3.1双曲线及其标准方程

1 2 3 1 双曲线及其标准方程 1 1 教学背景 教学背景 1 1 学生特征分析 学生经过学习 已经基本适应高中数学学习规律 但是学习方法还是停留在简单模仿 反复练习层次 上 对知识的生成与发展 区别与联系认识不深 缺少抽象概括及分析综合能力 知识储备上 学生已经系统的学习了直线方程 圆的方程以及椭圆的相关知识 学生熟知椭圆的定义 会根据题目条件求简单的椭圆的标准方程 但是由于接触学习椭圆的时间还相对较短 对椭圆的基本性质 了解不深 而且理性思维比较欠缺 且计算能力的短板约束使得在处理直线与椭圆等综合问题时还存在困 难 把新问题转化为已解决问题的能力有待提高 缺乏选择 调整解决问题策略的能力 1 2 教师特点分析 自己教学中的优势 注重问题引导 思路分析 善于与信息技术的整合 善于鼓励学生 能对学生进 行有效指导 不足 课堂教学语言相对不够准确简练 板书不够清晰美观 1 3 学习内容分析 1 内容分析 学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的 双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和 提高 如果双曲线研究的透彻 清楚 那么抛物线的学习就会顺理成章 所以说本节课的作用就是纵向承 接椭圆定义和标准方程的研究 横向为双曲线的简单性质的学习打下基础 从高考大纲要求和课程标准角 度来讲 双曲线的定义 标准方程作为了解内容 在高考的考查当中以选择 填空为主 正因如此 学生 在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视 成为了学生的一个失分点 而且由于学生对椭圆与双曲线的区 别与联系认识不够 无法做到知识与方法的迁移 在学习双曲线时极易与椭圆混淆 在教学中要时刻注意 运用类比的方法 让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点 使得椭圆与双曲线的学习能相互促进 2 例题分析 温故 帮助学生复习椭圆的定义 提出问题 探究 如图 实验操作 实验操作 1 取一条拉链 拉开一部分 2 在拉开的两边各选择一点 分别固定在点 F1 F2上 2 3 把笔尖放在点 M 处 随着拉链逐渐拉开或者闭拢 画出一条曲线 点 M 在运动过程中满足什么几何条件 如图 A B 点 M 满足的几何条件 点 M 满足的几何条件 从直观上让学生认识双曲线 分析双曲线上动点所满足的几何关系 类比椭圆定义 帮助学生归纳双曲 线的定义 例题 例 1 已知双曲线的两个焦点分别为 双曲线上一点P到F1 F2距离差的绝对 1 5 0 F 2 5 0 F 值等于 6 1 求双曲线的标准方程 2 双曲线上一点 若 PF1 10 则 PF2 让学生能够在初步认识双曲线的定义和标准方程的情况下 分清 能直接写出标准方程 a b c 思考 把例 1 中的绝对值去掉 求点 P 的轨迹 再次从轨迹方程的角度辨析概念 帮助学生形成完整准确 的理性认识 2 2 教学目标 教学目标 1 掌握双曲线的定义和标准方程 2 学生经历定义的归纳 发现 和标准方程的推导过程 进一步体会类比和数形结合的思想方法 提高观察能力和探究分析能力 3 在教师的指导下进行交流探索 能用联系的观点认识问题 对数学学科方法有所认识 能对数学 学科产生兴趣 教学重点 理解和掌握双曲线的定义及其标准方程 教学难点 双曲线标准方程的推导 教学方式 启发式 探究式 3 辅助工具 多媒体课件 几何画板 3 3 教学方法 教学方法 著名数学家波利亚认为 学习任何东西最好的途径是自己去发现 双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似 学生已经有了一些学习椭圆的经验 因此在教学中采用了 启发探究 式的教学方法 重点突出以下两点 1 以类比思维作为教学的主线 2 以自主探究 作为学生的学习方法 三 教学过程与设计三 教学过程与设计 教学教学 环节环节 教学过程师生活动设计意图教学策 略 一 一 温故温故 知新知新 1 复习椭圆概念 2 那么 与两定点距离的差为非 零常数的点的轨迹是什么 学生回答 教师展示课件 提出问题 与两定点距离的差 为非零常数的点的轨迹是什么 复习巩固旧知 识 为引入双 曲线定义作铺 垫 激发学生兴趣 让学生带着问 题学习 问答 二 二 实验实验 操作操作 形成形成 概念概念 3 引入新课题 探索新概念 实验操作 实验操作 1 取一条拉链 拉开一 部分 2 在拉开的两边各选择一点 分别 固定在点 F1 F2上 