用MATLAB优化工具箱解线性规划

用用 MATLAB 优化工具箱解线性规划优化工具箱解线性规划 模型 模型 VUBXVLB beqAeqX bAX min ts cXz 命令 命令 1 x fval linprog c A b Aeq beq VLB VUB 2 x linprog c A b Aeq beq VLB VUB X0 注意 注意 1 若没有等式约束若没有等式约束 则令则令 Aeq beq 2 其中其中 X0 表示初始点表示初始点 654321 8121110913minxxxxxxz 6 2 1 0 9003 12 15 0 8001 14 0 500 600 400 x 654 321 63 52 41 ix xxx xxx xx xx x ts i 编写编写 M 文件文件 xxgh3 m 如下如下 f 13 9 10 11 12 8 A 0 4 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 5 1 2 1 3 b 800 900 Aeq 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 beq 400 600 500 vlb zeros 6 1 vub x fval linprog f A b Aeq beq vlb vub Matlab 优化工具箱简介优化工具箱简介 1 MATLAB 求解优化问题的主要函数求解优化问题的主要函数 2 优化函数的输入变量优化函数的输入变量 使用优化函数或优化工具箱中其它优化函数时使用优化函数或优化工具箱中其它优化函数时 输入变量见输入变量见下表 3 优化函数的输出变量下表优化函数的输出变量下表 变量描 述调用函数 类 型 模 型 基本函数名 一元函数极小 Min F x s t x1 x x2 x fminbnd F x1 x2 无约束极小 Min F X X fminunc F X0 X fminsearch F X0 线性规划 Min XcT s t AX b X linprog c A b 二次规划 Min 2 1xTHx cTx s t Ax b X quadprog H c A b 约束极小 非线性规划 Min F X s t G X 0 X fmincon FG X0 达到目标问题 Min r s t F x wr goal X fgoalattain F x goal w 极小极大问题 Min max Fi x X Fi x s t G x 0 则x为解 否则 x 不是最终解 它只是迭代制止 时优化过程的值 所有优化函数 fval 解x处的目标函数值 linprog quadprog fgoa lattain fmincon fminimax lsqc urvefit lsqnonlin fminbnd exitflag 描述退出条件 exitflag 0 表目标函数收 敛于解x处 exitflag 0 表已达到函数 评价或迭代的最大次数 exitflag 0 表目标函数不 收敛 output 包含优化结果信息的输出结构 Iterations 迭代次数 Algorithm 所采用的算法 FuncCount 函数评价次数 所有优化函数 4 控制参数 控制参数 options 的设置的设置 Options 中常用的几个参数的名称 含义 取值如下中常用的几个参数的名称 含义 取值如下 1 Display 显示水平 取值为 off 时 不显示输出 取值为 iter 时 显示每次迭代的信息 取值 为 final 时 显示最终结果 默认值为 final 2 MaxFunEvals 允许进行函数评价的最大次数 取值为正整数 3 MaxIter 允许进行迭代的最大次数 取值为正整数 控制参数控制参数 options 可以通过函数可以通过函数 optimset 创建或修改 命令的格式如下 创建或修改 命令的格式如下 1 options optimset optimfun 创建一个含有所有参数名 并与优化函数 optimfun 相关的默认值的选项结构 options 2 options optimset param1 value1 param2 value2 创建一个名称为 options 的优化选项参数 其中指定的参数具有指定值 所有未指定的参数取默 认值 3 options optimset oldops param1 value1 param2 value2 创建名称为 oldops 的参数的拷贝 用指定的参数值修改 oldops 中相应的参数 例 opts optimset Display iter TolFun 1e 8 该语句创建一个称为 opts 的优化选项结构 其中显示参数设为 iter TolFun 参数设为 1e 8 5 用用 Matlab 解无约束优化问题解无约束优化问题 一元函数无约束优化问题一元函数无约束优化问题 21 minxxxxf 常用格式如下 常用格式如下 1 x fminbnd fun x1 x2 2 x fminbnd fun x1 x2 options 3 x fval fminbnd 4 x fval exitflag fminbnd 5 x fval exitflag output fminbnd 其中 3 4 5 的等式右边可选用 1 或 2 的等式右边 函数 fminbnd 的算法基于黄金分割法和二次插值法 它要求目标函数必须是连续函数 并 可能只给出局部最优解 例例 1 1 求求在在 0 x 80 x 8 中的最小值与最大值中的最小值与最大值 xef x sin2 主程序为主程序为 wliti1 m f 2 exp x sin x fplot f 0 8 作图语句 xmin ymin fminbnd f 0 8 f1 2 exp x sin x xmax ymax fminbnd f1 0 8 运行结果 xmin 3 9270 ymin 0 0279 xmax 0 7854 ymax 0 6448 多元函数无约束优化问题多元函数无约束优化问题 标准型为标准型为 min F X 命令格式为命令格式为 1 x fminunc fun X0 或 x fminsearch fun X0 2 x fminunc fun X0 options 或 x fminsearch fun X0 options 3 x fval fminunc 或 x fval