5.5用二次函数解决问题

中考数学五大数学思想方法 你都掌握好了 很多考生都想学好数学 但苦于不知道如何 下手 经常花费大量时间去解题做题 效果 却差强人意 很难提高数学成绩 知识内容和方法技巧的载体是题目 要想掌握好相应的数学知识和方法技巧 就需要去解一定量的题目 不过 大家一定要充分认识到一点 不是你解的题 目越多 就会掌握好这些知识内容和方法技巧 如很多人只知道数学公式 定理等 却很少知道数学思想方法是数学学习的精 髓 无论是中考数学还是高考数学 除了考查大家知识掌握程度 更重要考查 大家应用数学知识解决问题的能力 充分运用数学思想去分析 解决具体的问 题 因此 如何想要在中考数学中取得优异的成绩 就要加深对数学思想方法的理 解 初中阶段常用到的数学思想有 数形结合思想 分情况讨论思想 化归思 想 函数与方程思想 建立数学模型思想等 中考数学常见数学思想方法一 数形结合思想方法 数形结合思想是说数的问题可以通过对图形的分析来解决 形的问题也可 通过对数的研究来思考 如图是由 8 个全等的矩形组成的大正方形 线段 AB 的端点都在小矩形的 顶点上 如果点 P 是某个小矩形的顶点 连接 PA PB 那么使 ABP 为等腰直 角三角形的点 P 的个数是 A 2 个B 3 个C 4 个 D 5 个 端午节前夕 在东昌湖举行第七届全民健身运动会龙舟比赛中 甲 乙两 队在 500 米的赛道上 所划行的路程 y m 与时间 x min 之间的函数关系 如图所示 下列说法错误的是 A 乙队比甲队提前 0 25min 到达终点 B 当乙队划行 110m 时 此时落后甲队 15m C 0 5min 后 乙队比甲队每分钟快 40m D 自 1 5min 开始 甲队若要与乙队同时到达终点 甲队的速度需要提高到 255m min 中考数学常见数学思想方法二 分类讨论思想 分情况讨论思想就是当一个问题用统一的方法不能继续做下去的时候 需要对 所研究的问题分成若干个情况分别进行研究的思想方法 如图 1 已知正方形 OABC 的边长为 2 顶点 A C 分别在 x y 轴的正半轴上 M 是 BC 的中点 P 0 m 是线段 OC 上一动点 C 点除外 直线 PM 交 AB 的 延长线于点 D 1 求点 D 的坐标 用含 m 的代数式表示 2 当 APD 是等腰三角形时 求 m 的值 3 设过 P M B 三点的抛物线与 x 轴正半轴交于点 E 过点 O 作直线 ME 的 垂线 垂足为 H 如图 2 当点 P 从点 O 向点 C 运动时 点 H 也随之运动 请 直接写出点 H 所经过的路径长 不必写解答过程 考点分析 二次函数综合题 代数几何综合题 分类讨论 题干分析 1 证明 Rt PMC Rt DMB 即可证明 DB 2 m AD 4 m 从而求解 2 分 AP AD PD PA PD DA 三种情况 根据勾股定理即可求解 3 运动时 路线长不变 可以取当 P 在 O 点是 求解即可 解题反思 本题是二次函数的综合题型 其中涉及的到大知识点有抛物线的顶点公式和三 角形的面积求法 在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果 解 1 由题意得 CM BM PMC DMB Rt PMC Rt DMB DB PC DB 2 m AD 4 m 点 D 的坐标为 2 4 m 2 分三种情况 若 AP AD 则 4 m2 4 m 2 解得 若 PD PA 过 P 作 PF AB 于点 F 如图 则 AF FD AD 4 m 又 OP AF 若 PD DA PMC DMB PM PD AD 4 m PC2 CM2 PM2 解得 舍去 综上所述 当 APD 是等腰三角形时 m 的值为或或 3 点 H 所经过的路径长为 中考数学常见数学思想方法三 化归思想方法 化归思想是说在解决实际问题时常常需要进行等价转换 把生疏的题目转化成 熟悉的题目 通过特殊到一般 归纳出事物的规律 并能进行适当的变式变形 典型例题 3 ABC 是一张等腰直角三角形纸板 C Rt AC BC 2 1 要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形 有甲 乙两种剪法 如图 1 比较甲 乙两种剪法 哪种剪法所得的正方形面积大 请说明理由 2 图 1 中甲种剪法称为第 1 次剪取 记所得正方形面积为 s1 按照甲种剪 法 在余下的 ADE 和 BDF 中 分别剪取正方形 得到两个相同的正方形 称为第 2 次剪取 并记这两个正方形面积和为 s2 如图 2 则 s2 1 2 再在 余下的四个三角形中 用同样方法分别剪取正方形 得到四个相同的正方形 称为第 3 次剪取 并记这四个正方形面积和为 s3 继续操作下去 则第 10 次剪取时 s10 1 2 3 求第 10 次剪取后 余下的所有小三角形的面积之和 考点分析 正方形的性质 勾股定理 等腰直角三角形 规律型 题干分析 1 分别求出甲 乙两种剪法所得的正方形面积 进行比较即可 2 按图 1 中甲种剪法 可知后一个三角形的面积是前一个三角形的面积的 