不等价不可约的群表示的判断设计说明书

本科毕业设计（论文）不等价不可约的群表示的判断院 （系） XX 学院 专 业 数学与应用数学 姓 名 学 号 指 导 教 师 完 成 时 间 2016 年 2 月 25 日 目 录第 一 章 引 言 .11.1 课 题 的 来 源 与 研 究 的 目 的 和 意 义 .11.1.1 本 课 题 的 研 究 目 的 .31.1.2 本 课 题 的 研 究 意 义 .51.2 本 课 题 研 究 的 内 容 .61.3 国 内 外 研 究 现 状 .8第 二 章 群 表 示 理 论 基 础 .102.1 群 表 示 的 基 及 群 的 表 示 .112.1.1 群 表 示 的 定 义 .122.2 不 等 价 不 可 约 群 表 示 的 分 类 .132.2.1 群 的 等 价 表 示 .142.2.2 群 的 完 全 可 约 表 示 .152.2.3 群 的 不 可 约 表 示 .162.2.4 群 的 酉 表 示 .18第 三 章 群 的 不 可 约 表 示 .19第 四 章 群 的 不 等 价 不 可 约 的 判 断 条 件 .21第 五 章 判 断 条 件 的 证 明 .22结 论 .24致 谢 .25参 考 文 献 .26 0第一章 引 言1.1 课题的来源与研究的目的和意义本论文通过对不等价不可约的群表示的判断进行阐述和论证，从代数观点来对不等价不可约的群表示的判断，从而来了解群的不等价不可约表示，并且找出不等价不可约的群表示的判定并并证明所找方法的正确性，最后再应用到不等价不可约的表示中。1.1.1 本课题的研究目的本论文通过对不等价不可约的群表示的判断进行阐述和论证，从代数观点来对不等价不可约的群表示的判断，从而来了解群的不等价不可约表示，并且找出不等价不可约的群表示的判定并并证明所找方法的正确性，最后再应用到不等价不可约的表示中。1.1.2 本课题的研究意义群表示论是研究群的最有力的工具之一，也是代数学中具有根本性的问题，是当前国际上数学研究的前沿重点课题，通过对不等价不可约群表示进行判断，从而来得出正确的结论，对于不等价不可约群的这种判断过程，会对后续的应用数学学科在不等价不可约群表示的判断方法上面有着一定的参考作用和借鉴意义。在某种程度上面，能够对应用数学领域起到一定的推动作用。1.2 本课题研究的内容本次毕业论文的题目是不等价不可约的群表示的判断，根据任务书要求，查阅相关资料，了解不等价不可约的群表示的判断方法法，根据查找到的相关资料和数据，阐述不等价不可约群表示的判断形势及通过理论公式来证明这个观点，并且在原有的基础上面对不等价不可约的群表示的判断方法进行推广，并对其中的某种重要的判断方法进行推广和论证，最后编写毕业设计说明书。具体步骤如下：1）查找资料了解什么是群；2）掌握有关群表示的基本理论； 13）有关群的不等价、不可约表示；4）找出不等价不可约表示的判断条件；5）对其中的一种判断条件进行证明；6）编写设计说明书；1.3 国内外研究现状众所周知,不等价不可约群理论是高等代数的重要组成部分 , 而不可约不等价不可约群是不等价不可约群中的重 要概念.在高等代数课本中不等价不可约群部分只讲述了有理数域上存在任意次不可约不等价不可约群这样 一个事实,并介绍了艾森斯坦判别法 .但艾森斯坦判别法只是一个充分条件,还存在着大量 的不可约不等价不可约群不能用艾森斯坦判别法判别 .本文在现有不可约不等价不可约群判定方法的基础之 上做了一些探讨,给出了一些其它的判别方法使得有理数域上不等价不可约群不可约的判定方法更 加地完善.群表示论是近现代数学理论中的一个强有力的工具，它包含了许多分支，其中近年来在无限维表示理论中也崭露头角，并且在组合数学、概率统计、纠错编码和密码学中也越来越多的被运用起来。李力、梁永昌等人在不等价不可约群表示判断方法的研讨中简要概述不等价不可约群表示的判断方法的分类和方法，并且很详实地讲述了其理论研究领域的发展历史和最最新研究进展。德国数学家艾森斯坦成功对不等价不可约的群表示的判断进行了推广，通过运用数学理论知识论证了这一课题。英国数学家 John James 在艾森斯坦判别法的基础上将其推广,并补充了其它的判别方法,使得不等价不可约群表示的判定方法更为系统化和成熟化，而且在这一基础上，对不等价不可约群表示的判断方法进行了推广。