北京理工大学数学专业高等代数Ⅱ期末试题(MTH17063).doc

课程编号：MTH17063 北京理工大学2010-2011学年第一学期2009级数学类高等代数期末考试试题A卷班级 学号 姓名 成绩 一、（25分）设表示域上的所有阶矩阵构成的上的线性空间。取定，对于任意的，定义。（1）证明：为上的一个线性变换。（2）证明：对于任意的都有。（3）当时，求在给定基下的矩阵表示。（4）当时，求的一组基与维数。二、（15分）设数域上3维线性空间的线性变换在的一个基下的矩阵为。求线性变换的Jordan标准形。三、（20分）设是域上维线性空间上的一个线性变换，证明：（1）如果是的一维不变子空间，那么中任何一个非零向量都是的特征向量；反之，如果是的一个特征向量，那么生成的子空间是的一维不变子空间。（2）可以对角化的充分必要条件是可以分解成的一维不变子空间的直和。四、（20分）设，在中取一个基。（1）求它的对偶基，要求写出的表达式。（2）求上任意一个线性函数的表达式。五、（20分）证明：维酉空间上的线性变换是Hermite变换当且仅当在的任意一个标准正交基下的矩阵是Hermite矩阵。课程编号：MTH17063 北京理工大学2011-2012学年第一学期2010级数学类高等代数III期末考试试题 A卷班级 学号 姓名 成绩 一、（15分）设为数域上所有阶矩阵构成的上的线性空间。取定，对于任意的，定义。（1）证明：为上的一个线性变换。（2）证明：对于任意的都有。（3）当时，求在给定基下的矩阵表示。二、（15分）设数域上4维线性空间的线性变换在的一个基下的矩阵为。求线性变换的Jordan标准形。三、（20分）设是数域上维线性空间上的一个线性变换，证明：可以对角化当且仅当可以分解成的一维不变子空间的直和。四、（20分）设，在中取一个基。（1）求它的对偶基，要求写出的表达式。（2）求上任意一个线性函数的表达式。五、（15分）证明：维欧几里得空间上的线性变换是斜对称变换当且仅当在的任意一个标准正交基下的矩阵是斜对称矩阵。六、（15分）设是数域上维线性空间上的一个线性变换，试写出你所知道的可以对角化的充要条件。课程编号：MTH17063 北京理工大学2011-2012学年第一学期2010级数学类高等代数III期末考试试题 B卷班级 学号 姓名 成绩 一、（15分）设为数域上所有阶矩阵构成的上的线性空间。取定，对于任意的，定义。（1）证明：为上的一个线性变换。（2）证明：对于任意的都有。（3）当时，求在给定基下的矩阵表示。二、（15分）设数域上4维线性空间的线性变换在的一个基下的矩阵为，求线性变换的Jordan标准形。三、（20分）设是数域上维线性空间上的一个线性变换，证明：可以对角化当且仅当的最小多项式在中能分解成不同的一次因式乘积。四、（20分）设，在中取一个基。（1）求它的对偶基，要求写出的表达式。（2）求上任意一个线性函数的表达式。五、（15分）证明：维欧几里得空间上的线性变换是对称变换当且仅当在的任意一个标准正交基下的矩阵是对称矩阵。六、（15分）设是数域上维线性空间上的一个线性变换，试写出你所知道的可以对角化的充要条件。课程编号：MTH17063 北京理工大学2012-2013学年第一学期2011级数学类高等代数III期末考试试题 A卷班级 学号 姓名 成绩 一、（25分）设为数域上所有阶矩阵构成的上线性空间。取定可逆矩阵，对于任意的，定义。（1）证明：为上的一个线性变换,而且是一个同构映射。（2）证明：对于任意的都有。（3）当，取定时，求在给定基下的矩阵表示。二、（20分）设，在中取一个基。（1）求它的对偶基，要求写出的表达式。（2）求上任意一个线性函数的表达式。三、（20分）设是实数域上的维线性空间的一个双线性函数，且在的基下的度量矩阵为（1）问取何值时，是内积？（2）当是内积时，求的一个标准正交基。四、（15分）设是欧几里得空间的一个子空间，表示在上的正交投影，试证明：是对称变换。