相似三角形基础题

相似三角形整章基础训练2015 10 一 选择题 共 8 小题 1 已知 那么下列式子成立的是 3 2 A 3x 2yB xy 6 C D 2 3 2 3 2 已知线段 a 4 b 16 线段 c 是 a b 的比例中项 那么 c 等于 A 10B 8 C 8D 8 3 已知线段 AB 10cm 点 C 是线段 AB 的黄金分割点 AC BC 则 AC 的长为 A B 5 5 10 15 5 5 C D 5 5 5 10 2 5 4 如图所示 ABC 中 DE BC AD 5 BD 10 AE 3 则 CE 的值为 A 9B 6 C 3D 4 5 在 ABCD 中 点 E 为 AD 的中点 连接 BE 交 AC 于点 F 则 AF CF A 1 2B 1 3 C 2 3D 2 5 6 若 ABC DEF 它们的面积比为 4 1 则 ABC 与 DEF 的相似比为 A 2 1B 1 2 C 4 1D 1 4 7 如图 ABC 中 点 D 在线段 BC 上 且 ABC DBA 则下列结论一定正确的是 A AB2 BC BDB AB2 AC BD C AB AD BD BCD AB AD AD CD 8 平面直角坐标中 已知点 O 0 0 A 0 2 B 1 0 点 P 是反比例函数 y 图象上的一 1 个动点 过点 P 作 PQ x 轴 垂足为 Q 若以点 O P Q 为顶点的三角形与 OAB 相似 则相应的 点 P 共有 A 1 个B 2 个 C 3 个D 4 个 二 填空题 共 5 小题 9 ABC 与 DEF 的相似比为 3 4 则 ABC 与 DEF 的周长比为 10 已知 ABC A B C 且 S ABC S A B C 16 9 若 AB 2 则 A B 11 在 ABC 中 AB 8 AC 6 在 DEF 中 DE 4 DF 3 要使 ABC 与 DEF 相似 则需添加的一 个条件是 写出一种情况即可 12 如图 要使 ADB ABC 还需要增添的条件是 写出一个即可 13 如图所示 某班上体育课 甲 乙两名同学分别站在 C D 的位置时 乙的影子恰好在甲的影 子里边 已知甲身高 1 8 米 乙身高 1 5 米 甲的影长是 6 米 则甲 乙同学相距 米 三 解答题 共 4 小题 14 如图 在 ABC 中 DE BC EF AB 求证 ADE EFC 15 如图 四边形 ABCD 是矩形 直线 l 垂直平分线段 AC 垂足为 O 直线 l 分别与线段 AD CB 的 延长线交于点 E F 1 ABC 与 FOA 相似吗 为什么 2 试判定四边形 AFCE 的形状 并说明理由 16 如图 在 ABC 中 ABC 80 BAC 40 AB 的垂直平分线分别与 AC AB 交于点 D E 1 用圆规和直尺在图中作出 AB 的垂直平分线 DE 并连接 BD 2 证明 ABC BDC 17 如图 在 ABC 和 ADE 中 BAD CAE ABC ADE 1 写出图中两对相似三角形 不得添加字母和线 2 请分别说明两对三角形相似的理由 四 解答填空题 共 4 小题 18 如图 AB 3AC BD 3AE 又 BD AC 点 B A E 在同一条直线上 1 求证 ABD CAE 2 如果 AC BD AD 2BD 设 BD a 则 BC 2 19 如图所示 Rt ABC 中 已知 BAC 90 AB AC 2 点 D 在 BC 上运动 不能到达点 B C 过 点 D 作 ADE 45 DE 交 AC 于点 E 1 则 ABD DCE 2 当 ADE 是等腰三角形时 则 AE 的长为 20 有一棵松树在某一时刻的影子如图所示 小凡站在 A 处发现他的影子顶端恰好与树的影子顶端 重合 1 请你在图中表示出小凡的身高 用线段表示 2 在上题的情景中 测得小凡的影长 AB 是 2m 他与树之间的距离 AC 是 4m 若小凡的身高为 1 6m 则树高约是 m 21 如图所示 已知 ACB 90 AC BC BE CE 于 E AD CE 于 D CE 与 AB 相交于 F 1 求证 CEB ADC 2 若 AD 9cm DE 6cm 则 BE cm EF cm 答案与评分标准 一 选择题 共 8 小题 1 2000 金华 已知 那么下列式子成立的是 3 2 A 3x 2yB xy 6 C D 2 3 2 3 考点 比例的性质 专题 计算题 分析 根据比例的基本性质逐项判断 故选 D 点评 熟练掌握比例的性质 2 2002 广西 已知线段 a 4 b 16 线段 c 是 a b 的比例中项 那么 c 等于 A 10B 8 C 8D 8 考点 比例线段 专题 计算题 分析 根据线段比例中项的概念 a b b c 可得 c2 ab 64 故 c 的值可求 故选 B 点评 