1 2 依此可知结果 3 探索规律可知 Sn 1 2n 1 依此规律可得第 10 次剪取后 余下的所有 小三角形的面积之和 解题反思 本题考查了正方形的性质 勾股定理 等腰直角三角形的性质 得出甲 乙两 种剪法 所得的正方形面积是解题的关键 四边形 ECFD 是正方形 DE EC CF DF AED DFB 90 ABC 是等腰直角三角形 A B 45 AE DE EC DF BF EC CF AC BC 2 DE DF 1 S AED S DBF S正方形 ECFD S1 1 同理 S2即是第二次剪取后剩余三角形面积和 Sn即是第 n 次剪取后剩余三角形面积和 第一次剪取后剩余三角形面积和为 2 S1 1 S1 第二次剪取后剩余三角形面积和为 S1 S2 1 0 5 0 5 S2 第三次剪取后剩余三角形面积和为 S2 S3 0 5 0 25 0 25 1 2 1 4 1 4 S3 第十次剪取后剩余三角形面积和为 S9 S10 S10 1 2 9 故答案为 1 2 1 2 9 中考数学常见数学思想方法四 函数与方程思想方法 函数与方程思想就是对于有些数学问题要学会用变量和函数来思考 学会转化 未知与已知的关系 典型例题 4 如图所示 二次函数 y x2 2x m 的图象与 x 轴的一个交点为 A 3 0 另一 个交点为 B 且与 y 轴交于点 C 1 求 m 的值 2 求点 B 的坐标 3 该二次函数图象上有一点 D x y 其中 x 0 y 0 使 S ABD S ABC 求点 D 的坐标 1 二次函数 y x2 2x m 的图象与 x 轴的一个交点为 A 3 0 9 2 3 m 0 解得 m 3 2 二次函数的解析式为 y x2 2x 3 当 y 0 时 x2 2x 3 0 解得 x 3 或 x 1 B 1 0 3 如图 连接 BD AD 过点 D 作 DE AB 当 x 0 时 y 3 C 0 3 若 S ABD S ABC D x y 其中 x 0 y 0 则可得 OC DE 3 当 y 3 时 x2 2x 3 3 解得 x 0 或 x 2 点 D 的坐标为 2 3 另法 点 D 与点 C 关于 x 1 对称 故 D 2 3 考点分析 二次函数综合题 代数几何综合题 方程思想 题干分析 1 由二次函数 y x2 2x m 的图象与 x 轴的一个交点为 A 3 0 利用待 定系数法将点 A 的坐标代入函数解析式即可求得 m 的值 2 根据 1 求得二次函数的解析式 然后将 y 0 代入函数解析式 即可求 得点 B 的坐标 3 根据 2 中的函数解析式求得点 C 的坐标 由二次函数图象上有一点 D x y 其中 x 0 y 0 可得点 D 在第一象限 又由 S ABD S ABC 可知点 D 与点 C 的纵坐标相等 代入函数的解析式即可求得点 D 的坐 标 解题反思 此题考查了待定系数法求二次函数的解析式 考查了一元二次方程的解法以及 三角形的面积问题等知识 此题综合性较强 但难度不大 属于中档题 解题 的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系 注意数形结合与方程思想的应 用 中考数学常见数学思想方法五 数学建模思想方法 数学建模思想是说在具体的问题分析中 尽量通过观察 抽象出主要的参量 参数与有关的定律 原理间建立起的某种关系 这样 一个具体的实际问题就 转化为简化明了的一个数学模型 某班到毕业时共结余班费 1800 元 班委会决定拿出不少于 270 元但不超过 300 元的资金为老师购买纪念品 其余资金用于在毕业晚会上给 50 位同学每人 购买一件 T 恤或一本影集作为纪念品 已知每件 T 恤比每本影集贵 9 元 用 200 元恰好可以买到 2 件 T 恤和 5 本影集 1 求每件 T 恤和每本影集的价格分别为多少元 2 有几种购买 T 恤和影集的方案 1 设每件 T 恤和每本影集的价格分别为 x 元和 y 元 则 x y 9 2x 5y 200 解得 x 35 y 26 答 每件 T 恤和每本影集的价格分别为 35 元和 26 元 2 设购买 T 恤 t 件 购买影集 50 t 本 则 1800 300 35t 26 50 t 1800 270 解得 22 2 9 t 25 5 9 因为 t 为正整数 所以 t 23 24 25 即有三种方案 第一种方案 购买 T 恤 23 件 影集 27 本 第二种方案 购买 T 恤 24 件 影集 26 本 第三种方案 购 T 恤 25 件 影集 25 本 考点分析 一元一次不等式组的应用 二元一次方程组的应用 应用题 题干分析 1 通过理解题意可知本题存在两个等量关系 即每件 T 恤比每本影集费 9 元 用 200 元恰好可以买到 2 件 T 恤和 5 本影集 根据这两个等量关系可列出 方程组 2 本题存在两个不等量关系 即设购买 T 恤 t 件 购买影集 50 t 本 则 1800 300 35t 26 50 t 1800 270 根据 t 为正整数 解出不等式再进行比 较即可 解题反思 本题考查了二元一次方程组和