五、（20分）已知矩阵的最小多项式为。（1）求矩阵的全部互不相同的特征值。（2）矩阵的Jordan标准形是否唯一确定？如果唯一，请说明原因。如果不唯一，请写出其所有可能的Jordan标准形。课程编号：MTH17063 北京理工大学2012-2013学年第一学期2011级数学类高等代数III期末考试试题 B卷班级 学号 姓名 成绩 一、（25分）设为数域上所有阶矩阵构成的上线性空间。取定可逆矩阵，对于任意的，定义。（1）证明：为上的一个线性变换,而且是一个同构映射。（2）证明：对于任意的都有。（3）特别地，当，时，求在给定基下的矩阵表示。二、（20分）设是实数域上的维线性空间的一个双线性函数，且在的基下的度量矩阵为（1）问取何值时，是内积？（2）当是内积时，求的一个标准正交基。三、（15分）设是数域上维线性空间上的一个线性变换，证明：可以对角化当且仅当可以分解成的一维不变子空间的直和。四、（20分）对于任意的矩阵,如果满足，我们称是一个Hermite矩阵。（1）证明：矩阵是一个Hermite矩阵当且仅当其关于主对角线对称位置的元素有如下特点，。（2）证明：酉空间上的线性变换是Hermite变换当且仅当在的任意一个标准正交基下的矩阵是Hermite矩阵。五、（20分）已知矩阵的最小多项式为。（1）求矩阵的全部互不相同的特征值。（2）矩阵的Jordan标准形是否唯一确定？如果唯一，请说明原因。如果不唯一，请写出其所有可能的Jordan标准形。课程编号：MTH17168 北京理工大学2012-2013学年第二学期2012级数学类、物理类高等代数II期末考试试题 A卷班级 学号 姓名 成绩 一、（12分）已知多项式，证明：在有理数域上不可约。二、（18分）在线性空间上定义映射，（1）证明：是到其自身的一个同构映射。（2）证明：对任意的，都有。（3）求在基下的矩阵表示。三、（15分）设是数域上的线性空间，是上的一个幂等线性变换（即）。证明：。四、（16分）（1）已知矩阵，求的Jordan标准形。（2）问以为Jordan标准形的矩阵只有矩阵吗？如果不是，你能再构造一个以为Jordan标准形的矩阵吗？五、（15分）对于任意的矩阵,如果满足，我们称是一个反Hermite矩阵。证明：酉空间上的线性变换是反Hermite变换当且仅当在的任意一个标准正交基下的矩阵是反Hermite矩阵。六、（24分）（1）证明：相似矩阵具有相同的最小多项式。（2）试举反例说明，具有相同最小多项式的矩阵不一定相似。（3）证明：具有相同的特征多项式和最小多项式的矩阵一定相似。（3）为错题，试举反例！课程编号：MTH17168 北京理工大学2012-2013学年第二学期2012级数学类、物理类高等代数II期末考试试题 B卷班级 学号 姓名 成绩 一、（12分）已知多项式，证明：在有理数域上不可约。二、（18分）在线性空间上定义映射，（1）证明：是上的一个线性变换。（2）证明：对任意的，都有。（3）求在基下的矩阵表示。三、（15分）在线性空间中，我们用表示迹为零的矩阵组成的集合。证明：。四、（16分）（1）已知矩阵求的Jordan标准形。（2）问以为Jordan标准形的矩阵只有矩阵吗？如果不是，你能再构造一个以为Jordan标准形的矩阵吗？五、（20分）对于任意的矩阵,如果满足，我们称是一个Hermite矩阵。证明：酉空间上的线性变换是Hermite变换当且仅当在的任意一个标准正交基下的矩阵是Hermite矩阵。六、（24分）（1）证明：相似矩阵具有相同的最小多项式。（2）试举反例说明，具有相同最小多项式的矩阵不一定相似。（3）证明：具有相同的特征多项式和最小多项式的矩阵一定相似。（3）为错题，试举反例！课程编号：MTH17168 北京理工大学2013-2014学年第二学期2013级数学类高等代数II期末考试试题 A卷班级 学号 姓名 成绩 2013级考试时使用的试卷一、填空题（每空3分，共计39分）（1）设是数域，为中不可约多项式，如果存在复数使得，那么与的关系为 。