考查了比例中项的概念 注意线段不能是负数 3 2011 雅安 已知线段 AB 10cm 点 C 是线段 AB 的黄金分割点 AC BC 则 AC 的长为 A B 5 5 10 15 5 5 C D 5 5 5 10 2 5 考点 黄金分割 专题 计算题 分析 根据黄金分割的定义得到 AC AB 把 AB 10cm 代入计算即可 5 1 2 解答 解 点 C 是线段 AB 的黄金分割点 AC BC AC AB 5 1 2 而 AB 10cm AC 10 5 5 cm 5 1 25 故选 C 点评 本题考查了黄金分割的定义 线段上一点把线段分为较长线段和较短 若较长线段是较短线段和整个线段 的比例中项 即较长线段是整个线段的倍 则这个点叫这条线段的黄金分割点 5 1 2 4 2011 怀化 如图所示 ABC 中 DE BC AD 5 BD 10 AE 3 则 CE 的值为 A 9B 6 C 3D 4 考点 平行线分线段成比例 分析 由 DE BC 用平行线分线段成比例定理即可得到 又由 AD 5 BD 10 AE 3 代入即可求得 答案 解答 解 DE BC AD 5 BD 10 AE 3 5 10 3 CE 6 故选 B 点评 此题考查了平行线分线段成比例定理 解题的关键是数形结合思想的应用 5 2011 威海 在 ABCD 中 点 E 为 AD 的中点 连接 BE 交 AC 于点 F 则 AF CF A 1 2B 1 3 C 2 3D 2 5 考点 相似三角形的判定与性质 平行四边形的性质 专题 证明题 分析 根据四边形 ABCD 是平行四边 求证 AEF BCF 然后利用其对应边成比例即可求得答案 解答 解 四边形 ABCD 是平行四边 AEF BCF 点 E 为 AD 的中点 1 2 故选 A 点评 此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质 平行四边形的性质等知识点 难度不大 属于基础题 6 2011 潼南县 若 ABC DEF 它们的面积比为 4 1 则 ABC 与 DEF 的相似比为 A 2 1B 1 2 C 4 1D 1 4 考点 相似三角形的性质 分析 由 ABC DEF 与它们的面积比为 4 1 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方 即可求得 ABC 与 DEF 的相似比 解答 解 ABC DEF 它们的面积比为 4 1 ABC 与 DEF 的相似比为 2 1 故选 A 点评 本题考查了相似三角形性质 注意相似三角形面积的比等于相似比的平方 7 2010 烟台 如图 ABC 中 点 D 在线段 BC 上 且 ABC DBA 则下列结论一定正确的是 A AB2 BC BDB AB2 AC BD C AB AD BD BCD AB AD AD CD 考点 相似三角形的性质 分析 可根据相似三角形的对应边成比例进行判断 要注意相似三角形的对应边和对应角 解答 解 ABC DBA AB2 BC BD AB AD BD AC 故选 A 点评 此题主要考查的是相似三角形的性质 正确的判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键 8 2011 徐州 平面直角坐标中 已知点 O 0 0 A 0 2 B 1 0 点 P 是反比例函数 y 图象上的一 1 个动点 过点 P 作 PQ x 轴 垂足为 Q 若以点 O P Q 为顶点的三角形与 OAB 相似 则相应的点 P 共有 A 1 个B 2 个 C 3 个D 4 个 考点 相似三角形的性质 反比例函数图象上点的坐标特征 分析 可以分别从 PQO AOB 与 PQO BOA 去分析 首先设点 P x y 根据相似三角形的对应边成比例与 反比例函数的解析式 联立可得方程组 解方程组即可求得点 P 的坐标 即可求得答案 解答 解 点 P 是反比例函数 y 图象上 1 设点 P x y 若 PQO AOB 则 即 2 1 xy 1 x 2 2 点 P 为 或 2 22 2 22 同理 当 PQO BOA 时 求得 P 或 2 2 22 2 2 故相应的点 P 共有 4 个 故选 D 点评 此题考查了相似三角形的性质与反比例函数的性质 注意数形结合思想与方程思想的应用是解此题的关 键 二 填空题 共 5 小题 9 2010 潼南县 ABC 与 DEF 的相似比为 3 4 则 ABC 与 DEF 的周长比为 3 4 考点 相似三角形的性质 分析 根据相似三角形的周长比等于相似比 即可得出结果 解答 解 ABC DEF 且相似比为 3 4 又 相似三角形的周长比等于相似比 它们的周长比为 3 4 点评 此题主要考查的是相似三角形的性质 相似三角形的周长比等于相似比 