3 把笔尖放在点 M 处 随着拉链 逐渐拉开或者闭拢 画出一条曲 线 点 M 在运动过程中满足什么几何 1 动点 M 满足什么几何条件 2 类比椭圆定义 大家能否 归纳一下双曲线的定义 3 常数有没有要求 为什么 把拉链固定的两个点位置互换 此时点 M 满足什么几何条件 类比椭圆的 定义 让学生 能从图中分析 得到双曲线的 定义 而且强 调椭圆与双曲 线定义的区别 与联系 互助合 作 讨 论分析 教师课 件展示 问题引 导 学 生回答 4 条件 如图 A 归纳双曲线定义 如图 B 三 三 推理推理 验证验证 回忆椭圆标准方程 类比椭圆标 准方程的建立过程 推导双曲线 的标准方程 1 建系 以 F1 F2所在的直线为 x 轴 线段 F1 F2的中点为原点建立直角坐标 系 2 设点 设 M x y 则 F1 c 0 F2 c 0 3 列式 M F1 M F2 2a 22 xcy 22 2xcya 4 化简 1 类比椭圆标准方程的建立 过程 如何求双曲线的标 准方程呢 2 如何建系 化简 3 为何可令 222 cab 4 和有没有大小关系 ab 5 椭圆中和谁大 ab 6 椭圆分焦点在 x 轴上 和 y 轴上两种 双曲线是否 也有类似情况 7 焦点在 y 轴上的双曲线的 标准方程如何求 本环节不 断刺激学生回 顾椭圆的标准 方程的推导过 程 类比说明 双曲线的标准 方程推导的关 键步骤 体会 椭圆与双曲线 的的区别与联 系 同时强化 求曲线方程的 一般步骤 师生问 答 积极评 价 5 2222 222 22222222 22 222 2 1 xcyxcy a cxaaxcy caxa ya ca xy aca 令 222 cab 则有 22 22 1 xy ab 学生说明自己的思路 具体推 导由学生课后完成 四 四 课堂课堂 练习练习 22 22 1 0 0 xy ab ab 22 22 1 0 0 yx ab ab 请同学们类比归纳椭圆标准方 程和双曲线标准方程的区别和 联系 1 请说出下列方程所表示曲线 的焦点位置及 a b 22 22 22 1 1 94 2 1 49 3 1 49 xy xy xy 644 4 22 yx 学生独立完成 快速口答 相 互纠正 教师指导 2 已知双曲线的焦点在坐标轴 上 焦距为 20 a 8 求双 曲线的标准方程 学生独立完成 教师课堂展示 方程推导结 束后 此时由 于椭圆方程 双曲线方程的 相似性 不少 同学会将二者 混淆 且判断 焦点位置的方 法也需要根据 实例加以落实 因此故意安排 椭圆方程 双 曲线方程及变 式要学生加以 区分巩固 检验学生对 标准方程基本 形式和双曲线 定义的理解程 度 激励为 主 快速作 答 相互合 作 形成共 识 6 五 五 例题例题 讲解讲解 例 1 已知双曲线两个焦点分别为 F1 5 0 F2 5 0 双曲线上 一点 P 到 F1 F2距离差的绝对值 等于 6 求 1 双曲线的标准方 程 2 双曲线上一点 若 PF1 10 则 PF2 解 1 因为双曲线的焦点在 轴上 所以设它的标准方程为x 22 22 1 0 0 xy ab ab 因为 所以26 210ac 所以 3 5ac 222 5316b 因此 双曲线的标准方程为 22 1 916 xy 2 2 2 PF PF PF 1 1 1 PF PF PF 2 2 2 6 6 6 PF PF PF 1 1 1 10 10 10 PF PF PF 2 2 2 4 4 4 或或或 16 16 16 思考 若把例 1 中的绝对值去掉 则点 P 的轨迹是什么 求点 P 的轨 迹方程 学生板演 教师巡视检查 选 择有代表性的解答多媒体展示 对典型错误进行纠正 通过练习 检测学生对方 法掌握情况 引导学生对双 曲线定义中距 离之差的绝对 值是常数和距 离之差是常数 是两个不同的 情况 点的轨 迹是双曲线的 两支还是一支 对双曲线的定 义的设定有更 深的认识 师生合 作完成 六 比较比较 归纳归纳 请根据表中所给椭圆的定义 方 程写出双曲线对应的知识 学生自己说 教师做必要补充 请同学们回顾一下 本节课有 哪些知识点 我们时时处处都不断回顾椭圆 的相关性质 运用了类比的思 通过小结使 本节课的知识 系统化 使学 生深刻理解数 学思想方法在 解题中的地位 和应用 培养 师生 合作完 成 7 想方法 这是学习新知识 认 识新事物的一个重要方法 学生养成对所 学知识及时总 结提炼的习惯 不断提升自己 通过学生口 述 检测学生 课堂知识的掌 握情况 七 七 布置布置 作业作业 P55 练习 1 1 2 3 3 请同学们课后完成 针对本节课的 教学重点 理 解双曲线定义 和会求简单双