北师大版初中九年级下2.1二次函数所描述的关系教案

课 题2 12 1 二次函数所描述的关系二次函数所描述的关系课型新授课 教学目标 1 探索并归纳二次函数的定义 2 能够表示简单变量之间的二次函数关系 教学重点 1 经历探索二次函数关系的过程 获得用二次函数表示变量之间关系的体验 2 能够表示简单变量之间的二次函数 教学难点经历探索二次函数关系的过程 获得用二次函数表示变量之间关系的体验 教学方法引导探究 合作交流 教学后记 教 学 内 容 及 过 程备注 一 创设问题情境 引入新课 对于 函数 这个词我们并不陌生 大家还记得我们学过哪些函数吗 生 学过正比例函数 一次函数 反比例函数 那函数的定义是什么 大家还记得吗 生 记得 在某个变化过程中 有两个变量 x 和 y 如果给定一个 x 值 相应 地就确定了一个 y 值 那么我们称 y 是 x 的函数 其中 x 是自变量 y 是因变量 能把学过的函数回忆一下吗 一次函数 y kx b 其中 k b 是常数 且 k 0 正比例函数 y kx k 是不为 0 的常数 反比例函数 y A 是不为 0 的常数 x k 很好 从上面的几种函数来看 每一种函数都有一般的形式 那么二次函数的 一般形式究竟是什么呢 本节课我们将揭开它神秘的面纱 二 新课讲解 1 由实际问题探索二次函数关系 某果园有 100 棵橙子树 每一棵树平均结 600 个橙子 现准备多种一些橙子树 以提高产量 但是如果多种树 那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会 减少 根据经验估计 每多种一棵树 平均每棵树就会少结 5 个橙子 1 问题中有哪些变量 其中哪些是自变量 哪些是因变量 2 假设果园增种 棵橙子树 那么果园共有多少棵橙子树 这时平均每棵树结多 少个橙子 3 如果果园橙子的总产量为 y 个 那么请你写出 y 与 x 之间的关系式 请大家互相交流后回答 1 变量有树的数量 每棵树上平均结的橙子数 所有的树上共结的橙子 数 其中树的数量是自变量 每棵树上平均结的橙子数以及所有的树上共结的橙 子数是因变量 2 假设果园增种 x 棵橙子树 那么果园共有 x 100 棵树 平均每棵树就会少 结 5x 个橙子 则平均每棵树结 600 5x 个橙子 3 如果果园橙子的总产量为 y 个 则 y x 100 600 5x 5x2 100 x 60000 大家根据刚才的分析 判断一下上式中的 y 是否是 x 的函数 若是函数 与原 来学过的函数相同吗 因为 x 是自变量 y 是因变量 给 x 一个值 相应地就确定了一个 y 的值 因此根据函数的定义 y 是 x 的函数 但是从函数形式上看 它不同于正比例函数 一次函数与反比例函数 自变量的最高次数是 2 所以我猜测可能是二次函数 2 想一想 在上述问题中 种多少棵橙子树 可以使果园橙子的总产量最多 请大家发表自己的看法 生 1 在函数 y 5x2 100 60000 中 因为一次项系数 100 大于二次项系数 5 因此当 x 越大时 y 的值越大 生 2 我不同意他的观点 因为 x2的增长速度比 x 的增长速度要快 因此 5x2的绝对值要大于 100 x 的绝对值 因此 x 应取比较小的数才能使 y 的值大 大家说的都有道理 究竟是如何呢 我们不妨取一些特殊的数字验证一下 我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况 你能根据表 格中的数据作出猜测吗 自己试一试 x 棵 1234567891011121314 y 个 请大家先填表 再猜测 从左到右依次填 60095 60180 60255 60320 60375 60420 60455 60480 60495 60500 6 0495 60480 60455 60420 可以猜测当 x 逐渐增大时 y 也逐渐增大 当 x 取 10 时 y 取最大值 x 大于 10 时 y 的值反而减小 因此当增种 10 棵橙子树时 橙子的总产量最多 大家的猜想很有道理 推理能力日渐增长 究竟猜想结果如何 我们将要在 后面的学习中专门进行研究 3 做一做 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的 也就是说 利率是一个变量 在 我国 利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的 设人民币一年定期储蓄的年利率是 x 一年到期后 银行将本金和利息自动按一年 定期储蓄转存 如果存款额是 100 元 那么请你写出两年后的本息和 y 元 的表达 式 不考虑利息税 首先我们要回顾一下有关名词 本金 利息 本息时 如何计算利息 在前 面的学习中我们已接触过 大家还记得吗 本金是存入银行时的资金 利息是银行根据利率和存的时间付给的 报酬 本息和就是本金和利息的和 利息 本金 利率 期数 时间 根据利息的公式 大家可以计算出一年后的本息和 一年后的本息和为 100 100 x 1 100 1 x 再计算出两年后的本息和 这时 一年后的本息和将作为第二年的本金 y 100 1 x 100 1 x x l 100 1 x 100 1 x x 100 1 x 1 x 100 1 x 2 100 x2 200 x 100 在这个关系式中 y 是 x 的函数吗 是 x 的什么函数 请猜想 因为年利率 x 是一个变量 两年后的本息和 y 是随着 x 的变化而变化的 因 此 x 是自变量 y 是 x 的函数 再从函数的形式来看 y 是 x 的二次函数 4 二次函数的定义 从我们刚才推导出的式子 y 5x2 100 x 60000 和 y 100 x2 200 x 100 中 大家 能否根据式子的形式 猜想出二次函数的定义及一般形式呢 一般地 形如 y ax2 bx c a b c 是常数 a 0 的函数叫做 x 的二次函 数 quadratic function 很好 上面说的只是一般形式 并不是每个二次函数关系式必须如此 有时 没有一次项 有时没有常数项 有时这两项都不存在 只要有二次项存在即为二 次函数 如正方形面积 A 与边长 a 的关系 A a2 圆面积 S 和半径 r 的关系 S r2也都是二次函数的例子 三 课堂总结三 课堂总结 1 定义 一般地 形如 y ax bx c a b c 是常数 a 0 的函数叫做 x 的二次函数 y ax bx c a b c 是常数 a 0 的几种不同表示形式 1 y ax