思考：如果没有本题红色部分，结果如何？（2）已知多项式，那么为 。（3）在实数域上的线性空间中函数生成的子空间维数为 。（4）设与分别是四元齐次线性方程组与的解空间，则的维数是 。（5）已知数域上的线性空间，令，则的维数是 ，的一组基为 。（6）在实数域上的线性空间中如下定义一个线性变换 ，则在基的矩阵是 。（7）设三维线性空间上的线性变换在基下的矩阵为，则在基下的矩阵为 。（8）已知实数域上线性空间中三个向量，与互为对偶基，则对于有 。（9）已知四阶方矩阵的特征多项式为，其最小多项式为，则的Jordan标准型为 ，特征值的特征子空间维数为 ， 。（10）设是数域上的二维线性空间，是上的一个线性变换，在基下的矩阵为，则的全部不变子空间是 。 二、（16分）设是数域上维线性空间上的线性变换，证明：当且仅当，这里表示上的恒等变换。 三、（21分）设是维欧几里得空间的一个线性变换且满足条件（1）若是的一个特征值，证明：。（2）证明：中存在一组标准正交基，使得在此基下的矩阵为对角矩阵。（3）设在的某组标准正交基下的矩阵为，证明：将看作复数域上的矩阵，其特征值必为零或者纯虚数。四、（18分）已知复数域上的线性空间，令（1）证明：对于矩阵的加法，以及实数与矩阵的数量乘法成为实数域上的线性空间，并且说明中元素均具有如下形式（2）对于中的任意两个矩阵,如下定义双线性函数。证明:如上定义的双线性函数是上的一个内积,从而成为欧几里得空间;并且求出的一个标准正交基.（3）设是一个酉矩阵，对任意的，规定，证明：是上的正交变换。五、（6分）设是数域，且时，求的最小多项式。课程编号：MTH17168 北京理工大学2013-2014学年第二学期2013级数学类高等代数II期末考试试题 B卷班级 学号 姓名 成绩 题号一二三四五总分得分签名一、填空题（每空3分，共计39分）（1）设是有理数域上的多项式，且在复数域内无公共根，则在有理数域上的最大公因式为 。（2）已知多项式，那么为 。（3）在实数域上的线性空间中，多项式在基 下的坐标是 。（4）设与分别是三元齐次线性方程组与的解空间，则的维数是 。（5）已知数域上的线性空间，令，则的维数是 ，的一组基为 。（6）在实数域上的线性空间中如下定义一个线性变换 ，则在基的矩阵是 。（7）设三维线性空间上的线性变换在基下的矩阵为，则在基下的矩阵为 。（8）已知实数域上线性空间中三个向量，与互为对偶基，则对于有 。（9）已知四阶方矩阵的特征多项式为，其最小多项式为，则的Jordan标准型为 ，特征值的特征子空间维数为 ， 。（10）设是数域上的二维线性空间，为上的一个线性变换，在基下的矩阵为，则的全部不变子空间是 。 二、（16分）设是数域上维线性空间上的线性变换，证明：当且仅当，这里表示上的恒等变换。三、（21分）设是维欧几里得空间的一个线性变换且满足条件（1）若是的一个特征值，证明：。（2）证明：中存在一组标准正交基，使得在此基下的矩阵为对角矩阵。（3）设在的某组标准正交基下的矩阵为，证明：将看作复数域上的矩阵，其特征值必为零或者纯虚数。四、（18分）已知实数域上的线性空间，中所有形如的矩阵构成集合记为，定义映射（1）证明：是一个对称双线性函数；（2）求在基下的度量矩阵；（3）对于上述矩阵，求的最大值与最小值。五、（6分）设是数域，且可逆，表示的伴随矩阵， （）为的最小多项式（），求的最小多项式。课程编号：MTH17168 北京理工大学2015-2016学年第二学期2015级数学类高等代数II期末考试试题A卷一、（15分）证明：在中，当且仅当。二、（20分）设是矩阵空间上的一个线性变换，且。（1）求在的自然基下的矩阵；（2）证明：线性变换可对角化；（3）求的一个基，使得在该基下的矩阵为对角矩阵。三、（15分）设是有限维线性空间V上的一个可逆线性变换，W是的不变子空间，证明：W也是的不变子空间。四、（