 x1 x2 2 依次成等差数 列 1 y1 y2 2 依次成等比数列 则点 P1 P2与射线 l y x x 0 的关系为 A 点 P1 P2都在 l 的上方B 点 P1 P2都在 l 上 C 点 P1在 l 的下方 P2在 l 的上方D 点 P1 P2都在 l 的下方 剖析 x1 1 x2 1 y1 1 y2 y1 x1 y2 x2 3 1 3 4 3 2 3 5 3 2 3 2 3 4 P1 P2都在 l 的下方 答案 D 例 2 已知 f x 是 R 上的偶函数 且 f 2 0 g x 是 R 上的奇函数 且对 于 x R 都有 g x f x 1 求 f 2002 的值 解 由g x f x 1 x R 得f x g x 1 又 f x f x g x g x 故有 f x f x g x 1 g x 1 f x 2 f 2 x g 3 x g x 3 f x 4 也即 f x 4 f x x R f x 为周期函数 其周期 T 4 f 2002 f 4 500 2 f 2 0 评述 应灵活掌握和运用函数的奇偶性 周期性等性质 例 3 函数 f x m 0 x1 x2 R 当 x1 x2 1 时 f x1 f x2 m x 4 1 2 1 1 求 m 的值 2 数列 an 已知 an f 0 f f f f 1 求 an n 1 n 2 n n1 解 1 由 f x1 f x2 得 2 1 m x 1 4 1 m x 2 4 1 2 1 4 4 2m 4 m 4 4 m2 1 x 2 x 2 1 21 xx 1 x 2 x x1 x2 1 2 m 4 4 m 2 2 1 x 2 x 4 4 2 m 或 2 m 0 1 x 2 x 4 4 2 2 4 1 x 2 x 21 44 xx 21 4 xx 而 m 0 时 2 m 2 4 4 2 m 1 x 2 x m 2 2 an f 0 f f f f 1 an f 1 n 1 n 2 n n1 f f f f 0 n n1 n n2 n 1 2an f 0 f 1 f f f 1 f 0 n 1 n n1 2 1 2 1 2 1 2 1 n an 4 1 n 深化拓展 用函数的思想处理方程 不等式 数列等问题是一重要的思想方法 例 4 函数 f x 的定义域为 R 且对任意 x y R 有 f x y f x f y 且当 x 0 时 f x 0 f 1 2 1 证明 f x 是奇函数 2 证明 f x 在 R 上是减函数 3 求 f x 在区间 3 3 上的最大值和最小值 1 证明 由 f x y f x f y 得 f x x f x f x f x f x f 0 又 f 0 0 f 0 f 0 f 0 0 从而有 f x f x 0 f x f x f x 是奇函数 2 证明 任取 x1 x2 R 且 x1 x2 则 f x1 f x2 f x1 f x1 x2 x1 f x1 f x1 f x2 x1 f x2 x1 由 x1 x2 x2 x1 0 f x2 x1 0 f x2 x1 0 即 f x1 f x2 从而 f x 在 R 上是减函数 3 解 由于 f x 在 R 上是减函数 故 f x 在 3 3 上的最大值是 f 3 最小值是 f 3 由 f 1 2 得 f 3 f 1 2 f 1 f 2 f 1 f 1 1 f 1 f 1 f 1 3f 1 3 2 6 f 3 f 3 6 从而最大值是 6 最小值是 6 深化拓展 对于任意实数 x y 定义运算 x y ax by cxy 其中 a b c 是常数 等式右边的运 算是通常的加法和乘法运算 现已知 1 2 3 2 3 4 并且有一个非零实数 m 使得对于任 意实数 x 都有 x m x 试求 m 的值 提示 由 1 2 3 2 3 4 得 4 632 322 cba cba b 2 2c a 1 6c 又由 x m ax bm cmx x 对于任意实数 x 恒成立 b 0 2 2c 0 1 bm cma c 1 1 6c cm 1 1 6 m 1 m 4 答案 4 闯关训练 夯实基础夯实基础 1 已知 y f x 在定义域 1 3 上为单调减函数 值域为 4 7 若它存在反函数 则反函数在其定义域上 A 单调递减且最大值为 7B 单调递增且最大值为 7 C 单调递减且最大值为 3D 单调递增且最大值为 3 解析 