第二章 群表示理论基础2.1 群表示的基及群的表示2.1.1 群 表 示 的 定 义 2基:群元素作用的对象称为与它相应的，群表示的基。基可以有各种类型,如矢量(x,y,z) ,波函数( 波函数(px,py,pz)。数域 K（实数域 R 或复数域 C）上的线性空间 V 是一个向量集合， ；该集xV合定义了加法和数乘两种二元运算，且集合 V 在加法运算下构成交换群，满足： ， 唯 一 逆 元）（）（ 唯 一 单 位 元， 有 oxxozyzyxV,)()(,数乘运算 KVV 满足： xbayKba1)(,线性无关和维数线性空间 V 中，任意 n 个向量 ，其线性组合nx ,21当且仅当 时成立，则称此 n 个向量线021nxaxa 0aa性无关，否则它们线性相关。线性空间中线性无关向量的最大个数 m，称为空间 V 的维数，记为 dimV = m。基矢设 V 是 n 维线性空间，则 V 中任意一组 n 个线性无关的向量，称为空间 V 的基矢，记为 。空间中任意矢量均可表示为 n 个基矢的线性组合，),(21ne。矩阵形式：niixniii eee 00121 301,01),(21ini eee nnini xxeex 212121,),(线性变换线性变换 A 是将 V 映入 V 的线性映射，满足： )()(,(,:, yxayxK线性变换的矩阵形式：采用列矢量记法 n nnijijiijjjj njjiijjj jjjjye xAexaaeAxeaeA 121 1122121),( ),()() ),(,)(故有矩阵形式： nnnyxAyxA 11,若 ，则称线性变换 A 非奇异， A 有逆变换 A-1， A-1=A-1。0det线性变换群定义两个变换的乘法为两个线性变换的相继作用，则 n 维复线性空间 V 上的全部非奇异线性变换构成的集合在此乘法下构成一个群，称为 n 维复一般线性群，记为 GL(V , C)，其子群 L(V, C)称为 V 上的线性变换群。 4群表示设有群 G，如果存在一个从 G 到 n 维线性空间 V 上的线性变换群 L 的同态映射 A，则同态映射 A 称群 G 的一个线性表示， V 为表示空间， n 称为表示的维数。 EgAgAgLo)( )()( ,: 其中 g0为 G 的单位元， E 为 L 中的恒等变换。系 1 在表示空间 V 选一组基，线性变换群可化为矩阵形式，故群在表示空间V 上的线性表示，亦可定义为 G 到矩阵群的同态映射 A。系 2 若群 G G，则 G 的表示也是 G的表示。系 3 一个群 G 原则上可有无限多的表示。忠实表示如果群 G 到线性变换群 L 的映射 A 为同构映射，则该表示称为忠实表示。群表示理论研究抽象群的矩阵表示的结构、类型等规律。取表示空间为 R3，基矢： 。kji, 为对 xy 平面的反演。,ek群 本身是定义在 R3 空间上的线性变换，故其本身是自己的一个表,k示，选择一个具体基矢 可以将其矩阵化：kji, kjijikejjk )1(0)(,10)( 故表示矩阵为： 0,)(AeA ，表示矩阵为：),(),(:) ),(, zyxzyxCekk 10)(,10)( kAA ，其表示为：),(, , zyxzyxIe ）为 空 间 反 演 ： （ 510)(,10)(IAeA以上三个群均是 R3上的变换群，故其本身就是他们的表示（忠实表示）。他们还可以有其他的表示。如空间反演群有表示，如：10)(,10)(IAeA它实际上是三个一维表示的合成： 个 非 恒 等 表 示个 恒 等 表 示1,)(,1)2IAe或者说一个二维恒等表示与一个一维非恒等表示的直和。，均是互相同构的二阶循环群 ，具有相同的群表 ,)( , ,IeCekk 2Z示。他们两个最基本的表示为：, a 分别为 。1)(,)( ;1)(AaA ICk),(, D3有一维恒等表示， ；1)(cAbfde D3与 Z2同态： ,23Z,1,fde1cba故 D3有非恒等一维表示：1)()(cAbaf D3为 R3的线性变换群，其矩阵形式本身即为它的一个表示。