10 2010 宁洱县 已知 ABC A B C 且 S ABC S A B C 16 9 若 AB 2 则 A B 1 5 考点 相似三角形的性质 分析 已知两个相似三角形的面积比 由相似三角形的面积比等于相似比的平方 即可求出 AB A B 的比例关系 AB 的长已知 由此得解 解答 解 ABC A B C 且 S ABC S A B C 16 9 AB A B 4 3 AB 2 A B 1 5 点评 此题主要考查的是相似三角形的性质 相似三角形的面积比等于相似比的平方 对应边的比等于相似比 11 2011 张家界 在 ABC 中 AB 8 AC 6 在 DEF 中 DE 4 DF 3 要使 ABC 与 DEF 相似 则需添加的一 个条件是 BC EF 2 1 写出一种情况即可 考点 相似三角形的判定 专题 开放型 分析 因为两三角形三边对应成比例 那么这两个三角形就相似 从题目知道有两组个对应边的比为 2 1 所以 第三组也满足这个比例即可 解答 解 则需添加的一个条件是 BC EF 2 1 在 ABC 中 AB 8 AC 6 在 DEF 中 DE 4 DF 3 AB DE 2 1 AC DF 2 1 BC EF 2 1 ABC DEF 故答案为 BC EF 2 1 点评 本题考查相似三角形的判定定理 关键知道两三角形三边对应成比例的话 两三角形相似 12 2010 永州 如图 要使 ADB ABC 还需要增添的条件是 此题答案不唯一 如 ADB ACB 或 ADB ABC 或 写出一个即可 考点 相似三角形的判定 专题 开放型 分析 根据相似三角形的判定定理 1 两角对应相等两三角形相似 2 两边对应成比例且夹角相等两三角形相 似 3 三边对应成比例两三角形相似 此题有个公共角 A 所以应该应用 1 2 两个判定方法 可补充 ABD ACB 或 ADB ABC 或 解答 解 此题答案不唯一 A A 可以添加 ABD ACB 或 ADB ABC 或 点评 此题考查了相似三角形的判定 此题属于开放题 答案不唯一 解题的关键是熟练应用相似三角形的判定 定理 13 2011 昭通 如图所示 某班上体育课 甲 乙两名同学分别站在 C D 的位置时 乙的影子恰好在甲的影子 里边 已知甲身高 1 8 米 乙身高 1 5 米 甲的影长是 6 米 则甲 乙同学相距 1 米 考点 相似三角形的应用 专题 应用题 分析 根据甲的身高与影长构成的三角形与乙的身高和影长构成的三角形相似 列出比例式解答 解答 解 设两个同学相距 x 米 ADE ACB 1 5 1 8 6 6 解得 x 1 故答案为 1 点评 本题考查了相似三角形的应用 根据身高与影长的比例不变 得出三角形相似 运用相似比即可解答 三 解答题 共 4 小题 14 2009 湘西州 如图 在 ABC 中 DE BC EF AB 求证 ADE EFC 考点 相似三角形的判定 平行线的性质 专题 证明题 分析 根据平行线的性质可知 AED C A FEC 根据相似三角形的判定定理可知 ADE EFC 解答 证明 DE BC DE FC AED C 又 EF AB EF AD A FEC ADE EFC 点评 本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理 15 2011 泰州 如图 四边形 ABCD 是矩形 直线 l 垂直平分线段 AC 垂足为 O 直线 l 分别与线段 AD CB 的 延长线交于点 E F 1 ABC 与 FOA 相似吗 为什么 2 试判定四边形 AFCE 的形状 并说明理由 考点 相似三角形的判定 线段垂直平分线的性质 菱形的判定 矩形的性质 专题 证明题 综合题 分析 1 根据角平分线的定义 同角的余角相等可知 AFO CAB 根据垂直的定义 矩形的性质可知 ABC FOA 由相似三角形的判定可证 ABC 与 FOA 相似 2 先证明四边形 AFCE 是平行四边形 再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判断 解答 解 1 直线 l 垂直平分线段 AC AFO CFO CFO FCO CAB FCO 90 AFO CAB AOF CBA 90 ABC FOA 2 直线 l 垂直平分线段 AC AF CF 可证 AOF AOE AE CF FO EO 四边形 ABCD 是矩形 四边形 AFCE 是平行四边形 四边形 AFCE 是菱形 点评 考查了线段垂直平分线的性质 相似三角形的判定 矩形的性质 菱形的判定 综合性较强 有一定的难 度 16 2011 来宾 如图 在 ABC 中 ABC 80 BAC 40 AB 的垂直平分线分别与 AC AB 交于点 D E 1 用圆规和直尺在图中作出 