互为反函数的两个函数在各自定义区间上有相同的增减性 f 1 x 的值域是 1 3 答案 C 2 2003 年郑州市质检题 关于 x 的方程 x2 4x 3 a 0 有三个不相等的实数根 则 实数 a 的值是 解析 作函数 y x2 4x 3 的图象 如下图 x y O 1 2 3 1 1 2 3 由图象知直线 y 1 与 y x2 4x 3 的图象有三个交点 即方程 x2 4x 3 1 也就是方 程 x2 4x 3 1 0 有三个不相等的实数根 因此 a 1 答案 1 3 若存在常数 p 0 使得函数 f x 满足 f px f px x R 则 f x 2 p 的一个正周期为 解析 由 f px f px 2 p 令 px u f u f u f u T 或的整数倍 2 p 2 p 2 p 2 p 2 p 答案 或的整数倍 2 p 2 p 4 已知关于 x 的方程 sin2x 2sinx a 0 有实数解 求 a 的取值范围 解 a sin2x 2sinx sinx 1 2 1 1 sinx 1 0 sinx 1 2 4 a 的范围是 1 3 5 记函数 f x 的定义域为 A g x lg x a 1 2a x 1 3 2 x x a 1 的定义域为 B 1 求 A 2 若 BA 求实数 a 的取值范围 解 1 由 2 0 得 0 1 3 x x 1 1 x x x 1 或 x 1 即 A 1 1 2 由 x a 1 2a x 0 得 x a 1 x 2a 0 a 1 a 1 2a B 2a a 1 BA 2a 1 或 a 1 1 即 a 或 a 2 2 1 而 a 1 a 1 或 a 2 2 1 故当 BA 时 实数 a 的取值范围是 2 1 2 1 培养能力培养能力 6 理 已知二次函数 f x x2 bx c b 0 c R 若 f x 的定义域为 1 0 时 值域也是 1 0 符合上述条件的函数 f x 是否存在 若存在 求出 f x 的表达式 若不存在 请说明理由 解 设符合条件的 f x 存在 函数图象的对称轴是 x 2 b 又 b 0 0 2 b 当 0 即 0 b 1 时 2 1 2 b 函数 x 有最小值 1 则 2 b 或 舍去 1 0 01 1 24 0 1 1 2 22 c b cb c bb f b f 3 4 c b 当 1 即 1 b 2 时 则 2 b 2 1 舍去 或 舍去 0 2 0 0 1 2 c b f b f 0 2 c b 当 1 即 b 2 时 函数在 1 0 上单调递增 则解得 2 b 0 0 1 1 f f 0 2 c b 综上所述 符合条件的函数有两个 f x x2 1 或 f x x2 2x 文 已知二次函数 f x x2 b 1 x c b 0 c R 若 f x 的定义域为 1 0 时 值域也是 1 0 符合上述条件的函数 f x 是否存在 若存在 求出 f x 的表达式 若不存在 请说明理由 解 函数图象的对称轴是 x 又 b 0 2 1 b 2 1 b 2 1 设符合条件的 f x 存在 当 1 时 即 b 1 时 函数 f x 在 1 0 上单调递增 则 2 1 b 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 c b c cb f f 当 1 即 0 b 1 时 则 2 1 b 2 1 0 0 1 2 1 f b f 舍去 0 1 0 1 2 1 2 1 2 2 c b c c bb 综上所述 符合条件的函数为 f x x2 2x 7 已知函数 f x x 的定义域为 0 且 f 2 2 设点 P 是函数图象 x a 2 2 上的任意一点 过点 P 分别作直线 y x 和 y 轴的垂线 垂足分别为 M N N M x y yx O 7 6 5 4 2 1 1 2 3 4 5 6 7 P 1 求 a 的值 2 问 PM PN 是否为定值 若是 则求出该定值 若不是 请说明理由 3 设 O 为坐标原点 求四边形 OMPN 面积的最小值 解 1 f 2 2 2 a 2 a 2 2 2 2 设点 P 的坐标为 x0 y0 则有 y0 x0 x0 0 由点到直线的距离公式可 0 2 x 知 PM PN x0 有 PM PN 1 即 PM PN 为定值 这个值为 1 2 00 yx 0 1 x 3 由题意可设 M t t 