表示空间 V 为 R3，取基 ：kji,)2( ,10)( zCdeA,10)()2(3)(kjikdjjii102/31)(dA同理，可得表示矩阵 )(, )(,cbaf 6 D3在 x , y, z 的二次齐次函数空间中的表示，空间的基为： . , , 6542321 xzyxzy任何二次齐次函数可表示为以上基函数的线性组合。三维空间中的线性变换 g 对向量 r 的改变 ，同时将对定义在该空间中的标量函数 作变rg )(r换，即 g 对应一个标量函数变换算符 ，即 。由 容gP)()(rg易发现， 。可以验证变换群 与算符做成的函数变换)()( 1rPrg 群 同构。对于 ，有：g G21, )()()()( 21121221 rPrgrgrr gg 故 , 故 在函数线性空间上的矩阵形式即为群 的一个21g P 表示。上 的 表 示 ：，在 6543213D 102/31 , ),(1fdCdk654321213 6543 22212 6543 2221 00)(4313)1()( 0043)()( zrdP xyxyxr xyxyxrPydxd 7654321116 65432115 65432 22114 )21()(00 )213)()( )2()(00 231)()( 003 )413(43)123)()()( xzyzxrdP xzyzxrd xyyxyxyxrdPzxd zydyxd故可得 Pd的表示矩阵： 2/1300/02/1/3244/d其他群元的表示矩阵可以同样得到。与变换 对应有标量函数变换算符g。设 H 的本征值为 En 的，对应本征数为 u 为简并度指标，简并度为gP ),(rnfn ，有：。nnunufrEr,1 ),()(这些简并波函数的任意组合均是相同本征值下的本征函数。可以检验，也是 H 的本征函数：)(rPnug )()()() 11rPEHrgrrPnugnugnunug故 En能级的所有简并波函数构成哈密顿算符群 不变的线性空间。在gP简并本征函数空间中变换算符的矩阵形式即为哈密顿算符对称群的表示。 8记 的表示矩阵为 ，具体形式由下式确定： gP)(gA)()(1rrrnvfvuanunun2.2 群的表示的分类一个群的表示原则上可以有无穷多个，它们可以分解或约化为有代表性的最基本表示的组合。2.2.1 群的等价表示设群 G 在表示空间 V 取基 下的表示为 ，在另一组基),(21ne )(gA下的表示为 ，若 ， X 为两组基之间的变换，有：),(21ne gA，det X0XgA)()(1则称表示 等价，或 为 A 的等价表示。,系 1 两个用相似变换相联系的表示互相等价： 或 ，1PBABP1(detP0), A 和 B 等价。等价表示只是不同基的选择而已，故重要的是寻找不等价的表示，这样就产生了寻找不等价表示的问题。可约表示设 A 是群 G 在表示空间 V 上的一个表示， V 如果存在 G 不变的非平庸子空间， 是子空间 W 上的变换群。VW)( ,)(, , ),( AxgWxGg此时称 A 是 G 的一个可约表示。系 1 设 是子空间 W 的基，则取空间 V 的一组基：),(21me，使得 。在此基下表示),1nee mjej,.21,矩阵 具有如下形式： m 列 n-m 列)(gA行行 -n)(gDOCB为 mm 矩阵， 为 m (n-m) 矩阵， 为 矩阵。)(g )(gD)()mn子空间 W 中矢量的形式： （t 表示转置，成列矩阵）， XxX0,.,.(21 9经过 变换仍然在子空间 中： 。)(gAWtmxAX)0,.,.( 21系 2 可以验证 在 变换下不具有封闭性：tnmxxX),.,0.(21)g。tnmX),.0( 21系 3 另外， )()( )()( )()(gDOCgBgDCOBgBAg仍然具有相同的结构，故 、 均构成新的群表示。系 4 对于有限群，上述阶梯矩阵都可以通过相似变换化为对角分块形式。线性空间的直和设线性空间 V 有子空间 W1和 W2， W1 W2 =0。对任意 ，可找到Vx，并唯一的将 表示为： ，则称线性空间 V 是子空21 ,xWxx间 W1和 W2的直和，记为 。212.2.2 群的完全可约表示设群 G 的表示空间 V 可以分解为子空间 W1和 W2的直和，且 W1和 W2都是 A(G)不变的(即 A(G)是 W1和 W2上的变换群)，则称 G 在 V 上的表示为完全可约表示。