1-9.极限的计算---两个重要极限

模块基本信息模块基本信息 一级模块名称一级模块名称函数与极限二级模块名称二级模块名称计算模块 三级模块名称三级模块名称极限的计算 两个重要极限模块编号模块编号1 9 先行知识先行知识极限的计算 常用计算方法模块编号模块编号1 8 知识内容知识内容教学要求教学要求掌握程度掌握程度 1 两个重要极限的证明1 理解两个重要极限 2 型极限的计算 第一个重要极限 x x x sin lim 0 公式 2 熟练掌握简单的利用两个 重要极限公式求函数的极限 3 型极限的计算 第二重要极限 x x x 1 1 lim 公式 3 一般掌握较复杂的利用两 个重要极限求函数的极限 一般掌握 1 培养学生的计算能力 能力目标能力目标 2 培养学生对知识的归纳能力 时间分配时间分配45 分钟编撰编撰陈亮校对校对王清玲审核审核危子青 修订修订熊文婷二审二审危子青 一 正文编写思路及特点 一 正文编写思路及特点 思路 思路 通过对两个重要极限的特点分析 及例题层层递进的训练 让学生能够灵活运用两个重要极限求解相关函数的极限 特点 特点 以两个重要极限的基本模型为基础 对类似的两个重要极限 进行转换计算 让学生在对同类型的极限进行计算过程中 掌握利 用两个重要极限进行相关计算 二 授课部分二 授课部分 一 预备知识 一 预备知识 型极限的计算型极限的计算 0 0 2 2 新课讲授新课讲授 1 无穷小的定义 无穷小的定义 定义 如果当 或 时 函数的极限为零 那 0 xx x f x 么函数就称为 或 时的无穷小量 简称 f x 0 xx x 为无穷小 f x 引例引例 sin lim 0 x x x 说明 当时 均为无穷小量 0 xxx sin 2 2 第一个重要极限 第一个重要极限 1 sin lim 0 x x x 选讲选讲 证明思路 函数的夹逼准则证明思路 函数的夹逼准则 由于为型极限 之前我们有因式分解法 而对于 x x x sin lim 0 0 0 显然无法利用因式分解法进行求解 所以我们利用如下 x x x sin lim 0 解法 首先注意到 函数对于一切 x 0 都有定义 x xsin 如右图 图中的圆为单位圆 BC OA DA OA 圆心角 AOB x 0 x 2 显然 sin x CB x tan x AD 因为 AB S AOB S扇形 AOB S AOD 所以 sin x x tan x 2 1 2 1 2 1 即 sin x x tan x 不等号各边都除以 sin x 就有 或 xx x cos 1 sin 1 1 sin cos x x x 注意 此不等式当 x 0 时也成立 而 2 1coslim 0 x x 根据夹逼准则得 1 sin lim 0 x x x 使用说明使用说明 在极限在极限中中 只要只要是无穷小是无穷小 就有就有 sin lim x x x 1 sin lim x x 例 1 求 一级 x x x 3sin lim 0 解 x x x 3sin lim 0 33 3 3sin lim 0 x x x 例 2 求 一级 x x x tan lim 0 解 x x x tan lim 0 xx x x cos 1sin lim 0 1 cos 1 lim sin lim 00 xx x xx 例 3 求 二级 2 0 cos1 lim x x x 解 2 0 cos1 lim x x x 2 2 0 2 2 0 2 2 sin lim 2 1 2 sin2 lim x x x x xx 选讲 选讲 例 4 求 三级 x x x 3sin 2sin lim 解 令 则 xt 3 2 3sin 2sin lim 3sin 2sin lim 3sin 2sin lim 00 t t t t x x ttx 3 第二个重要极限 第二个重要极限 e x x x 1 1 lim 考虑特殊情况 对 n 取不同正整数 可得数列e n n n 1 1 lim 的取值的表格如下 1 1 n n 注 表格中算出的值均为无理数 根据上述的表格 可得以下结论 数列单调 有界 1 1 n n 数列的极限存在 1 1 n n 数列的极限为无理数 1 1 n n 使用说明 在极限使用说明 在极限中中 只要只要是无穷小是无穷小 1 1lim x x x 型极限 型极限 就有 就有 1ex x 1 1lim 例 5 求 一级 n n n 1 1 lim 解 令t n 则 n 时 t 于是 n n n 1 1 lim t tt 1 1 lim e t t t 1 1 1 1 lim 或 1 1 1 lim 1 1 lim n n n n nn 11 1 1 lim e n n n n123 102030100 1 1 n n 2 4 9 27 64 2 5942 6532 6582 705 例 6 求 一级 x x x 1 0 1 lim 解 令 则x 0 时 t 于是 x t 1 x x x 1 0 1 lim e t t t 1 1 lim 注 注 为为的等价形式的等价形式 ex x x 1 0 1 lime x x x 1 1 lim 例 7 求 二级 2 2 2 1 1 1 lim x x x 解 令 则x 时 t 于是1 2 xt 2 1 2 1 2 1 22 2 lim 1 1 lim 1 1 lim 1 1 1 lim 2 ee ttx t t t t t t t t t x x 选讲 选讲 例 8 求 三级 x x x 2 0 sin1 lim 解 2 sin2 sin 1 0 sin2 sin 1 0 2 0 sin 1 lim sin 1 lim sin1 lim ex xx x x x x x x x x x x 注 例注 例 6 6 例 例 7 7 和例和例 8 8 中的函数均为幂指函数 幂指函数形如中的函数均为幂指函数 幂指函数形如 若若 则 则 xg xfBxgAxf lim 0 lim Bxg Axf lim 三 能力反馈部分三 能力反馈部分 一 第一个重要极限 一 第一个重要极限 1 一级 一级 x x x 5sin lim 0 2 一级 一级 1 sinsin 1 lim 0 x xx x x 3 二级 二级 2 0 14cos lim x x x 4 三级 三级 选做 选做 2 tan 1 lim 0 x