可知 N 0 y0 PM 与直线 y x 垂直 kPM 1 1 即 1 解得 t x0 y0 tx ty 0 0 2 1 又 y0 x0 t x0 0 2 x 0 2 2 x S OPM S OPN x02 2 0 2 1 x 2 2 2 1 2 2 S四边形 OMPN S OPM S OPN x02 1 2 1 2 0 1 x 22 当且仅当 x0 1 时 等号成立 此时四边形 OMPN 的面积有最小值 1 2 探究创新探究创新 8 有一块边长为 4 的正方形钢板 现对其进行切割 焊接成一个长方体形无盖容器 切 焊损耗忽略不计 有人应用数学知识作了如下设计 如图 a 在钢板的四个角处 各切去一个小正方形 剩余部分围成一个长方体 该长方体的高为小正方形边长 如图 b 1 请你求出这种切割 焊接而成的长方体的最大容积 V1 2 由于上述设计存在缺陷 材料有所浪费 请你重新设计切 焊方法 使材料浪 费减少 而且所得长方体容器的容积 V2 V1 x x a b 解 1 设切去正方形边长为 x 则焊接成的长方体的底面边长为 4 2x 高为 x V1 4 2x 2 x 4 x3 4x2 4x 0 x 2 V1 4 3x2 8x 4 令 V1 0 得 x1 x2 2 舍去 3 2 而 V1 12 x x 2 3 2 又当 x 时 V1 0 当 x 2 时 V1 0 3 2 3 2 当 x 时 V1取最大值 3 2 27 128 2 重新设计方案如下 如图 在正方形的两个角处各切下一个边长为 1 的小正方形 如图 将切下的小 正方形焊在未切口的正方形一边的中间 如图 将图 焊成长方体容器 新焊长方体容器底面是一长方形 长为 3 宽为 2 此长方体容积 V2 3 2 1 6 显 然 V2 V1 故第二种方案符合要求 2 3 1 1 4 22 3 1 1 3 2 1 思悟小结 1 函数知识可深可浅 复习时应掌握好分寸 如二次函数问题应高度重视 其他如分 类讨论 探索性问题属热点内容 应适当加强 2 数形结合思想贯穿于函数研究的各个领域的全部过程中 掌握了这一点 将会体会 到函数问题既千姿百态 又有章可循 教师下载中心 教学点睛教学点睛 数形结合和数形转化是解决本章问题的重要思想方法 应要求学生熟练掌握用函数的 图象及方程的曲线去处理函数 方程 不等式等问题 拓展题例拓展题例 例 1 设 f x 是定义在 1 1 上的奇函数 且对任意 a b 1 1 当 a b 0 时 都有 0 ba bfaf 1 若 a b 比较 f a 与 f b 的大小 2 解不等式 f x f x 2 1 4 1 3 记 P x y f x c Q x y f x c2 且 P Q 求 c 的取值范围 解 设 1 x1 x2 1 则 x1 x2 0 0 21 21 xx xfxf x1 x2 0 f x1 f x2 0 f x1 f x2 又 f x 是奇函数 f x2 f x2 f x1 f x2 f x 是增函数 1 a b f a f b 2 由 f x f x 得 2 1 4 1 x 4 1 2 1 1 4 1 1 1 2 1 1 xx x x 2 1 4 5 不等式的解集为 x x 2 1 4 5 3 由 1 x c 1 得 1 c x 1 c P x 1 c x 1 c 由 1 x c2 1 得 1 c2 x 1 c2 Q x 1 c2 x 1 c2 P Q 1 c 1 c2或 1 c 1 c2 解得 c 2 或 c 1 例 2 2003 年南昌市高三第一次质量调研测试题 已知函数 f x 的图象与函 数 h x x 2 的图象关于点 A 0 1 对称 x 1 1 求 f x 的解析式 2 文 若 g x f x x ax 且 g x 在区间 0 2 上为减函数 求实数 a 的取值范围 理 若 g x f x 且 g x 在区间 0 2 上为减函数 求实数 a 的 x a 取值范围 解 1 设 f x 图象上任一点坐标为 x y 点 x y 关于点 A 0 1 的对 称点 x 2 y 在 h x 的图象上 2 y x 2 x 1 y x 即 f x x x 1 x 1 2 文 g x x x ax x 1 即 g x x2 ax 1 g x 在 0 2 上递减 2 2 a a 4 理 g x x x a1 g x 1 g x 在 0 2 上递减 2 1 x a 1 0 在