系 1 2121 x),A(gx),(gx, 系 2 总可以选一组基 ，使 和 分别为, ,1nmee ),(1me ),(1ne子空间 W1和 W2的基，在此基下表示矩阵 具有如下形式：gm 列 (n-m)列 )()()()0)()( DBmngDBgA行行系 3 若表示 A 有一个等价表示具有对角形式，则 A 为完全可约表示。系 4 对于有限群，可约表示的矩阵总可以化为分块对角形式，因而一定是完 10全可约的。对于无限群，存在可约而不完全可约表示。这样的表示虽然存在群不变非平庸 子空间，但无论如何选择，其补空间都不是群不变的，这样的表示仍然称为可约表示，是不能完全约化的可约表示。如，一维平移群 T：，)()( ,)( baTax它是无限阿贝尔群，存在不能完全约化的可约表示： 。10)(aA2.2.3 群 的 不 可 约 表 示设 A 为 G 群在表示空间 V 中的表示，若 V 不存在 A(G)不变的真子空间，则称 A 是 G 的不可约表示。系 1 G 的不可约表示矩阵不具有对角或三角形式。系 2 一般地， G 的表示空间 V 总可以表示为不可进一步分解的 G 不变子空间的直和，而 G 在 V 上的表示可以写为 G 在这些不可分解的子空间上的不可约表示的直和： ppgAmgA)()(其中整数 mp为不可约表示 Ap 在表示 Ap 中出现的次数，称为)()(g重复度。系 3 群的任何表示都可以写成其不等价不可约表示的直和，故寻找一个群的所有不等价不可约表示有重要意义。内积和内积空间设 V 是数域 C 上的线性空间，将 V 中两个有序向量 x， y 映为复数域 C 上的一个数 ，满足： ，有yx)( Cazyx, ；)(z ；)(yxa 11 （共轭）*)(xy ，时 等 号 成 立0,则称 为 的内积，而定义了内积的线性空间称为内积空间。)(yx和内积空间中向量的长度或模： ；)(x向量 垂直若 ；yx,0)(yx系 1 U,)0(证： 0)(1)()(xyxyx系 2 任何内积空间总存在正交归一基， 。ijjinee)|( ),2证：设 是 V 的一个基，用施米特正交化方法可以构造正交归一基。ne ,1作 有|/11)|(e又作 有：,22e，0)|()|()|(|)|()( 2121111 eee ;| ,|,/ 222 e有作一般地，可令 ，可得正交归一基：|/ ,)(1 iiijiijji eee（ ）。,321ne幺正变换设 U 是内积空间 V 上的线性变换，若对任意 U 保持 x 和 y 的内积,Vyx不变，即： ，则称 U 为 V 上的幺正变换。)|(|(yx系 1 幺正变换将正交归一基 变为另一组正交归一基：),(21ne。ijjijineeU| ),(21系 2 记 U+为幺正变换 U 的共轭变换，则其逆变换 U-1=U+， U+U=E 为恒等变换。 12证：内积空间上的线性变换 A 的共轭变换为 A+， ，有： ),|()|(yAxy故有 ，由于 x， y 任意，故有 U+U=E， U-)|(|()|( yxUxy1=U+。系 3 在正交归一基下，线性变换 U 的共轭变换 U+的矩阵即酉矩阵有： U+=为 U的转置共轭 U*t (即 )。（对于幺正变换有：* *jiij）ijjiij*12.2.4 群 的 酉 表 示群 G 到内积空间 V 中的幺正变换群 A 上的同态映射，称为群 G 的酉表示。系 1 群 G 到幺正矩阵群的同态，也是群 G 的酉表示。设 V 是内积空间， W 是 V 的子空间，定义 ， 为WxVxW11,0)(V 中所有与 W 中矢量垂直的向量的集合，则有 称为 W 的正交补,V空间。证明：设 W 的一个正交归一基为 ,21me ,xmiiex1,)|(作，可证 与 W 中的任意矢量垂直：12x令 2因 miillllll exexee 11)()()()( ，对 成立，0)()()(1xlllimill,2，)()()( 212121 xeeimiiii 故 有故 ，从而 ；Wx Wx,又若 即 则有：,0,0yy ,)(y ,即 .所 以.V故 有 13若群 G 的酉表示 A 是可约的，则 A 是完全可约的。证明：设表示空间为 V， G 的表示 A 可约，则 V 有 G 不变的子空间 W。