fminsearch 4 x fval exitflag fminunc 或 x fval exitflag fminsearch 5 x fval exitflag output fminunc 或 x fval exitflag output fminsearch 说明说明 fminsearch 是用单纯形法寻优是用单纯形法寻优 fminunc 的算法见以下几点说明 的算法见以下几点说明 1 fminunc 为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法 由 options 中的参数 LargeScale 控 制 LargeScale on 默认值 使用大型算法 LargeScale off 默认值 使用中型算法 2 fminunc 为中型优化算法的搜索方向提供了 4 种算法 由 options 中的参数 HessUpdate 控制 HessUpdate bfgs 默认值 拟牛顿法的 BFGS 公式 HessUpdate dfp 拟牛顿法的 DFP 公式 HessUpdate steepdesc 最速下降法 3 fminunc 为中型优化算法的步长一维搜索提供了两种算法 由 options 中参数 LineSearchType 控制 LineSearchType quadcubic 缺省值 混合的二次和三 次多项式插值 LineSearchType cubicpoly 三次多项式插 使用使用 fminunc 和和 fminsearch 可能会得到局部最优解可能会得到局部最优解 例 4 Rosenbrock 函数 f x1 x2 100 x2 x12 2 1 x1 2 的最优解 极小 为 x 1 1 极小值为 f 0 试用 不同算法 搜索方向和步长搜索 求数值最优解 初值选为 x0 1 2 2 1 为获得直观认识 先画出为获得直观认识 先画出 RosenbrockRosenbrock 函数的三维图形函数的三维图形 输入以下命令 x y meshgrid 2 0 1 2 1 0 1 3 z 100 y x 2 2 1 x 2 mesh x y z 2 画出画出 RosenbrockRosenbrock 函数的等高线图函数的等高线图 输入命令 contour x y z 20 hold on plot 1 2 2 o text 1 2 2 start point plot 1 1 o text 1 1 solution 3 用用 fminsearch 函数求解函数求解 输入命令 f 100 x 2 x 1 2 2 1 x 1 2 x fval exitflag output fminsearch f 1 2 2 运行结果 x 1 0000 1 0000 fval 1 9151e 010 exitflag 1 output iterations 108 funcCount 202 algorithm Nelder Mead simplex direct search 4 用用 fminunc 函数函数 1 建立 M 文件 fun2 m function f fun2 x f 100 x 2 x 1 2 2 1 x 1 2 2 主程序 wliti44 m x fval exitflag output fminunc fun X0 options Rosenbrock 函数不同算法的计算结果函数不同算法的计算结果 可以看出 最速下降法的结果最差 因为最速下降法特别不适合于从一狭长通道到达最优解的 情况 非线性规划非线性规划 1 二次规划二次规划 标准型为 Min Z XTHX cTX 2 1 s t AX b beqXAeq VLB X VUB 用用 MATLAB 软件求解软件求解 其输入格式如下其输入格式如下 1 x quadprog H C A b 2 x quadprog H C A b Aeq beq 3 x quadprog H C A b Aeq beq VLB VUB 4 x quadprog H C A b Aeq beq VLB VUB X0 5 x quadprog H C A b Aeq beq VLB VUB X0 options 6 x fval quaprog 7 x fval exitflag quaprog 8 x fval exitflag output quaprog 搜索方向 步长搜索 最优解 最优值 迭代次数 混合二 三次插值 0 9996 0 9992 2 3109 7 10 155 BFGS 三次插值 1 0001 1 0002 2 3943 8 10 132 混合二 三次插值 0 9995 0 9990 2 6223 7 10 151 DFP 三次插值 0 8994 0 7995 0 0192 204 1 1634 1 3610 4 6859 204 0 9446 0 8920 0 0031 8002 最速下降 混合二 三次插值 0 9959 0 9916 1 8543 5 10 9002 单纯形法 1 0000 1 0000 1 9151 10 10 202 一般非线性规划 标准型为 min F X s t AX b G X beqXAeq 0 Ceq X 0 VLBXVUB 其中 X 为 n 维变元向量 G X 与 Ceq X 均为非线性函数组成的向量 其它变量的含义与线性 规划 二次规划中相同 用 Matlab 求解上述问题 基本步骤分三步 1 首先建立 M 文件 fun m 定义目标函数 F X function f fun X f F X 2 若约束条件中有非线性约束 G X 或Ceq X 0 则建立M文件nonlcon m定义函数0 G X 与Ceq X function G Ceq nonlcon X G Ceq 3 建立主程序 非线性规划求解的函数是 fmincon 命令的基本格式如下 1 x fmincon fun X0 A b 2 x fmincon fun X0 A b Aeq beq 3 x fmincon fun X0 A b Aeq beq VLB VUB 4 x fmincon fun X0 A b Aeq beq VLB VUB nonlcon 5 x fmincon fun X0 A b Aeq beq VLB VUB nonlcon options 6 x fval fmincon 7 x fval exitflag fmincon