AB 的垂直平分线 DE 并连接 BD 2 证明 ABC BDC 考点 相似三角形的判定 线段垂直平分线的性质 作图 基本作图 专题 作图题 证明题 分析 1 分别以 A B 为圆心 大于AB 的长为半径画弧 两弧交于两点 过两点作直线 即为 AB 的垂直平 1 2 分线 2 由线段垂直平分线的性质 得 DA DB 则 ABD BAC 40 从而求得 CBD 40 即可证出 ABC BDC 解答 解 1 2 DE 垂直平分 AB DA DB ABC 80 BAC 40 ABD BAC 40 CBD 40 ABC BDC 点评 本题考查了相似三角形的判定和性质 线段的垂直平分线的性质和作法 基本作图是难点 17 2010 滨州 如图 在 ABC 和 ADE 中 BAD CAE ABC ADE 1 写出图中两对相似三角形 不得添加字母和线 2 请分别说明两对三角形相似的理由 考点 相似三角形的判定 专题 证明题 分析 1 ABC ADE ABD ACE 2 BAD CAE 在此等式两边各加 DAC 可证 BAC DAE 再结合已知中的 ABC ADE 可证 ABC ADE 利用 ABC ADE 可得 AB AD AC AE 再结合 BAD CAE 也可证 BAD CAE 解答 解 1 ABC ADE ABD ACE 2 分 2 证 ABC ADE BAD CAE BAD DAC CAE DAC 即 BAC DAE 4 分 又 ABC ADE ABC ADE 5 分 证 ABD ACE ABC ADE 7 分 又 BAD CAE ABD ACE 8 分 点评 本题利用了等量加等量和相等 相似三角形的判定和性质 四 解答填空题 共 4 小题 18 2010 杭州 如图 AB 3AC BD 3AE 又 BD AC 点 B A E 在同一条直线上 1 求证 ABD CAE 2 如果 AC BD AD 2BD 设 BD a 则 BC 22 3 考点 相似三角形的判定 勾股定理 分析 1 由 BD AC 得 EAC B 根据已知条件 易证得 AB AC 和 BD AE 的值相等 由此可根据 SAS 判定 两个三角形相似 2 首先根据已知条件表示出 AB AD AC 的值 进而可由勾股定理判定 D E 90 根据 1 得出的相似三角 形的相似比 可表示出 EC AE 的长 进而可在 Rt BEC 中 根据勾股定理求出 BC 的长 解答 解 1 BD AC 点 B A E 在同一条直线上 DBA CAE 又 3 ABD CAE 4 分 2 AB 3AC 3BD AD 2BD 2 AD2 BD2 8BD2 BD2 9BD2 AB2 D 90 由 1 得 E D 90 AE BD EC AD BD AB 3BD 1 3 1 3 2 3 2 在 Rt BCE 中 BC2 AB AE 2 EC2 3BD BD 2 BD 2 BD2 12a2 1 3 2 2 3 108 9 BC 2a 6 分 3 点评 此题主要考查了相似三角形的判定和性质 以及勾股定理的应用 能够由勾股定理判断出 ABD 和 AEC 是 直角三角形 是解答 2 题的关键 19 如图所示 Rt ABC 中 已知 BAC 90 AB AC 2 点 D 在 BC 上运动 不能到达点 B C 过点 D 作 ADE 45 DE 交 AC 于点 E 1 则 ABD DCE 2 当 ADE 是等腰三角形时 则 AE 的长为 1 或 4 2 2 考点 相似三角形的判定 等腰三角形的性质 分析 1 首先根据等腰直角三角形的两个底角都是 45 得到一对对应角相等 再根据三角形的外角的性质得 到 ADE EDC B BAD 从而证明 EDC BAD 根据两个角对应相等 得到两个三角形相似 2 根据等腰三角形的定义 此题要分三种情况进行分析讨论 根据等腰三角形的性质进行计算 解答 1 证明 Rt ABC 中 BAC 90 AB AC 2 B C 45 ADE B BAD ADC ADE EDC ADE EDC B BAD 又 ADE 45 45 EDC 45 BAD EDC BAD ABD DCE 2 讨论 若 AD AE 时 DAE 90 此时 D 点与点 B 重合 不合题意 若 AD DE 时 ABD 与 DCE 的相似比为 1 此时 ABD DCE 于是 AB AD 2 BC 2 AE AC EC 2 BD 2 2 2 4 2 222 若 AE DE 此时 DAE ADE 45 如下图所示易知 AD BC DE AC 且 AD DC 由等腰三角形的三线合一可知 AE CE AC 1 1 2 点评 熟练运用等腰直角三角形的性质 特别注意第二问要能够分情况进行讨论解题 20 有一棵松树在某一时刻的影子如图所示 小凡站在 A 处发现他的影子顶端恰好与树的影子顶端重合