由定理 2.1 有： 为 W 的正交补空间；,对 ；0)(,yzWzy有而 W 是 G 不变的，故 故：,)(,1ygA有)(|)(1yzygA0)()(| 1ygA记即 或,)(WzgA故 也是 G 不变的子空间。因此 A 是完全可约的。适当选择正交归一基 A 具有如下形式：。)()(0)( gBCBgg系 1. 若 W， 中仍然有 G 不变的子空间，则上述分解可以继续进行下去，A 最终可表示为：。pgAmg)()(其中整数 为不可约酉表示 表示中的重复度。)(,gAp在有限群的每一个表示都有等价的酉表示。证明： 设 ，为群 G 的表示),(gA若能找到相似变换 X，对 有Ag)(，使 为酉矩阵)(1即 EA)(则定理得证。（ + 表示矩阵的转置共轭）构造如下矩阵 :W 14)(gAW为显然为厄密矩阵： W+ = W， 并且有如下性质： )()()( ggA= (Ag= )(= W可以检验如上的厄密矩阵 可以表示为 ， X 为非奇异矩阵：首先厄密矩阵 总可以找到酉矩阵 U 使之完全对角化为 ，其对角元为实数，W即：，UW并且可以发现 为正定矩阵： g kaagak UgAUA)()()( g aakaBB)()( ,)(令 gjakBgjkjBjjk 2|)(|)()(*)()(故正定对角矩阵 可以表示为 形式，其中 D 也是正定对角矩阵。W由 可得： ， 。DU )(UX可以验证 ， X 即为所寻找的使表示 A 化为酉表示的相似变换：令 1)()( XgA则 )()()( 11 gAg 1XX 1)()(W 15 11)(WX )(1= X E故 为酉表示，得证。1)()( gA第 3 章 群 的 不 可 约 表 示建立了二维幺正幺模矩阵 与欧勒角 的关系后，本,Uab,r节将给出 SU(2)群的不可约表示 .()lDSU(2)的群元素为二阶幺模幺正矩阵, .abU21ab设二维空间的基元为 , 是与 U 相联系的变换算符，12()P则 ()iiji亦即(1)*11222()PUab容易证明(2)2211+=为了将 SU(2)的表示空间的基矢与球谐函数 相联系，通常将(,)lmY其取成(3)1212(, )=, , 1.lmlmfNll ， 16选择 满足下列条件lmN(4)2211(,)(,)l lmml lff亦即(5)22221 1l llml lmll lmmNN 下面将证明，若取(6)21()!lml(4)式或 (5)式成立 , 因为若将 (6)代入(5)式得22 2 12 1 !lmll llmllmmlN 令 ，则上式变为：ln22 10!1!l lnn221 !ll二 项 式 定 理222 21 1 (2) !ll lmllmNl 式因此（4）或（5）式得以证明.由于 为 SU(2)群的表示空间的基矢，所以有：12lmf（7） 121212(), ,llllmmlPUffDUf其中 就是 SU(2)群的表示矩阵。lmD而由(1) 与(3)两式知： 17 121212(),lmllmlmlPUffN1212()()!lmlmaba由二项式定理0!()()nnkkabab则上式变为：.12 0*21!(),()!)()! lmkemkllmlklPUf kab 令 ，当 时， ，当 时，lk,llm，l则上式可变 写成对 与 的求和，得：km120*120 !(),()!)()()! !()!(1)lklmklmlmlllkklPUf kmkabl * 120!)! (!)(! (1)!)lmllmlkmlkkml kkabllllkk * 12(,lmlabf 则上式与（7）式比较知：（8）()0*!()!(1)!)! lml kkllkmlllmDUkkab 下面来讨论一下，表示 的一些性质.lDU(1) 由于 共 个取值，所以 是,1,ll 21llDU 18维的.21l(2) 表示 是幺正的 . lDU由(4)与 (7)得： 2 221 11(,)(),)(,)l l lmlmml ml lfPUff亦即2() ()*12121,(,)(,)l l ll limlijmlj mli j lDfDff因此 ()() ()() l lll llij imjmUijUDij 或或， 1llD故（9）1llU所以表示 是幺正的.lD(3) 是不可约的 .lU由舒尔引理 1 知，如果矩阵 M 与所有的 都对易，则当lDUM 为常数矩阵时， 就是不可约表示. 为此我们求出两种特殊lD情况下的 矩阵. 取 ， ，则由（8）式知，只有lUexp()2ia0b当 且 时 才不等于零，因此得：0kmlm（10） 2(,0)il imDee其次在(8) 式中，令 ，则只有当 ， 才不为零，所以l0klmDU（11）12!,()l lmlabab 19如果 M 与(10)式所示的 对易， 则由于(10) 式的2(,0)ilmDe是一非常数对角矩阵，所以 M 也应是一对角矩阵，即：2(,0)ilDe（12）ikik进一步，若 M 还与(11)式形式的矩阵 对易，即：,lab，或写成矩阵元的形式,llab(,)(,)l lkimkiimi iDabM由(12) 式，上式变为： (,)(,)llkmkmiMab由于矩阵元 不恒等于零，所以 ，即 M 为一常数矩阵，(,)lkmDabi所以（13）ikik因此 是一不可约表示.lDU(4) （14）21ll DU在(8)式中作代换 ，上式就可以得到证明.,ab前面已经谈到，SO(3) 与 SU(2)同态，即对 SO(3)群的每一元素R，都有 SU(2)中的两个元素 与之对应. 反过来，SU(2) 中的每一U个元素 ，亦与 SO(3)群的每一元素相对应 . 这样 SU(2)群的每一个U表示亦是 SO(3)群的表示 . 当 取整数时，由(14)式知，l，这时将给出 SO(3)群的单值表示，而这时 SO(3)群llD将只有 或 一个表示，但当 取半奇数时，由于lUlDl，所以这时将给出 SO(3)群的双值表示，即这时l lSO(3)群将有 两个表示。l 20第四章 群的不等价不可约的判断条件艾森斯坦（Eisenstein )判别法的主要内容为：艾森斯坦判别法是说：给出下面的整系数不等价不可约群 f(x)=anxn+an-1xn-1+a0,如果存在素数 p，使得 p 不整除 an ，但整除其他 ai,(i=0,1,.,n-1) ；p 不整除a0 ，那么 f(x) 在有理数域上是不可约的。第五章 判断条件的证明对不等价不可约群 f(x)取模 p，也就是把它的系数映射到整数模P 的环上。这样它便化为 f（x）cxn,0cp,c 为非零常数。因为在域上的不等价不可约群有唯一分解，f 在模 p 上会分解为单项式。如果 f 是在有理数上可约的，那么会有不等价不可约群 g, h 使得 f = gh。从上可知 g 和 h 取模 p 分别为 dxk 和 exn-k，满足 c = de。因为 g 和 h 模 p 的常数项为零，这表示 g 和 h 的常数项均可被 p 整除，所以 f 的常数项 a0 可以被 p2 整除，与 f 系数的假设矛盾。因此得证。依据牛顿图的理论在其 p 进制数域，我们考虑一系列点的下凸集。(0,1), (1, v1), (2, v2), ., (n 1, vn-1), (n,0), 其中 vi 是 ai 关于p 的最高次幂。对于一个艾森斯坦不等价不可约群，对 0 i n,vi 1，v0 =1 vn =0, 固而它的牛顿图即点列的下凸集应当是一条从(0,1)到 (n,0)的线段，其斜率为 。n1 21结 论本次毕业设计的题目是不等价不可约的群表示的判断，直到今天，毕业设计总算接近尾声了，通过这次对于不等价不可约的群表示的判断，使我们充分把握的设计方法和步骤，不仅复习所学的知识，而且还获得新的经验与启示，在各种软件的使用找到的资料或数据，会遇到不清楚的作业，老师和学生都能给予及时的指导，确保设计进度，本文所设计的是不等价不可约的群表示的判断，通过初期的思路的确定，查资料和开始正式做毕设，让我系统地了解到了所学知识的重要性，从而让我更加深刻地体会到做一门学问不易，需要不断钻研，不断进取才可要做的好，总之，本设计完成了老师和同学的帮助下，在大学研究的最感谢帮助过我的老师和同学，是大家的帮助才使我的论文得以通过。 22致 谢在此论文完成之际，我的心里感到特别高兴和激动，在这里，我打心里向我的导师和同学们表示衷心的感谢！因为有了老师的谆谆教导，才让我学到了很多知识和做人的道理，由衷地感谢我亲爱的老师，您不仅在学术上对我精心指导，在生活上面也给予我无微不至的关怀支持和理解，在我的生命中给予的灵感，所以我才能顺利地